APMEP – IREM DE LA REUNION -mardi 11 avril 2006- LES GRANDS PROBLEMES DES MATHEMATIQUES

1. APMEP – IREM DE LA REUNION-mardi 11 avril 2006- LES GRANDS PROBLEMES DES MATHEMATIQUES • 9h- 12h • Jean Claude LISE • duplication du cube, trisection de l'angle, construction des polygones réguliers, quadrature du cercle : les limites de la règle et du compas • Dominique TOURNES • invention d'autres instruments pour résoudre ces problèmes • 12h30 repas au lycée hôtelier • 14 h 17h • Marc DAVID • problème du Duc de Toscane, problème des partis, paradoxe de Condorcet : la naissance du calcul des probabilités • Daniel LAUZEL • histoire des logarithmes

2. HISTOIRE DES LOGARITHMES 1. MOTIVATION DE L’EXPOSE 2. VUE D’ENSEMBLE ET CHRONOLOGIE: des logarithmes à la fonction logarithme ou d’ARCHIMEDE à EULER 3. CONCLUSION ET DEBAT 4. Atelier : LES TRAVAUX DE NAPIER(1614) et LES TABLES DE OZANAM(1670)

3. 1. MOTIVATION DE L’EXPOSE La découverte des logarithmes est : • un exemple de développement d’un concept mathématique qui comporte de nombreux obstacles, de nombreux à-coup, impasses et autres brusques avancées. • un exemple où des questions numériques, de mathématiques appliquées, ont été à l’origine de progrès dans le domaine théorique, géométrique ou physique.

4. Dans l’enseignement secondaire aujourd’hui y a-t-il une «bonne» méthode d’introduction de log et exp ? • Soit à partir des propriétés des fonctions exponentielles • Soit poser le problème des fonctions dérivables sur IR+* telles que f(xy)= f(x) + f(y)et admettre l’existence de primitives pour x 1/x • Soit traiter le logarithme après l’intégration. Que peut nous apporter l’histoire de ces découvertes ?

5. 2.VUE D’ENSEMBLE ET CHRONOLOGIE • PROBLEMATIQUE: simplifier la tâche des calculateurs Aux XIV, XV et XVI ièmes siècles ( et avant ) pour: • les problèmes d’arpentages, • l’astronomie ( et son application à la navigation ), • les questions économiques. Les difficultés de calcul persistent en occident jusqu’au XVI ième siècle malgré l’introduction des chiffres arabes depuis le XIIIième, ce qui permet à la numération de progresser…

6. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE • CHRONOLOGIE DE LA DECOUVERTE • Simon(e) TROMPLET (UREM de Bruxelles) fait remonter la mise en relation d’une suite de puissances d’un nombre avec la suite correspondante des exposants à l’époque paléo-babylonienne ( XVIII ième avJC ) • Plus rien de connu sur cette correspondance entre les babyloniens et ARCHIMEDE (-287 , -212 ) néanmoins : Au XI ième le mathématicien arabe Ebn JOUNIS(980 – 1003) ( JOUNAIS ou YANUS ) protaphérèse : sin(a) cos (b) = ½ ( sin(a+b) + sin (a-b) ) encore utilisée à la fin du XIV ième.

7. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE • ARCHIMEDE(-287 , -212 ) dans son traité ARENAIRE: « Lorsque des nombres sont en proportion continue à partir de l’unité, et que certains de ces nombres sont multipliés entre eux, le produit sera dans la même progression, éloigné du plus grand des nombres multipliés d’autant de nombres que le plus petit des nombres multipliés l’est de l’unité dans la progression, et éloigné de l’unité de la somme moins un des nombres dont les nombres multipliés sont éloignés de l’unité » ie dans nos notations modernes : « Dans une progression : 1, a , a², …an-1 an…., am, am+1, ……, am+n, où le rang de chaque nombre est égal à son exposant augmenté de 1, la distance du produit an am = an+m à am est celle de an à 1 ie. de (n+1) nombres et sa distance à l’unité de (m+n+1) nombres. »

8. ARCHIMEDE(-287 , -212 )

9. ARCHIMEDE(-287 , -212 )

10. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE • On ne trouve plus rien pendant des siècles et des siècles sur le sujet: influence des Romains et leur système de numération qui stérilise les recherches en arithmétique. • Introduction par les arabes de la numération décimale de position qui s’impose à l’Europe du XIII ième au XVème

11. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE • CHUQUET(1455 ; 1488 ) en France et STIEFEL(1486 , 1567) en Allemagne n’ont connaissance ni de l’œuvre des Babyloniens ni de celle d’Archimède. • Chuquet, dans sa Triparty en la Science des Nombres(1484) *manipule les exposants, peu fixés et rarement utilisés à son époque, et introduit même les exposants fractionnaires et négatifs. *retrouve la règle énoncée par Archimède: considérant une suite géométrique il dit « qui multiplie lung d’iceux par lung des autres, et qui déouste les deux ordres esquelz sont situés les deux nombres ml’tipliez, il trouve le lieu ou doit être situé le nombre venu de la multiplication » *s’attaque au problème du tonneau Il a tout ce qu’il faut pour introduire les logarithmes, mais il s’arrête là, tout en ajoutant : « En cette considération est manifestement quelque secret qui appartient aux nombres».

12. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE Chuquet n’est pas suivi Il faut attendre • STIEFEL(1486 , 1567 ) qui publie à Nuremberg en 1544 un traité de mathématique Arithmetica Integra. Il n’hésite pas à utiliser les nombres négatifs et va jusqu’à écrire les progressions arithmétiques et géométriques : ...-5 , -4 , -3 , -2 , -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... ...1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1 , 2, 4 , 8, 16, 32, ... Non seulement il fait correspondre (3 + 5) à (8 x 32), mais aussi (-2 + -3=-5) à (1/4 x 1/8 = 1/32).

13. Ch.Naux signale : « Sa pensée de géomètre ne va pas au-delà. Il ne cherche pas à attirer l’attention du lecteur sur l’usage possible de sa remarque... Cet arrêt n’est peut être que la suite d’un manque d’audace, et il se peut que Stiefel soit allé beaucoup plus loin, dans la direction de Neper, car il termine son chapitre par ces paroles mystérieuses : « on pourrait écrire, en ces circonstances, un livre nouveau presque entièrement consacré aux merveilles de ces nombres ; mais il faut que je me retire d’ici et que je m’en aille les yeux fermés ; cependant, je reprendrai une des questions précédentes, afin que l’on ne puisse pas dire que je suis entré en vain dans ce domaine, j’attaquerai de nouveau la question intouchée parce qu’elle me semble à reprendre.» »

14. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE • Les progrès en arithmétique et calcul : • STEVIN ( 1548 , 1620 ) expose en 1585 in «L’Arithmétique » sous le titre: « la disme enseignant facilement expedier par nombres entiers sans rompuz, tous comptes se rencontrans aux affaires des Hommes » la construction du système décimal. Stevin insiste sur le fait que la représentation décimale illimitée permet d’assimiler les irrationnels à de véritables nombres puisqu’ils obéissent aux mêmes propriétés opératoires.

15. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE • Recherche de l’écriture moderne = beau désordre: Durant la Renaissance (fin XIVième, début du XVII ième) les mathématiciens sont à l’affût de tout ce qui peut simplifier les calculs; les notations en usage constituent un obstacle : • Jusqu’à la moitié du XVI ème 437/1000 = 0,437 était ignorée, seule la notation fractionnaire étant admise comme par exemple : • La notation décimale actuelle s’impose finalement au début du XVII ième mais pas encore fixée pour les travaux de Neper pour lequel, de plus, un sinus est la longueur d’un segment dans un cercle de rayon quelconque: il prendra 10 000 000 pour rayon afin que ses valeurs aient 7 décimales ( le sinus total est donc 107 ) (comme KEPLER)

16. Notation de 36,723 en fonction des auteurs: (Cf doc) • STEVIN (1585 ) « pratique arithmétique » 36 (0)7(1) 2( 2 ) 3(3) ou bien : (0) (1) (2) (3) 36 7 2 3 • MAGINI « de Planis triangulis » (1592) : 36.723 • CLAVIUS C « Astrolabe » (1583 ): 36.723 • BURGY « Progress tabulen » (16??): 0 ou 36 723 le zéro indique l’unité simple 36 723 0 • NAPIER « Rhabdologia » ( 1617 ) : 36,723 ou 36,2’2’’3’’’ • BAYER « Logistica Decimalis » (1619) :36°723’’’ ou Ou encore • BRIGGS Trigonométrie Britanique ( vers 1600 ) :

17. Pour simplifier les calculs : les machines • Les bâtons de NEPER Vers 1600 John Neper (ou Napier) (1550;1617 ), invente à partir d'un ancien procédé appelé « per gelosia », ces bâtons qui représentent en fait une disposition spéciale de la table de multiplication qui facilite et accélère les opérations coutumières.

20. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE naissance des logarithmes • NEPER(1550;1617 ) publie en 1614 le

21. 2.VUE D’ENSEMBLE ETCHRONOLOGIE « Mirfici logarithmorum canonis descriptio… » (édité sans crédits royaux semble-t-il) comprendre : « Description des merveilleuses règles des Logarithmes et de leur usage dans l’une et l’autre trigonométrie, aussi bien que dans tout calcul mathématique. Avec l’explication la plus large, la plus facile et la plus dégagée de complications » C’est dans le « descriptio » que sont expliqués les principes qui ont permis la construction des tables et qui nous éclairent sur sa pensée. Ses motivations sont clairement expliquées dans la préface de son traité:

22. « Très illustre amateur de mathématiques, comme rien n’est aussi pénible que la pratique des mathématiques, parce que la logistique est d’autant plus freinée, retardée que les multiplications, les divisions, et les extractions de racines carrées ou cubiques portent sur des grands nombres ; qu’elle est soumise à l’ennui de longues opérations et beaucoup plus encore à l’incertitude des erreurs, j’ai entrepris de rechercher par quel procédé sûr et rapide on pourrait éloigner ces obstacles. Dans ce but, j’en ai examiné soigneusement une grande quantité, les uns après les autres, et enfin j’en ai trouvé plus d’un, clair et d’un emploi facile... À la vérité, aucun, parmi les autres, n’est plus utile que l’un deux ; par son moyen, on rejette les nombres utilisés dans les multiplications, les divisions et les extractions de racines lorsqu’elles sont difficiles et prolixes, et on les remplace par d’autres nombres, que j’ai pris soin de leur adjoindre, et l’on achève le calcul par des additions, des soustractions, des divisions par deux et par trois seulement... Il m’a plu de communiquer son usage au monde des mathématiciens. »

23. NEPER(1550;1617 ) Il utilise une approche cinématique pour mettre en relation une suite géométrique et une suite arithmétique dont les termes sont les logarithmes. Le mot est de Neper : formé de logos ie « raison de différence » ( de progression arithmétique) et de arithmos ie multiple L’ouvrage comprend une table des logarithmes des sinus , les angles croissant de minute en minute ( unité 107 ) En 1619 paraît de façon postume le « Mirfici logarithmorum canonis constructio… »

24. 2.VUE D’ENSEMBLE ET CHRONOLOGIE L’APRÈS NEPER : • BRIGGS(1556 . 1630 ) a saisi l’importance des travaux de Neper, reprend l’idée fondamentale mais en adoptant une suite géométrique simple, celle des puissances de 10 : il propose à Neper de poser log(sin(90°))=0 et log (sin(5°44’21’’)=1 et publie en 1617 une table des logarithmes décimaux avec 8 décimales. Il dégage la formule algébrique fondamentale : log (ab)=log(a) + log(b) ( ce que Neper n’a pas fait explicitement)

25. L’APRÈS NEPER : BURGI , né en 1552, amateur autodidacte suisse et horloger, astronome et mathématicien, propose en 1620 ses tables de logarithmes conçues à une date antérieure très indéterminée ( sans avoir connaissance des travaux de Neper ).

26. L’ APRÈS NEPER : Premières utilisations : En 1618 en Allemagne, à Vienne, KEPLER(1571;1630) prend conscience de l’intérêt des travaux de NEPER ; il adapte le concept à ses besoin et publie en 1620 ses éphémérides qui sont dédiées au « célèbre et noble seigneur J Neper, baron de Merchiston ».

27. L’ APRÈS NEPER : Premières utilisations : La diffusion sur le continent est surtout due aux tables publiées par le Flamand Adrein ULACQ en 1628 reprenant les tables de Briggs.(Ozanam y fait référence en 1670 et Euler en 1728 ) Jusqu’à ce que le calcul différentiel ne bouleverse tout (par l’art de penser les grandeurs variables ) les logarithmes demeureront ceux du traité de 1614…ou de 1620 ( Briggs ).

28. Le nombre e et le log naturel • Dans un premier temps, e n’éveille guère l’attention des mathématiciens bien qu’ Oughtred William(1574;1660)l’utilise déjà dans ses calculs en 1618. • En 1661Christiaan Huygens(1629 ; 1695) : lien géométrique aire sous l’ hyperbole / les log / le nombre e (non remarquable). • Le suisse Jakob Bernoulli(1654 ; 1705) en 1683: • 2 < e < 3 grâce à limite de (1+1/n)n (finance/intérêts) personne ne fait le lien entre ce nombre et les logarithmes naturels. • En 1690, Gottfried Wilhelm von Leibniz(1646 ; 1716) • e = base log naturels • le nomme b • Leonhard Euler(1707 ; 1783). • Définit et nomme e • e est irrationnel • Charles Hermite(1822,1901) en 1873: e est transcendant

29. Huygens Leibniz Oughtred J Bernouilli Hermite Euler

30. L’ APRÈS NEPER :Vers la fonction logarithme ou de Neper à Euler Aire sous l’hyperbole: Etape essentielle du développement du concept mathématique Elle est due à GrégoiredeSAINT VINCENT(1584 ; 1667), jésuite et grand géomètre, qui s’intéresse à la quadrature de l’hyperbole. Il publie un ouvrage en 1647 dans lequel il prétendait avoir résolu la quadrature du cercle ( à tord ) et établi un lien entre la quadrature de l’hyperbole et les logarithmes ( à raison ); travaux améliorés par le jésuite SARASSA par la suite.

31. L’ APRÈSNEPER :Vers la fonction logarithme • En 1646TORRICELLI(1608;1647)traite, pratiquant les méthodes des anciens, de la courbe logarithmique (ligne géométrique …) Torricelli

32. L’ APRÈS NEPER :Vers la fonction logarithme • En 1667WALLIS(1616; 1703) ET NicolasMERCATOR(1620 ; 1687 ) : développement en série de log(1+x). WALLIS

33. L’ APRÈS NEPER :Vers la fonction logarithme • Statut de fonction, développement en série envisagés par KEPLER. • Les logarithmes ne sont plus une simple méthode de calcul. Ils font désormais partie du corpus mathématique et on les trouve dans de nombreux ouvrages. Le statut théorique du log ne fait plus de problème.

34. L’ APRÈS NEPER :Vers la fonction logarithme L’utilisation suit alors 4 directions: • Calculs de formules géométriques, astronomie, navigation; ouvrages de calcul, tables et mode d’emploi. • Application à tous calculs multiplicatifs et construction de règles à calcul ( utilisées jusque dans les années 1960!) • Conjectures à partir d’expériences de modèles qui mettront en jeu des logarithmes par comparaison de valeurs • Théorique : grâce à l’introduction par LEIBNIZ(1646;1716) et NEWTON(1643,1727) du calcul différentiel vers 1675 :ils écrivent déjà

35. Newton Leibniz

36. L’ APRÈS NEPER: Vers la fonction logarithme Le calcul infinitésimal s’impose, et sous son impulsion, y=log(x) devient fonction de x… Jusqu’à EULER en 1748 on ne sait dire quel est le degré d’appréhension de l’idée de fonction. Le mot fonction apparaît dans la correspondance entre Leibniz et Jean Bernouilli (1667,1748) ( juillet-août 1698 ), rendu public en 1718.

37. L’ APRÈS NEPER: la fonction exponentielle En mai 1694Jean Bernouilli avise Leibniz qu’il vient de découvrir une nouvelle variété de courbes , « percutantes », par exemple y=ax et xx = y, et donc il élève l’exposant x aux valeurs variables. Il publie en 1697. Avant même de prendre vraiment conscience de la notion de fonction, Leibniz et Bernouilli ont réalisé l’inversion de la fonction logarithme en passant de y = log(x) à x = ay La « fonction » exponentielle, dont la forme simple est y=ax , est l’inverse de la « fonction » logarithmique vers 1700 donc.

38. L’ APRÈS NEPER: EULER (1707 ; 1783). Depuis 1700 Euler a eu le temps de reconnaître les éléments d’une théorie unifiée : Leibniz avait présenté les exponentielles comme des êtres nouveaux, dont la connaissance était tributaire des log; Euler revient sur cette séparation et la remplace par interdépendance: ax =y équivaut loga (y) = x In Analyse des infiniment petits en 1748 Doc.

39. la règle à calcul 1624- règle logarithmique – E GUNTER (1581-1626). 1630 William OUGHTRED

40. Quelques adresses: • http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies • http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&elt=477 ( Simon(e?) Trompler , UREM Bruxelles) • http://interstices.info/display.jsp?id=c_15272&portal=j_97&printView=true Quelques références: • HISTOIRE DES LOGARITHMES TOME I & II– C NAUD – lib BLANCHARD • MATHEMATIQUE AU FIL DES AGES – GAUTHIERS-VILLARS • Simon(e?) TOMPLER , UREM Bruxelles/ COURS EN LIGNE • Gil PAGES quadrature n° 2 Janv/Fév 1990 • Gilbert ARSAC irem DE LYON Bulletin vert APM n° 2991

41. 3.TRAVAUX DE NAPIER Atelier : • Cf documents : travaux de NEPER • Les travaux de J OZANAM (1640;1717)(1670 )