UNIVERSITE DE OUAGADOUGOU

1. UNIVERSITE DE OUAGADOUGOU UNITE DE FORMATION ET DE RECHERCHE EN SCIENCES EXACTES ET APPLIQEES (U.F.R/S.E.A) DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET D’INFORMATIQUE LABORATOIRE D’ANALYSE NUMERIQUE D’INFORMATIQUE ET DE BIOMATHEMATIQUE (LANIBIO) Nouvelles méthodes pour la biomédecine

2. DOCTORAT THESE UNIQUEEN MATHEMATIQUES APPLIQUEES Option :Analyse Numérique et Biomathématique Présentée et soutenue publiquement par Balira Ousmane KONFE. Directeurs de thèse : Pr. Yves CHERRUAULT Pr. Blaise SOME Nouvelles méthodes pour la biomédecine

3. Laboratoire LANIBIO THEME : Nouvelles Méthodes Mathématiques (Adomian Alienor) pour la Biomédecine. Nouvelles méthodes pour la biomédecine

4. Laboratoire LANIBIO THEME : PLAN DE L’EXPOSE Nouvelles méthodes pour la biomédecine

5. Laboratoire LANIBIO • Le VIH/SIDA • Le Paludisme • En Recherche Opérationnelle I - Motivations Nouvelles méthodes pour la biomédecine

6. Laboratoire LANIBIO III- Optimisation globale • Méthode de pénalisation • La méthode Alienor • Opérateur qui Préserve l’Optimisation • Programmation de la méthode et exemples Nouvelles méthodes pour la biomédecine

7. Laboratoire LANIBIO IV- APPLICATION • Le VIH/SIDA Le modèle Le contrôle • Le paludisme Le modèle Le contrôle Nouvelles méthodes pour la biomédecine

8. Laboratoire LANIBIO V- Conclusion et perspectives Nouvelles méthodes pour la biomédecine

9. Laboratoire LANIBIO I - Motivations • Le VIH/SIDA Résolution Contrôle Optimal : Sous les contraintes Nouvelles méthodes pour la biomédecine

10. Laboratoire LANIBIO I - Motivations • Le Paludisme • L’impact d’une supplementaion en Zinc et en vitamine A sur le syème immunitaire quant à l’infection palustre. • résolution d’un problème de contrôle Optimal qui a pour but de: - Diminuer le coût du traitement. - Maximiser la production d'anticorps. - Réduire le taux de plasmodium, Nouvelles méthodes pour la biomédecine

11. Laboratoire LANIBIO I - Motivations • 3 En Recherche Opérationnelle Résolution de certains problèmes d’optimisation global en Recherche opérationnelle Nouvelles méthodes pour la biomédecine

12. Laboratoire LANIBIO I - Motivations Contrôle Optimal Méthode Adomian Optimisation global Méthode Alienor + O.P.O* Solution Nouvelles méthodes pour la biomédecine

13. Laboratoire LANIBIO I - La méthode d’Adomian 1 Présentation 2 Programmation de la méthode 3 Application au contrôle optimal Nouvelles méthodes pour la biomédecine

14. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian La méthode décompositionnelle d'Adomian permet de résoudre des problèmes fonctionnels de différents types : équations algébriques, différentielles, intégrales, intégro-différentiels, aux dérivées partielles etc… 1. Présentation et à décomposer le terme non linéaire N(u) sous forme d'une série : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

15. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian 1. Présentation Ce qui entraîne par identification : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

16. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Soit le système suivant : 1. Présentation Nouvelles méthodes pour la biomédecine

17. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian L'algorithme d'Adomian est le suivant : 1. Présentation Nouvelles méthodes pour la biomédecine

18. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Définition. Soit N un opérateur de p variables. Par définition, les polynômes d'Adomian associés à N sont donnés par la formule : 1. Présentation où: Nouvelles méthodes pour la biomédecine

19. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Une nouvelle formule pour le calcul des polynômes d'Adomian dans le cas multidimensionnel. 1. Présentation Considérons : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

20. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Les polynômes d' Adomian associés à Théorème. 1. Présentation où sont les polynômes associés à fixé ). fixé (resp. Nouvelles méthodes pour la biomédecine

21. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Exemple de calcul pour le cas de variables 1. Application au système Nouvelles méthodes pour la biomédecine

22. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Un programme informatique pour le calcul des polynômes d'Adomian pour les systèmes d'équations le programme a été proposé sous forme de sous programme paramétré. 2. Programmation de la méthode Adomian(P, M, N) Nouvelles méthodes pour la biomédecine

23. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Ensuite un Programme pour la résolution des équations du type 2. Programma-tion de la méthode Exemple de résolution d’ E.D.P Nouvelles méthodes pour la biomédecine

24. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian La solution exacte est donnée par : 2. Programmation de la méthode (E2) peut être réécrit sous la forme : L'algorithme d'Adomian pour (E2) est : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

25. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian 2. Programmation de la méthode Nouvelles méthodes pour la biomédecine

26. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Solution exacte Solution approchée La solution approchée est : 2. Programmation de la méthode La représentation graphique de la solution exacte et de la solution approchée est donnée par : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

27. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Application à la résolution des Problèmes de contrôle optimal • Lorsque des paramètres apparaissent dans l’équation, chaque terme de la série solution dépend explicitement de ces paramètres. Nouvelles méthodes pour la biomédecine

28. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Considérons pour cela le système différentiel « contrôlé » : 3. Application au contrôle optimal avec le critère suivant à minimiser : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

29. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Nous recherchons le contrôle u(t) sous la forme 3. Application au contrôle optimal Nouvelles méthodes pour la biomédecine

30. Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian 3. Application au contrôle optimal Le résultat final est : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

31. Laboratoire LANIBIO II- Optimisation globale • Méthode de pénalisation • La méthode Alienor • Opérateur qui Préserve l’Optimisation • Programmation de la méthode et exemples Nouvelles méthodes pour la biomédecine

32. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Nous proposons une nouvelle méthode de pénalisation ne nécessitant ni la condition de dérivabilité sur les contrainte ni un nombre élevé de coefficients de pénalisation. • Méthode de pénalisation Définition Le problème (P) défini par : où est le sous ensemble de X vérifiant le système Nouvelles méthodes pour la biomédecine

33. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Soit L la fonction définie de dans par : un réel positif. Problème sans contrainte associé à (P) • Méthode de pénalisation Définition. Nouvelles méthodes pour la biomédecine

34. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale le minimiseur global de L(X) alors : Soit en pratique est un poids choisi de l'ordre de Théorème. • Méthode de pénalisation de plus, Nouvelles méthodes pour la biomédecine

35. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Elle consiste à ramener une fonction multi variables à une fonction d'une seule variable à l'aide d'une transformation réductrice. 2 La méthode Alienor Cette transformation est basée sur l'introduction d'une courbe qui remplit l'espace au sens de l'alpha densité. Définition. Un sous espaceS est dit -dense dans si : Théorème fondamental Tout point depeut être approché, avec la précision que l'on souhaite, par au moins un point de la transformation Alienor. Soit à résoudre le problème suivant : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

36. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale 2 La méthode Alienor On construit alors une courbe paramétrée telle que : le problème devient alors : où Nouvelles méthodes pour la biomédecine

37. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale La première transformation réductrice proposée par les inventeurs de cette méthode utilise la spirale d'Archimède 2 La méthode Alienor En coordonnées polaires ce point s'écrit : On peut alors relier r et grâce à la spirale d'Archimède d'équation dont la représentation graphique est donnée par la figure. Nouvelles méthodes pour la biomédecine

38. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale 2 La méthode Alienor Nous obtenons alors : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

39. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Nouvelle transformation réductrice 2 La méthode Alienor De façon précise, considérons la transformation réductrice suivante : où les sont définis comme suit : et sont deux suites choisies lentement croissantes les On peut démontrer le théorème suivant : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

40. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Théorème 2 La méthode Alienor La transformation est alpha dense avec un coefficient de densité : Proposition. La longueur de la courbe est donnée par : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

41. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale S'il est vrai que les transformations que nous venons d'exposer sont totalement justifiées sur le plan théorique il n'en reste pas moins vrai que, dans la pratique, la fonction d'une variable 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation qui en découle possède plusieurs e minima locaux. La recherche du minimum global devient dès lors une tâche difficile. G. Mora, Y. Cherruault et A. Benabidallah ont proposé L'opérateur en question est appelé Opérateur qui Préserve l'Optimisation (O.P.O). Nouvelles méthodes pour la biomédecine

42. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Définition 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Un opérateur Soit F un sous-ensemble de est appelé Opérateur qui Préserve l'Optimisation globale ( Optimization-Preserving-Operator ) si pour tout et on a : c'est à dire que les deux ensembles admissibles ont, au moins, un minimiseur global commun. Nouvelles méthodes pour la biomédecine

43. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Proposition , A une constante et 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Soient t0 un point arbitraire de la fonction de Heaviside. Soient f une fonction lipchitzienne de constante L et , avec une fonction bijective de classe alors l'opérateur définit par : est un Opérateur qui Préserve l'Optimisation (O.P.O). De plus nous avons : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

44. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Un Nouveau type d'opérateur préservant l'optimisation. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Définition. Soit f une fonction lipchitzienne définie sur dans et vérifiant la condition de la croissance à l'infini c'est à dire : Pour point arbitraire de , l'opérateur associé à la fonction objectif f , défini de F dans par est appelé Opérateur qui Préserve l'Optimisation* (O.P.O*). Nouvelles méthodes pour la biomédecine

45. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Théorème. Soit S l'ensemble des solutions de l'équation Tf (x)=0 : Dans la pratique, la procédure (automatique) pour atteindre le minimum global (en un temps de calcul très court) est résumée par l'algorithme suivant : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

46. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Étape 0. Initialisation. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation On fixe et on choisit une valeur arbitraire On applique l'opérateur au point Étape 1. Résolution d'équation. Résoudre On pose : Si Alors est minimiseur global. Nouvelles méthodes pour la biomédecine

47. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Fin. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Sinon, Étape 2. Modification de Soit On applique au point Retour à l'étape 1 Jusqu'ici, la résolution des problèmes d'optimisation a été faite graphiquement, c'est pour cette raison que nous allons ajouter la fonction d'Heaviside à l'expression de l‘ O.P.O* pour visualiser toutes les valeurs de x réalisant Plus précisément, on a : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

48. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale définit un O.P.O Théorème. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Soientun point arbitraire de , un réel positif assez petit etla fonction d'Heaviside. Pour toute fonction , l'opérateur donné par : . Nouvelles méthodes pour la biomédecine

49. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Exemples de résolution graphique. Exemple 1(n=1; m=2). • Programmation de la méthode et exemples La fonction à minimiser est définie comme suit : avec les contraintes suivantes : Nouvelles méthodes pour la biomédecine

50. Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Graphe de f(x) • Programmation de la méthode et exemples Nouvelles méthodes pour la biomédecine