GEOMETRI TRANSFORMASI

1. GEOMETRI TRANSFORMASI • DELAPAN KALI PERTEMUAN • MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL PERKULIAHAN DUA BAGIAN

2. Masalah yang dibahas terkait dengan Masalah Geometri seperti berikut :

4. PENGERTIAN TRANSFORMASI • Semesta Pembicaraan TRANSFORMASI adalah BIDANG DATAR • Secara umum transformasi diartikan sebagai PINDAHAN • APA YANG DIPINDAHKAN ? • APAKAH SETIAP PINDAHAN MERUPAKAN TRANSFORMASI? • DALAM MATEMATIKA TRANSFORMASI DIDEFINISIKAN SEBAGAI APA ?

5. GEOMETRI TRANSFORMASI • BEBERAPA TRANSFORMASI YANG TELAH DIKENAL • 1. Geseran ( Translasi ) • 2. Pencerminan ( Refleksi ) • 3. Perputaran ( Rotasi ) • 4. Tarikan ( Dilatasi ) • ADAKAH JENIS TRANSFORMASI YANG LAIN ?

6. Apa yang akan dipelajari Pada mata kuliah Geo transf • 1. Memandang Transformasi sebagai Fungsi • 2. Membahas secara khusus dua kelompok dalam transformasi, yaitu yang isometri dan non isometri • 3. Membahas hasil komposisi beberapa transformasi • 4. Aplikasi dalam penyelesaian masalah geometri

7. DEFINISI TRANSFORMASI • Secara matematis, transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif pada bidang (R2) MASIH INGAT TENTANG FUNGSI ?

8. Ingat fungsi bijektif ? • f : A  B dikatakanfungsijika,x,y A dengan x=y , maka f(x)=f(y) • f : A  B dikatakanfungsiinjektif ( satu-satu) jika, x,y A, dengan f(x)=f(y) maka x = y • f : A B dikatakanfungsisurjektifataupadajika, y  B,  x  A, f(x) = y • f : A B dikatakanfungsibijektifjika f merupakanfungsisatu-satudanpada

9. Berkenaan dengan adanya bidang geometri dan • geometri analitik, kajian transformasi seringkali • ditinjau dari dua sisi pandang , yaitu sisi pandang • geometri dan aljabar ( titik disajikan dalam • pasangan terurut, garis sebagai persamaan • linear dst. )

10. Transformasi dalam Notasi Fungsi • Dalam notasi fungsi, • T: V  V merupakan transformasi jika T adalah fungsi bijektif. Dengan V menyatakan bidang datar. • Secara aljabar, V dapat ditulis sebagai V={(x,y)|x,yR}.

11. Transformasi • T : V V dikatakan transformasi jika • A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B , maka T(A)=T(B) •  A=(x,y), B=(u,v)  V , dengan T(A)=T(B) maka A=B 3.  B=(u,v)  V,  A=(x,y) V, T(A)=B

12. Contoh-contoh transformasi • DalamBentukAljabar • Perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakantransformasi. Mengapa ? • ApakahPerkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(xy,y+2) merupakantransformasi.?Mengapa? T(x,y)=(x/y, y+2)

13. Buktikan bahwa perkawanan T: V  V dengan • T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi. • Selidiki apakah perkawanan T: V  V dengan • T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi.

14. Misal A titik tertentu pada bidang V Perkawanan T pada V dengan aturan untuk sebarang P di V, T(P) = Q dengan 2|AP|=3|PQ| dengan P pada ruas garis AQ, merupakan transformasi Secara geometris……………………… A . P . Q

15. Secara aljabar ……………. A(x,y) . . P (a,b) . Q (u,v)

16. KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) • Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, • Bukti ?

17. Bagaimana mentransformasikan garis, terkait rumus transformasi T(x,y)=(f(x,y), g(x,y))

18. CARA MENTRANSFORMASIKAN GARIS • Untuk mentransformasikan garis dilakukan dengan cara berikut. • Pada transformasi T, misalkan T(x,y)=(x’,y’) dan garis lax+by+c=0, • untuk menentukan T(l)=l’, nyatakan x dan y dalam x’ dan y’, kemudian substitusikan pada persamaan garis l, akan diperoleh persamaan dalam x’, y’. Karena koordinat dalam x dan y , ubah lagi dalam x dan y

19. Contoh mentransformasikan garis • Misal T(x,y)=(2x+y,x-y) dan persamaan garis l:3x+2y-5=0. • T(l) adalah…………………. • Misalkan (x’,y’)=T(x,y)

20. Nyatakan x,y dalam x’ , y’ dari x’=x+y, y’=3x-y x= ………., y=…………………

21. KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) • Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, • Bukti ?

22. BEBERAPA ISTILAH DALAM TRANSFORMASI • 1. Unsur tetap • Titik A pada V disebut titik tetap dari transformasi T, jika T(A) = A • Garis l disebut garis tetap dari transformasi T, jika T(l) = l

23. APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI TITIK TETAP ? Transformasi T(x,y)=(x+4, y-3) tidak memiliki titik tetap, tetapi memiliki garis tetap. Karena………. APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI GARIS TETAP ? BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?

24. BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ? • Andaikan punya titik tetap(garis tetap), misalkan titik tetap(garis tetap) tersebut adalah A=(x,y)(l ax+by+c=0) • Diperoleh persamaan yang mengkaitkan nilai x dany (nilai a, b dan c) • Jika persaman 2. konsisten, maka diperoleh titik tetap(garis tetap) yang dicari sebaliknya jika persamaan tidak konsisten disimpulkan transformasi tersebut tidak punya (titik tetap) garis tetap.

26. Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=(y,4x). Sehingga berlaku x=y dan y=4x. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan 4bx+ay+4c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku

27. Diperoleh 4b2=a2, (b-a)c=0, dan (4b-a)c=0 Kasus 1, c0, maka b=a dan a=4b tidak mungkin Kasus 2, c=0, maka ab dan a4b, sehingga diperoleh a=2b atau a=-2b. Akhirnya diperoleh garis tetap dari T adalah 2x+y=0 atau -2x+y=0

29. Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=((2x-y),(x+y)). Sehingga berlaku x=2x-y dan y=x+y. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan (a-b)x+(a+2b)y+3c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku Selesaikan.

30. 2. Identitas Suatu transformasi T disebut Identitas, jika T(A)=A, AV. Selanjutnya ditulis sebagai I Transformasi T(x,y)=(x+y, 2x+y) bukan transformasi Identitas, karena…….. 3.Involusi Suatu transformasi T disebut Involusi, jika T(T(A))=A, AV ( atau ditulis T2=I ) Contoh transformasi involusi? Dari T2=I diperoleh T=T-1 Apakah T merupakan Involusi? T(x,y)=(-x,kx+y)

31. . • 4. Kolineasi • Suatu transformasi T, disebut bersifat kolineasi jika T memetakan garis (lurus) menjadi garis (lurus) lagi • 5. Isometri • Suatu transformasi T, disebut bersifat isometri jika untuk setiap dua titik A, B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)|=|A’B’| • ( |AB| menyatakan jarak titik A dengan B , A’=T(A), B’=T(B))

32. 6. Similaritas

33. Contoh transformasi yang tidak bersifat kolineasi • . • Bukan kolineasi kenapa ? • Transformasi T(x,y) = (2x,y) bukan suatu isometri, kenapa?

35. BEBERAPA TEOREMA (a) Transformasi isometri T merupakan kolineasi (b) Jika T suatu isometri maka T suatu kolineasi Isometri mempertahankan besar sudut Isometri mempertahankan kesejajaran

36. Transformasi isometri T merupakan kolineasi Diketahui T suatu Isometri Akan dibuktikan T bersifat kolineasi Ambil sebarang garis l dan l’ merupakan peta dari l. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’ merupakan garis juga. Misal A dan B sebarang dua titik pada l kemudian A’ dan B’ berturut-turut peta dari A dan B, serta h adalah garis yang melalui A’, B’. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’=h. (Mengapa?)

37. bagian satu

38. T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x) Apakah T fungsi • jika A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B , maka T(A)=T(B) Apakah T satu-satu • jika  A=(x,y), B=(u,v)  V , dengan T(A)=T(B) maka A=B Ambil sebarang dua titik A=(x,y), B=(u,v)  V , dengan T(A)=T(B) dibuktikan A=B T(A)=T(B) berarti (x+y,3x)=(u+v,3u) Diperoleh x=u, karena x+y=u+v maka y=v

39. Apakah T merupakan fungsi pada • jika  B=(u,v)  V,  A=(x,y) V, T(A)=B T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x) Ambil sebarang B(x,y) di V Misal A(u,v) sedemikian sehingga T(A)=B Sehingga (u+v,3u)=(x,y) u+v=x 3u=y u=1/3 y v= x- 1/3y

40. Transformasi? A F . S . A’ P=P’. Q Q

41. T(x,y) = (x-2y, xy)

42. Transformasi ? a, b > 0 b A’ a A .

43. T(x,y) = (xy, y)) (1,0) dan (2,0)

44. Isometri merupakan kolineasi Tapi sebaliknya tidak

46. Selidiki apakah jika T suatu isometri, maka peta sebarang lingkaran oleh T adalah lingkaran yang berjari-jari sama