GEOMETRI

1. GEOMETRI KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG

2. GEOMETRIC POSITION OF A LINE TOWARD A PLANE

3. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS Macam-macam kemungkinan kedudukan Garis terhadap Garis dalam Bidang: 1) h g garis g dan garis h berpotongan 2) g h garis g dan garis h sejajar

4. POSITION OF A LINE TOWARD A PLANE Kinds of possible position of a line toward other line in a plane: 1) h g Line g and line h is intersected 2) g h line g and line h is parallel

5. 3) g Dalam bidang a terdapat garis g, kemudian terdapat sebuah garis h yang menembus bidang adan garis h tidak memiliki satupun titik persekutuan dengan garis g. garis g dan garis h bersilangan KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS

6. 3) g In a plane of a there is line g, then line h intersects plane aand line h doesn’t have point of intersection with line g. line g and lineh is crossed over POSITION OF A LINE TOWARDS OTHER LINES

7. Aksioma Dua Garis Sejajar aksioma 4 h A g Melalui sebuah titik yang berada di luar garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu. pada gambar di atas, titik A berada di luar garis g. melalui titik A dan garis g dapat dibuat bidang a (ingat dalil 2, sebuah bidang ditentukan oleh sebuah titik dan sebuah garis). Selanjutnya melalui titik A dibuat sebuah garis h yang sejajar garis g.

8. Axioms of Two Parallel lines axiom 4 h A g Through a point outside the line, we only can make a line that parallel with the line. in the figure above, point A is outside line g. Through point A and line g, we can make a planea (look at Rule number 2, a plane is determined by a point and a line). Next, through point A, we can make lineh which parallel with lineg.

9. Dalil-dalil Dua Garis Sejajar Dalil 5 k garis k sejajar garis l l garis l sejajar garis m m Maka garis k sejajar garis m

10. Rules of Two Parallel Lines Rule number 5 k Linek parallel with line l l Linel parallel with line m m Then line k is parallel with linem

11. Dalil 6 h garis k sejajar garis h k garis k memotong garis g l garis l sejajar garis h g juga memotong garis g Maka garis-garis k, l, dan g terletak pada sebuah bidang Kedudukan Garis terhadap bidang

12. Rule number 6 h linek parallel with lineh k linek intersect line g l line l parallel with line h g also intersect lineg Then, lines k, l, and g are in a plane Position of a Line Toward a Plane

13. Kedudukan garis terhadap bidang garis k sejajar garis l k garisl menembus bidang a maka garis k menembus bidang l

14. Position of a Line Towards a Plane Line k parallel with line l k Line l intersect plane a Then line k intersect plane l

15. Kedudukan Garis terhadap Bidang 1) g A B Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang ajika garis g dan bidang a sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan (sesuai aksioma 2,jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titk persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang)

16. Position of a Line Towards a Plane 1) g A B Line g is in plane aif line g and plane a at least have 2 points of intersection (based on axiom 2,if a line and a plane have 2 points of intersection , then the whole line is in the plane)

17. Kedudukan Garis terhadap Bidang hgaris h sejajar bidang α? Sebuah garis h dikatakan sejajar dengan bidang a, jika garis h dan bidang a tidak mempunyai satupun titik persekutuan.

18. Position of a Line Towards a Plane h Doesline h parallel with plane α? Line h is parallel with plane a, if line h and plane a doesn’t have any points of intersection.

19. Kedudukan Garis terhadap Bidang k Garis k menembus/memotong bidang α ?? Sebuah garis k dikatakan memotong atau menembus bidangα, jika garis kdan bidangαhanya mempunyai sebuah titik persekutuan.

20. Position of a Line Towards a Plane k Does Line k intersect plane α ?? Linekintersect plane α, if linekand plane αonly have a point of intersection.

21. Contoh Soal: Diketahui kubus ABCD EFGH g Rusuk AB sebagai wakilgaris g. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan garis g adalah....... (AD, AE, BC,dan BF) Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis g adalah..... (DC, EF,dan HG). Rusuk-rusuk kubus yang bersilangan dengan garis g adalah..... (CG, DH, EH, dan FG). Adakah rusuk kubus yang berimpit dengan garis g? (AB)

22. Example: Let Cube ABCD EFGH g The edge of AB as the representative of lineg. The cube edges that intersect with line g is....... (AD, AE, BC, and BF) The cube edges that parallel with line g is.... (DC, EF,dan HG). The cube edges that cross over line g is..... (CG, DH, EH, and FG). Is there any cube edge that parallel with line g? (AB)

23. 2. diketahui kubus Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang U adalah..... (AB, AD, BC, dan CD). Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan bidang U adalah..... (EF, EH, FG, dan GH). Rusuk-rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang U adalah.... (EA, FB, GC, dan HD).

24. 2. Given cube The cube edges that in plane U is..... (AB, AD, BC, dan CD). The cube edges that parallel with plane U is..... (EF, EH, FG, andGH). The cube edges that intersect planeUis.... (EA, FB, GC, andHD).

25. Dalil-dalil tentang Garis Sejajar Bidang Dalil 8 g h Jika garis g sejajar garis h dan garis h terletak pada bidang a, maka garis g sejajar bidang a.

26. Rules About lines Parallel with Plane Rules number 8 g h If line g parallel with line h and line h is on plane a, then line g parallel with plane a.

27. Dalil 9 g Jika bidang a melalui garis g dan garis g sejajar bidang β, maka garis potong antara bidang adan bidang β akan sejajar terhadap garis g KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS

28. Rule number 9 g If plane a through line g and line g is parallel with plane β, then the intersection line of plane aand plane β will be parallel to line g POSITION OF A LINE TOWARD OTHER LINES

29. Dalil 10 g h a, jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang a, maka garis g sejajar terhadap bidang a

30. Rule number 10 g h a, If line g parallel with line h and line h parallel to plane a, then line g is parallel to plane a

31. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS (a , β) Jika bidang a dan bidang β berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang a dan bidang βakan sejajar garis g. Dalil 11 Jika bidang a dan bidang β berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang a dan bidang βakan sejajar garis g.

32. POSITION OF A LINE TOWARDS OTHER LINES (a , β) Jika bidang a dan bidang β berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang a dan bidang βakan sejajar garis g. Rule number 11 If plane a and plane β intersected and each of them parallel to line g, then the intersection line between plane a and plane βwill be parallel with line g.

33. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS Catatan: dalam dalil 9 dan dalil 11 memerlukan konsep garis potong antara dua buah bidang. konsep garis potong antara dua bidang akan kita pelajari di pertemuan selanjutnya.

34. POSITION OF A LINE TOWARDS OTHER LINES Note: in rules number 9 and 11 need concept of intersection line between two planes. The concept of intersection line between two planes will be discussed in the next meeting.

35. Sudut dan bidang pada penggambaran bangun ruang • Perpotongan garis dengan bidang Jika ada sebuah garis dan suatu titik ke suatu bidang sebuah bidang maka akan di peroleh 3 kemungkinan: 1. Garis terletak pada bidang,jika semua titik pada garis terletak pada bidang tersebut. 2. Garis sejajar bidang ,jika antara garis dan bidang tidak mempunyai satupun titik persekutuan. 3. Garis memotong bidang,jika antara garis dengan bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan. • Jarak titik ke bidang Jarak suatu titik ke satu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksi bidangnya.

36. Angle and Plane in Drawing Polyhedral • The Intersection of Line with Plane If there is a line and a point in a plane, then there will be 3 possibilities: 1. The line is in the plane if all points in the line is in that plane. 2. The line parallel with plane, if there is no point of intersection between line and plane. 3. The line intersected the plane, if it only has one point of intersection between line and plane. • Distance Between Points and Plane The distance of a point to a plane is the distance of this point to its plane projection.

37. Sudut dan bidang pada penggambaran bangun ruang • Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang D. Sudut antara dua bidag Sudut dua bidang yang berpotonganpada garis AB adalah sudut antara dua garis yang terletak pada bidang,masing-masing tegak lurus pada bidang AB dan berpotongan pada satu titik

38. Angle and Plane in Drawing Polyhedral • Angle Between Line and Plane The angle between line and plane is an angle between the line and its projection in a plane. D. Angle Between Two Planes Angles of two planes that intersected in line AB is an angle between two lines in a plane. Each of them are perpendicular to plane AB and intersect in one point.

39. Jarak pada bangun ruang • Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P,Q dan R berturut-turut terletak pada pertengahan garis AB,BC dan bidang ADHE, Hitunglah jarak antara: a. titik P ke titik R b. titik Q ke titik R c. titik H ke gar is AC Jawab : a. Perhatikan bahwa ∆PAR siku-siku di A AP = ½AB = 4 cm AR = ½AH =½ = PR = = = Jadi jarak titik P ke titik R adalah H G E F • R D C • S • Q • A B P

40. Distances in Polyhedral • Given a cube ABCD.EFGH with edge length 8 cm. Points P,Q and R are in the mid points of edges AB,BC and plane ADHE respectively . Find the distance between: a. Points P and R b. Points Q and R c. Point H and line AC Answer : a. See that ∆PAR has a right angle on A AP = ½AB = 4 cm AR = ½AH =½ = PR = = = So, the distance points P and R is H G E F • R D C • S • Q • A B P

41. Sudut antara garis dan bidang Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm a. Lukis sudut antara garis AG dan bidang ABCD. b. Hitung besar sudutnya Jawab : a.Proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah garis AC Jadi, sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah GAC = b. Perhatikan bahwa CG = 10 cm dan AC= 10 cm karena AC merupakan diagonal sisi kubus. Perhatikan bahwa segitiga GAC adalah siku-siku di C,maka: tan = atau =35,30 G H E F D C A B Jadi besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah = 35,30

42. Angle Formed by line and a plane Example. Given a cube ABCD.EFGH with edge length 10 cm. a. Draw an angle between line AG and plane ABCD. b. Measure the angle size. Answer : a. Projection of line AG onto plane ABCD is line AC So, the angle between line AG and plane ABCD is GAC = b. See that CG = 10 cm and AC= 10 cm because AC is the diagonal of cube’s face. See that GAC has a right angle on C, then tan = or =35,30 G H E F D C A B Then, the angle size between line AG and plane ABCD is = 35,30

43. Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk asatuan. Lukis dan hitunglah besar sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG Jawab : Perhatikan gambar berikut. Sudut antara bidang BDE dan bidang BDG adala .Perhatikanlah ∆EPA siku-siku di A sehingga.

44. Example: Given cube ABCD.EFGH with edge length a single. Draw and find the angle between plane BDE and BDG Answer: Look at the following figure. The angle between plane BDE and plane BDG is a. See that ∆EPA is right angle in A,so that..

45. SEKIAN SAMPAI JUMPA PADA PERTEMUAN SELANJUTNYA SELAMAT BELAJAR

46. The End See You Next Meeting