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Johannes-Kepler- Gymnasium Wendepunkte

Johannes-Kepler- Gymnasium Wendepunkte. Lernangebot. Weitere markante Punkte? Wendepunkte. Das Krümmungsverhalten eines Graphen. f(x)= -2/3x 3 +10x²+22x –20 Wie finden wir Hoch-/Tiefpunkte?. f’(x)= -2x²+20x+22 Notwendige Bedingung: f‘(x 0 ) = 0.

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Johannes-Kepler- Gymnasium Wendepunkte

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Presentation Transcript

  1. Johannes-Kepler- Gymnasium Wendepunkte

  2. Lernangebot • Weitere markante Punkte? Wendepunkte. • Das Krümmungsverhalten eines Graphen.

  3. f(x)= -2/3x3 +10x²+22x –20 Wie finden wir Hoch-/Tiefpunkte? f’(x)= -2x²+20x+22 Notwendige Bedingung: f‘(x0) = 0 Hinreichende Bedingung: f‘(x) = 0  VZW der ersten Ableitung -/+ TP +/- HP oder f’’(x)= -4x+20 f’’(x0) > 0 TP f’’(x)= -4x+20 f’’(x0) < 0 HP

  4. f(x) = 1/20(x4 + 3x³- 10x²- 24x) f‘(x) = 1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24) f‘‘(x) = 1/20(12x² + 18x – 20) notwendige Bedingung: f‘(x0) = 0 1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24) = 0 mögliche Extremstellen bei: x = -3,2237; x = -0,9617; x = 1,9354 hinreichende Bedingung: f‘(x) = 0 und f‘‘(x)  0 f‘‘(-3,2237) = +2,33 > 0  Tiefpunkt f‘‘(-0,9617) = - 1,31 < 0  Hochpunkt f‘‘(1,9354) = +2,99 > 0  Tiefpunkt

  5. Mit Derive

  6. Anwendungsaufgabe: Kurvenlage Kurvenlage Die beste Linie, längs der ein Rennfahrer sein Motorrad durch einen Rennkurs steuern kann, heißt Ideallinie. An welchen Stellen muss ein Rennfahrer seine Kurvenlage wechseln, wenn die Ideallinie durch f(x)= –0,05x4 + 1,2x² + 2 beschrieben wird (–5 ≤ x ≤ 5) ?

  7. Krümmung Perspektivwechsel Wendepunkte Hoch- und Tiefpunkte Die Stellen mit minimaler/maximaler Steigung heißen Wendestellen, denn dort wendet man beim Entlangfahren auf der Kurve den Lenker um: Übergang von Rechtskrümmung in Linkskrümmung oder umgekehrt.

  8. Links- und Rechtskrümmumg Rechtskrümmung: Linkskrümmung: Steigung (also f’) nimmt ab Steigung (also f’) nimmt zu Vorzeichen von f’’ ist negativ Vorzeichen von f’’ ist positiv

  9. Wendepunkte Wendepunkt Wendestelle Die Lage der Wendepunkte gibt Auskunft über den Verlauf des Graphen, da diese Punkte Bereiche entgegengesetzter Krümmung voneinander trennen.

  10. Alle Ableitungen . Wie finden wir Wendestellen? . f‘(x) Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht. . f‘‘(x) Also wenn: f’’(x) = 0 und VZW der zweiten Ableitung . oder f‘‘‘(x) f’’(x)=0 und f’’’(x) 0

  11. Alle Ableitungen Woist die Geschwindigkeit am höchsten? f(x)= –0,05x4 + 1,2x² + 2 Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht. f’(x)= -0,2x³ + 2,4x f’’(x)=0 und VZW der zweiten Ableitung f’’(x)= -0,6x² + 2,4 oder f‘‘‘(x) = -1,2x f’’(x)=0 und f’’’(x) 0

  12. Zusammenfassung • Bei der Frage nach den Wendepunkten hat sich „alles um eine Ableitung • verschoben“: • Man betrachtet • f’(x) statt f(x), • f’’(x) statt f’(x), • f’’’(x) statt f’’(x) • und VZW der zweiten Ableitung statt VZW der ersten Ableitung. Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: f’’(xw) = 0 Hinreichende Bedingung Nr. 1: f”(xw) = 0 ∧ VZW von f” Hinreichende Bedingung Nr. 2: f’’(xw) = 0 ∧f’’’(xw) ≠ 0

  13. Beispielaufgabe Zu welchem Zeitpunkt ist das Tempo des Läufers maximal? Weg-Zeit-Diagramm für einen 100m-Sprinter. Strecke in m t in sec s(t)=0,0056t4 – 0,2t3 + 2,4t2

  14. Lösung s(t)=0,0056t4 – 0,2t3 + 2,4t2 Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: s’’(t)= 0 0,0672t²-1,2t + 4,8 = 0 Ergebnis: t1 ≈ 6,049 t2 ≈ 11,808 sind die möglichen Wendestellen Genauere Prüfung mit der hinreichenden Bedingung: s’’(t)=0 ∧ s’’’(t)≠0 s’’’(6,049) = -0,3870144 < 0 also max. Geschwindigkeit für t1= 6,049s (relatives Maximum der Geschwindigkeit) s’’’(11,808) = 0,3869952 > 0 also min. Geschwindigkeit für t2 = 11,808s (relatives Minimum der Geschwindigkeit)

  15. Sattelpunkt Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

  16. Die Fragen Die Fragen • Wie finde ich Wendepunkte? • Wie finde ich heraus, ob ein Graph an einer Stelle eine Links- oder eine Rechtskrümmung besitzt?

  17. Aufgaben

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