Blackova – Scholesova analýza

Ekonomická univerzita, Fakulta hospodárskej informatiky Dolnozemská cesta 1, 852 35 Bratislava Blackova – Scholesova analýza doc. RNDr. Ľudovít Pinda,CSc. EU FHI, Katedra matematiky e-mail:pinda@euba.sk november 2009 Bratislava

CENA AKTÍVA AKO NÁHODNÁ PREMENNÁ

JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA Obr.1 - priemerná miera výnosnosti rastu ceny aktíva - volatilita aktíva meraná strednou kvadratickou odchýlkou výnosnosti aktíva

, hodnota aktíva v čase • je náhodná premenná a riadi sa normálnym rozdelením, • stredná hodnota sa rovná nule, • disperzia je JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA (1) Wienerov proces: .

JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA je náhodná premenná sa riadi štandardizovaným normálnym rozdelením. Štandardizované normálne rozdelenie má nulovú strednú hodnotu, disperziu rovnú jednej a rozdelenie pravdepodobnosti dané funkciou pre Ak definujeme operátor očakávania ako pre ľubovoľnú funkciu F, potom a

AkS sa riadi podľa (1), potom sa riadi lognormálnym rozdelením. Budúca cena aktíva závisí len od súčasnej ceny aktíva. Nezávislosť od vývoja ceny v minulosti sa nazýva Markovova vlastnosť. . Teda ďalšia hodnota S je väčšia o Ďalej disperzia dS je kde JEDNODUCHÝ MODEL CENY AKTÍVA

ak ITÔOVO LEMMA Ak zmeníme S o malú hodnotu dS, potom z Taylorovho rozvoja môžeme písať (2) Ak za dS zoberieme tvar uvedený v (1) a umocníme ho na druhú, tak (3)

Výsledok môžeme rozšíriť na funkciu dvoch premenných . Potom môžeme funkciu rozvinúť do Taylorovho radu v okolí ako ITÔOVO LEMMA

BLACKOV – SCHOLESOV MODEL • S – cena aktíva v čase , • V(S,t) – hodnota opcie, • C(S,t) – hodnota kúpnej ( call ) opcie, • P(S,t) – hodnota predajnej ( put ) opcie, • – volatilita odpovedajúceho aktíva, • E – dodacia cena, dohodnutá v prítomnosti, • T – doba exspirácie ( životnosti ) opcie, • r – bezriziková úroková sadzba so spojitým úrokovaním, • at – the – money, opcia je realizovaná v hodnote odpovedajúceho aktíva, • in – the – money, realizačná cena je menšia (väčščia) pre kúpnu (predajnú) opciu) ako S, • out – of – the – money, kúpna, predajná opcia, je mimo intristickej hodnoty.

BLACKOV – SCHOLESOV MODEL PUT - CALL PARITA

PREDPOKLADY: • cena aktíva S sa riadi lognormálnym rozdelením, • bezriziková úroková sadzba r a volatilita ceny aktíva sú počítané z historických dát, • neuvažujeme transakčné náklady, • neuvažujeme dividendové platby aktíva počas životnosti opcie, • neuvažujeme arbitrážne príležitosti, • uvažujeme spojité úrokovanie, • uvažujeme krátku aj dlhú pozíciu aktíva, ktoré nemusí byť v celočíselnom násobku jednotkového množstva. BLACKOV – SCHOLESOV MODEL

Ak dosadíme , tak BLACKOV – SCHOLESOV MODEL Blackova – Scholesova parciálna diferenciálna rovnica

je distribučná funkcia normovaného normálneho rozdelenia resp. Blackova – Scholesova formula európskej call opcie

, , , Blackova – Scholesova formula európskej call opcie Obr.2

, , , Blackova – Scholesova formula európskej call opcie Obr.3

Blackova – Scholesova formula európskej call opcie , , , (3) za podmienok pre Označme , , (4) Rovnica (4) je tzv. difúzna rovnica. Ak položíme za funkciu

Ak porovnáme koeficienty pri funkcii a , tak dostaneme sústavu rovníc , , kde funkcia je riešením difúznej rovnice pre Blackova – Scholesova formula európskej call opcie z ktorej dosadzovacou metódou vypočítame Po dosadení do funkcie je

. , Blackova – Scholesova formula európskej call opcie s riešením Ak zavedieme substitúciu

, je Blackova – Scholesova formula európskej call opcie

Aproximácia distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia na štyri desatinné miesta , , , , Blackova – Scholesova parciálna diferenciálna rovnica. a kde

TABUĽKY Tab. 1

TABUĽKY Tab. 2

 Príklad 1 Vypočítajme hodnotu normovaného normálneho rozdelenia pre d1 ak S = 88, X = 90, T= 0.5, r % 0.1, ,  Riešenie: Potom

 Príklad 2  Riešenie: Teda S = 60, X = 65, T = 0.25, r = 0.08, .Teda Hodnotu distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia určíme podľa tab. 1 príp. tab. 2. Potom Vypočítajme cenu európskej call opcie s dobou exspirácie tri mesiace. Cena odpovedajúceho aktíva je 60, realizačná cena aktíva je 65, bezriziková úroková sadzba 8 % p. a. volatilita ceny odpovedajúceho aktíva je 30 % p. a. a cena európskej kúpnej opcie C je

Ďakujem za pozornosť doc. RNDr. Ľudovít Pinda, CSc. mail: pinda@euba.sk

Blackova – Scholesova analýza