Die Schrödinger-Gleichung

1. Die Schrödinger-Gleichung Herkunft Lösungen wasserstoff-beispiel AmranAshouri

2. Herkunft • Es gibt keine Herleitung • Ein durch Richtigkeit der Vorhersagen bewiesenes Postulat wie Newtons Axiome • 1926 von Erwin SCHRÖDINGER formuliert • Ähnlich der klassischen Wellengleichung • Erfolgreiche Beschreibung quantenmechanischer Systeme

3. Die zeitunabhängige SG • Zunächst geht man von der allgemeinen Musterlösung der Schwingungsgleichung aus: • Zweimal nach x ableiten ergibt: •  beschreibt die stehende Materiewelle (De Broglie) eines Teilchens mit der Wellenlänge λ

4. Die zeitunabhängige SG • Elektronen haben Ladung und damit pot. Energie, neben kinetischer (beachte Epot=E-Ekin) • Aus p=h/λ und Ekin=p²/(2m) folgt Zusammenhang zur kin. Energie: • Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt:

5. Die zeitunabhängige SG • Die Lösungsfunktionen Ψ(x) müssen zeitunabhängig sein • Ψ²(x) gibt Aufenthaltswahrscheinlichkeit abhängig vom Ort an • Gilt nur für Systeme, bei denen die potentielle Energie nur vom Ort und nicht von der Zeit abhängt

6. Lösungen • Zuerst bestimmen Energiewert für ein spezifisches Teilchen in z.B. einem bestimmten Atom einsetzen, dannΨ(x) suchen • Ψ(x) ist eine Funktion, die die Schrödinger-Gleichung erfüllt (Differentialgleichung) • Zusatzbedingung: An den Grenzen muss Ψ(x) = 0 sein, da dort auch Epot=0

7. Beispiel lin. Potentialtopf • Im lin. Potentialtopf gilt Epot=0 • Aus folgt dann: • Konstanten eingesetzt (mit m=me) :

8. Beispiel Wasserstoffatom • Bedingungen: • Elektron im elektrischen Feld • Nun 3 Dimensionen • FürEpotgilt: • Eingesetzt => • Dreidimensional: Schwierig und aufwändig zu lösen…., aber möglich!

9. Beispiel Wasserstoffatom • Um für die Gleichung Lösungen zu finden macht man folgendes: • Abhängigkeit von den Koordinaten in Abhängigkeit vom Radius zum Atommittelpunkt und Raumwinkeln transformieren • Zerlegung in drei Gleichungen, die jeweils wieder eindimensional sind • Einzelne Lösungsfunktionen finden und Teilchenbewegung beschreiben können…

10. Beispiel Wasserstoffatom • Die nur von dem Radius abhängigen Gleichung: • Lösungsfunktionen hängen von Radius und Energie ab und erfüllen Randbedingung Ψ(∞) = 0 •  Ψ(r) beschreiben aber nur Bewegung, die sich auf Abstand zum Atommittelpunkt bezieht

11. Wasserstoffatom Anwendung • „Beweis“ der Richtigkeit der radiusabhängigen Schrödinger-Gleichung im Wasserstoffatom: