Prúdenie ideálnej kvapaliny

1. Prúdenie ideálnej kvapaliny Hanka Ostrihoňová

2. Obsah • Základné pojmy hydrodynamiky • Rovnica spojitosti = Zákon zachovania hmotnosti • Tlaková energia • Bernoulliho rovnica = Zákon zachovania energie • Použitie Bernoulliho rovnice

3. Voda a plyn sa privádzajú do domácností a závodov potrubím. • Ropovodmi a plynovodmi sa dopravujú do našej republiky ropa a plyn. • Olej potrebný na mazanie súčastí strojov a dopravných prostriedkov sa rozvádza tlakovým potrubím. • Tepny a žily v ľudskom tele sú sústavou potrubí, ktorá zabezpečuje krvný obeh. Preto poznanie zákonov prúdenia má veľký význam.

4. Aby sme získali istú predstavu o pohybe častíc kvapaliny, pridáme do prúdiacej kvapaliny ľahký prášok. Z väčšej vzdialenosti nerozoznáme jednotlivé zrnká prášku a vidíme celé krivky utvorené pohybujúcimi sa zrnkami prášku • Keď voda prúdi rovnomerne, po istom čase sa rozloženie kriviek ustáli. Jednotlivé zrnká sú ľahké, preto prúdia v tom istom mieste rovnakou rýchlosťou ako častice kvapaliny. Krivky utvorené unášaným práškom sú obrazom trajektórie častíc kvapaliny. Častice sa pohybujú istou rýchlosťou, ich smer je určený dotyčnicou v danom mieste trajektórie.

5. Keď je rýchlosť prúdiacej kvapaliny v danom mieste stála (s časom nemenná), nazýva sa takéto prúdenie ustálené (stacionárne). • V opačnom prípade sa prúdenie nazýva neustálené (nestacionárne). • Prúdnica je taká myslená čiara, ktorej dotyčnica zostrojená v ľubovoľnom bode určuje smer rýchlosti pohybujúcej sa častice kvapaliny. Každým bodom kvapaliny prechádza práve jedna prúdnica. Prúdnice sa nemôžu pretínať. • Predstavme si vnútri prúdiacej kvapaliny uzavretú krivku, ktorej každým bodom prechádza prúdnica. Všetky tieto prúdnice tvoria plochu, ktorá sa nazýva prúdová trubica. Kvapalinu ohraničenú touto trubicou nazývame prúdové vlákno.

6. Rovnica spojitosti (kontinuity) • Uvažujeme o ustálenom prúdení kvapaliny v prúdovej trubici s prierezom S. • Keď je rýchlosť kvapaliny v, za 1 sekundu pretečie prierezom S objem kvapaliny S.v . Keď je hustota kvapaliny ρ, hmotnosť kvapaliny, ktorá za 1 sekundu pretečie týmto prierezom (hmotnostný tok), je Qm = S . v . ρ • Keďže kvapalina nemôže stenami trubice ani vytiecť, ani pritiecť, musí byť hmotnostný tok v ľubovoľnom priereze trubice stály, čiže S . v . ρ = konšt.

7. Táto rovnica sa nazýva rovnica spojitosti alebo kontinuity a je vyjadrením zákona zachovania hmotnosti pre ustálené prúdenie kvapaliny. • Rovnica spojitosti v uvedenom tvare platí aj pre plyny, teda pre všetky tekutiny. • Keď uvažujeme o prúdení nestlačiteľnej kvapaliny, tak pri stálej teplote je stála hustota, a preto môžeme rovnicu spojitosti písať aj v tvare S . v = konšt. S1 . v1 = S2 . v2

8. Tlaková energia • Voda pod tlakom môže konať prácu, má energiu, ktorú nazývame tlaková energia. Keď sa piest pôsobením tlakovej sily kvapaliny F = p . S posunie o dĺžku x, vykoná prácu W = F . Δ x = = p.S.Δ x = = p.ΔV

9. Vykonaná práca je určená súčinom tlaku a zmeny objemu kvapaliny v tlakovej trubici. Z uvedeného vzťahu pre tlak kvapaliny vyplýva p = W : Δ V platí [p] = 1 Pa = J . m-3 • Číselná hodnota tlaku kvapaliny určuje číselnú hodnotu tlakovej energie kvapaliny pripadajúcu na jednotkový objem.

10. Bernoulliho rovnica a hydrodynamický paradox • Vodorovnou trubicou s rôznymi prierezmi, na ktorej sú manometrické trubice, necháme prúdiť vodu. • Výška vody v manometrickej trubici udáva tlak prúdiacej kvapaliny v danom mieste. Zistíme, že najväčší tlak je v tej časti trubice, ktorá má najväčší prierez, a preto podľa rovnice spojitosti voda v nej prúdi najmenšou rýchlosťou. V miestach, kde je prierez najmenší a rýchlosť prúdenia najväčšia, zistíme najmenší tlak. Celková energia prúdiacej kvapaliny daná súčtom tlakovej a kinetickej energie je vo všetkých miestach ( potrubia ) stála.

11. Pre miesta s rozličnými prierezmi vodorovnej trubice teda platí • Bernoulliho rovnica vyjadruje zákon zachovaniamechanickej energie prúdiacej ideálnej kvapaliny vo vodorovnej trubici. Pre plyny je táto rovnica zložitejšia, pretože zmenou tlaku mení sa aj hustota plynov.

12. Použitie Bernoulliho rovnice • Znalosť Bernoulliho rovnice umožňuje merať veľkosť rýchlosti prúdiacej kvapaliny. • Napríklad prvá manometrická trubica registruje hodnotu tlaku v prúdiacej kvapaline. V druhej manometrickej trubici, ktorá má otvor obrátený proti prúdu kvapaliny, klesne rýchlosť prúdenia na nulu, a preto meraný tlak udáva celkovú mechanickú energiu kvapaliny v jednotkovom objeme v trubici

13. Odtiaľ pre veľkosť rýchlosti dostaneme (p1 < p2) • Podobný vzťah odvodíme pre veľkosť rýchlosti kvapaliny vytekajúcej malým otvorom, ktorý je v stene nádoby v hĺbke h pod voľným povrchom kvapaliny. Pre hladinu kvapalín v hĺbke h platí

14. Po dosadení do Bernoulliho rovnice dostaneme • A pre veľkosť výtokovej rýchlosti platí • Rýchlosť vytekajúcej kvapaliny má práve takú veľkosť, akú by získali častice kvapaliny pri voľnom páde z výšky h. • Pomocou Bernoulliho rovnice môžeme vysvetliť i činnosť rozprašovača. Princíp rozprašovača je základom činnosti sprejov, karburátorov a pod.

15. Zdroje • J. Vachek a kol. : Fyzika pre 1. ročník gymnázií, SPN, Bratislava, 2001