الفصل الخامس : التحويلات الهندسية

1. الفصل الخامس : التحويلات الهندسية مفهوم التحويل الهندسي: التحويل الهندسي على مستوى Eهو تقابل T:E→E. إذاً التحويل الهندسي هو تبديله على E.

2. مثال 5-1-1: (أ)إذا كان T:R²→R² حيث T(x,y)=(x-1,y+1)لكل (x,y)ЄR²،فإن T تحويل هندسي،لأن x-1,y+1)=(t-1,w+1)) T(x,y)=T(t ,w)→وعليه فإنx=t ^ y=w وهذا يعني أن (x,y)=(t ,w)،وبالتالي فإن Tدالة متباينة(أحادية)،لكن لكل(a , b) ЄR² يوجد (a+1,b-1)ЄR² بحيث إن T(a+1,b-1)=(a , b) وعليه فإن Tدالة شاملة.إذا T تقابل علىR² (ب) كل منT,S:R²→R² حيث T(x , y)=(-x , y) ، S(x , y)=(x,-y) لكل (x , y)ЄR² تحويل هندسي ،لأن كلا من S,T تقابل على . R² (ج) إذا كان T:R²→R² حيث T(x , y)=(2x,y) فإن Tتحويل هندسي، وصوره الشكل الذي رؤوسه (2,0),(-1,2),(2,4),(5,2) هو شكل رؤوسه (4,0),(-2,2), (4,4),(10,2) . (د) إذا كان T:R²→R² حيث T(x,y)=(x²,2y) لكل (x,y)ЄR² فإن T ليست تحويلا هندسيا؛لأن T دالة غير شاملة.

3. ملاحظة: إذا كانت Sمجموعة جميع التحويلات الهندسية على المستوى،فإن (S,∘) زمرة ليست إبدالية. 5-2:التقايس وخواصه: التحويلات الهندسية نوعان أحدهما يحافظ على خاصية البعد بين نقاط المستوى،و الاخرلا يحافظ على البعد بين نقاط المستوى.وسنركز اهتمامنا في هذا البند على النوع الأول ,وندرس خواصه ونبدأ بما يأتي : تعريف5-2-1: إذا كان T:E→E تحويلا هندسيا،فيقال عن: (أ) T أنه تماثل ذاتي ، إذا كان T يحافظ على العلاقات الأساسية : الوقوع، البينية، والتطابق. (ب) T أنه تقايس ،إذا كان ІABІ=ІT(A)T(B)І لكلABЄE .

4. مثـــــــال:5-2-1: (أ)إذا كان T:R²→R² حيث T(x, y)=(x,y+1) لكل (x, y)ЄR² ، فإن T تقايس ، لأن Tتحويل هندسي ، كما أن لكل B=(z , w)ЄR² و A=(x , y) نجد أن: (ب)إذ اكان T:R²→R² حيث T(x , y)=(2x,y) لكل (x , y)ЄR² فإن T ليست تقايسا، لأنه إذا كانت A=(x , y) ، B=(z , w) ،فإن والآن إلى بعض خواص التقايس،والمبرهنات الآتية: نظرية 5-2-1: (أ) كل تقايس هو تماثل ذاتي. (ب) مجموعة التقايسات على المستوى تكون زمرة جزئية من زمرة التماثلات الذاتية للمستوى.

5. ملاحظة: كل تماثل ذاتي يحافظ على مقياس الزوايا. إذاً إذا كان T:E→Eتماثلاً ذاتياً ،وكان T(∆ABC)=∆A`B`C`فإن الزوايا المناظرة متطابقة،وعليه فإن ∆ABC~∆A`B`C` وبالتالي فإن ІABІ ∕ ІA`B`І=ІACІ ∕ ІA`C`І=ІBCІ ∕ ІB`C`І=K . وإذا كان E مستوياً زائدياً ، فإن ∆ABC~A`B`C`يعني أن ∆ABC≡∆A`B`C` حسب نظرية (4-1-5) ، وعليه فإن ІABІ=ІA`B`І وبالتالي فإن T تقايس. تعريف 5-2-2 : إذا كان تحويلاً هندسياً , فيقال عن : (أ) A أنها نقطة ثابتة للتحويل T, إذا كان T(A)=A. (ب) مستقيم لا متغير للتحويل T , إذا كان .

6. الانعكاس و تطبيقاته نتناول في هذا الباب أحد أنواع التقايس يطلق عليه الانعكاس أو التناظر , موضحين خواصه و بعض تطبيقاته تعريف 5-3-1: (أ) يقال عن تحويل هندسي أنه انعكاس أو تناظر حول النقطة إذا كان : (1) , (2) إذا كانت , فإن , حيث A منتصف القطعة BC . (ب) يقال عن تحويل هندسي , أنه انعكاس أو تناظر حول المستقيم , إذا كان (1) لكل (2) لكل , حيث منتصف عمودي للقطعة . يسمى محور التناظر (الانعكاس), و تسمى النقطة Cصورة انعكاسية للنقطة , و تسمى المجموعة مجموعة متناظرة بالنسبة للمستقيم .لاحظ أن:

7. مثال5-3-1 أ ) إذا كان , حيث , فان انعكاس حول محور السينات . لأن يحول كل نقطة على محور السينات إلى نفسها ويحول كل نقطة لا تقع على محور السينات إلى نقطة أخرى يكون محور السينات منصفاً عمودياً للقطعة AB . ب) حيث لكل انعكاساً حول محور الصادات . جـ) حيث لكل انعكاساً حول نقطة الأصل (0,0) د) حيث لكل انعكاس حول المستقيم y=x هـ) حيث لكل , انعكاس حول المستقيم y=-x و) حيث لكل انعكاس حول المستقيم x=a ز) حيث لكل انعكاس حول المستقيم y=b

8. مثال5-3-4 إذا كانت فلكي نوجد محور الانعكاس الذي يحقق العلاقة لاحظ أن وعليه فان ومنه ينتج أن وهي معادلة محور الانعكاس ( التناظر ) نظرية 5-3-1 : تقايس . نتيجة : إذا كان انعكاساً , فإنه : (ا) يحول مستقيماً إلى مستقيم (ب) يحافظ على التعامد (ج) يحافظ على التوازي (د) يحافظ على قياس الزوايا , لكنه يغير اتجاهها . نظرية 5-3-2 : إذا ثبت تماثل ذاتي نقطتين و كان , فإن انعكاس حول المستقيم . نظرية 5-3-3 : إذا و إذا فقط وجد تقايس وحيد بحيث أن , , .

9. مثال 5-3-5 : المثلث الذي رؤوسه A=(-2,3) , B=(3,3) , C=(3,6)ينطبق على المثلث الذي رؤوسه F=(4,5) , E=(4,2) , D=(-1,2)لوجود تقايس T:R²→R² حيث T(x,y)=(x+1,y-1)لكل ينقل المثلث ABC إلى المثلث DEF . 5-4 الدوران : تعريف 5-4-1 : يقال عن تحويل هندسي أنه دوران باتجاه معين حول النقطة A بزاوية مقدارها , إذا كان : (أ) (ب) لكل حيث (ج) . تسمى A مركز الدوران , زاوية موجهة تبدأ من إلى , و التي قد يعبر عنها بالشكل . مثال 5-4-1 : , حيث دوران عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل (0,0) بزاوية مقدارها . فإذا كانت , فإن وهو التناظر حول نقطة الأصل . أما إذا كانت فإن .

10. مثال5-4-1:(أ)محور تناظر المثلث المتساوي الساقين هو العمود النازل من رأسه على القاعدة (ب) للمثلث المتساوي الأضلاع ثلاثة محاور تناظر هي ارتفاعاته الثلاثة , كما أنه متناظربالدوران حول مركزه بزاوية مقدارها 120 و بزاوية مقدارها 240 . (ج) للمربع أربعة محاور تناظر هي كل مستقيم يصل بين منتصفي ضلعين متقابلين أو رأسين متقابلين , كما أنه متناظر حول نقطة تقاطع قطريه بزاوية مقدارها 90 , 180 , 270 . (د) للمستطيل محوري تناظر هما المستقيمان اللذان يصلان بين منتصفي ضلعين متقابلين فيه , كما أنه متناظر بالدوران حول مركزه ” نقطة تقاطع المستقيمين المارين بمنتصفي كل ضلعين متقابلين فيه ” بزاوية مقدارها 180 . نظرية 5-4-1 : إذا كان عند النقطة A , و كان فإنه لأي نقطة نجد أن A منتصف القطعة حيث . نظرية 5-4-2 : تحصيل انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين هو دوران حول نقطة تقاطعهما بضعف زاوية هذين المستقيمين و في الاتجاه من المستقيم الأول إلى المستقيم الثاني . ملاحظة : (أ) الدوران حول نقطة هو تقايس , لأن الدوران حول نقطة هو تحصيل انعكاسين وكل انعكاس هو تقايس وتحصيل تقايسين هو تقايس أيضاً . (ب) الدوران يحافظ على الاستقامة , البينية , قياس الزوايا , التوازي و التعامد .

11. : إذا كان تقايساً غير ذاتي .فإن T دوران إذا و إذا فقط كان للتحويل T نقطة ثابتة واحدة نظرية 5-4-4:إذا كان T دورانا حول A ,وكان m أي مستقيم يمر بالنقطة A,فيوجد مستقيم وحيد يمر بالنقطة A بحيث أن نظرية 5-4-5:HAنصف دورة إذا وإذا فقط وجد مستقيمان متعامدان L,M عند A بحيث عن . نظرية 5-4-3 • نتيجة :إذا كانت عند A, فإن • الانسحاب :سنركز اهتمامنا الآن على تحصيل انعكاسين حول مستقيمين بعمود مشترك , وسنلاحظ أن خواص هذا النوع من التحويلات الهندسية تختلف في المستوى الزائدي عنها في المستوى الاقليدي ونبدأ بما يأتي :

12. تعريف 5-5-1:يقال عن تحويل هندسي T:E→E أنه انسحاب او انتقال , إذا كانت : • (أ) المسافات بين كل نقطة وصورتها متساوية . • (ب) القطع المستقيمة من كل نقطة الى صورتها متوازية وذات اتجاه واحد. • تسمى المسافة التي تتحركها نقاط المستوى في اتجاه معين مقياس الانسحاب ويرمز له عادة بالرمز , • ويتحدد الانسحاب إذا علم مقياسه واتجاهه , وإذا كان T انسحاباً في E , وكانت , فإن, كما أن , وعليه فإن كل انسحاب للمستوى E هو تقايس على E.

13. مثال 5-5-1 : • (أ) إذا كان T:E→E, حيث لكل فإنT انسحاب علىR² في الاتجاه لأن T تحويل هندسي ولكل ,نجد أن , وعليه فإن لأن • , كما أن • وبصورة عامة نجد أن a : R²→R², حيث لكل انسحاب على R² مقياسه ,واتجاهه • (ب) إذا كان ABC مثلثا رؤوسه A=(-2,1) , B=(5,-2), C=(3,3)فلإيجاد صورته بالانسحاب الذي يحول A الى Á=(1,-3), نلاحظ أن, كما أن يعني أن لكل , وهي قاعدة ذلك الانسحاب , أما اتجاهه فهو كما أن , , وعليه فإن صورة المثلث ABC هو المثلث

14. مثال ( 5 ـ 5 ـ4 ) :لتكـن A=( -2,3 ) ، m مستقيماً معادلتـه x=6 ولتكـن B=H0( A ). إذاً B=( 2,-3 )، وإذا كانت C=( 6,0 )، فإن D=Hc(B)=( 10,3 )، لأن إذا كانت D = ( x,y )فإن ، يعنـي أن وإذا كـان ، حيث T( x,y ) = ( 12+x,y )، فإن Tانسحاب باتجاه محور السينات ، كما أن T(A)=Dلكن (HcoH0)(A)=Hc(B)=D، إذاًT(A)=(HcoH0)(A) وعليه فإنTتحصيل نصفي دورتين حول النقطتين المختلفتين O,C، وعليه فإن T تحصيل انعكاسين حول مستقيمين متوازيين عموديين على مستقيم معلوم . نظرية 5-5-2:إذا كان T انسحاباً باتجاه K, وكانت B نقطة على المستقيم K, فتوجد نقطة وحيدة AK بحيث أن

15. نظرية 5-5-5: نظرية 5-5-3:كل انسحاب هو تحصيل انعكاسين بالنسبة لمستقيمين متوازيين بعمود مشترك مقياسه أكبر من أو يساوي ضعف البعد بينهما , واتجاهه هو اتجاه العمود المشترك.

16. 5-7 : الانعكاس الانزلاقي : نتناول في هذا البند نوعاً جديداً من التحويلات الهندسية , و نتعرف على بعض خواصه تعريف 5-7-1 :يقال عن تحويل هندسي أنه انعكاس انزلاقي باتجاه المستقيم إذا كان حيث انسحاب باتجاه . يسمى محور الانعكاس الانزلاقي , و يسمى مقياس الانسحاب مقياس الانعكاس الانزلاقي . مثال 5-7-2 : إذا كان انعكاساً انزلاقياً مقياسه2a في اتجاه المستقيم , الذي معادلته y=b فلإيجاد قاعدة تعريفه و صور النقاط (0,0) , (-1,1) , (2,2) عندما a=3 , b=2 , لاحظ أن , إذاً وعندما a=3 , b=2 نجد أن g(x,y)=(x+6,4-y) و عليه فإن g(-1,1)=(5,3) , g(2,2)=(8,2) g(0,0)=(6,4)

17. نظرية 5-7-1 إذا كان عندA ، عندBوكان ،فإن: (أ). (ب) (ج) g تعكس جانبيK. (د) ليس للتحويل g نقطة ثابتة. (هـ) Kهو المستقيم الوحيد اللا متغير تحت تأثير g (و) إذا كانت Bأية نقطة وكان Kمستقيماً ماراً بالنقطة Bعمودياً على فإن: (1)إذا كانت ℓB فإنانعكاس انزلاقي باتجاه.K (2)إذا كانت ℓBϵ فإن انعكاس حول K.

18. 8-5 تصنيف التقايسات ( الحركات ) : بما أن كل تقايس هو تحصيل لثلاثة انعكاسات على الأكثر حسب نتيجة نظرية (5-3-3),إذاً يجب وصف تحصيل الانعكاسات ولدراسة ذلك نورد أنواع من حزم المستقيمات.حزمة المستقيمات المارة بنقطه معلومة, حزمه المستقيمات العمودية على مستقيم معلوم ,حزمة المستقيمات المارة بنقطة مثالية.ويقال عن مجموعة مستقيمات أنها تنتمي إلى الحزمة , إذا كانت ملتقية في نقطة واحدة أو عمودية على مستقيم معلوم أو مارة بنقطة مثالية . نظرية 5-8-1:ليكن (أ)إذا كانت المستقيمات تنتمي إلى الحزمة , فإن Tانعكاس حول مستقيم في تلك الحزمة. (ب) إذا كانت لا تنتمي إلى الحزمة, فإن Tانعكاس انزلاقي. كل تقايس في المستوى إما أن يكون انعكاساً أو دوراناً أو انسحاباً أو إزاحةً توازي باتجاه نقطة مثالية أو انعكاساً انزلاقاً. نظرية 5-8-2:

19. تعريف 5-8-1: • يقال عن تقايس T : E Eأنه : • تقايس مباشر إذا كان T تقايساً ذاتياً أو تحصيل انعكاسين. • تقايس عكسي إذا كان T انعكاساً أو انعكاساً انزلاقاً. (أ)أي تقايس إما مباشر أو عكسي , وليس الاثنين معاً . (ب) مجموعة جميع التقايسات المباشرة على مستو وعملية التحصيل تكون زمرة . (ج) تحصيل تقايسين عكسيين يكون تقايساً مباشراً . (د) تحصيل تقايس مباشر وتقايس عكسي يكون تقايساًعكسياً. إذاً كل من الدوران والانسحاب وإزاحة التوازي تقايس مباشر , والمبرهنة الآتيهتبرهن على وجود نوعين فقط من التقايسات بالنسبة للاتجاه الدوراني. نظرية5-8-3:

20. 5-9التحاكي(مغير البعد أو التشابه المركزي) سنركز اهتمامنا في هذا البند على دراسة أحد أنواع التحويلات الهندسية غير القياسية , وندرس خواصها وبعض تطبيقاتها. تعريف 5-9-1:يقال عن تحويل هندسي EE:dأنه تحاكي أو مغير البعد أو تمدداً, إذا تحقق مايلي: ( أ ) توجد نقطة A ЄE ,بحيث أن d(A)=A )ب) إذا كانت{ A} -BЄE,d(B)=B`فإن B`ЄAB,.|AB||α|=|AB`| حيث *R α Є تسمى Aمركز التحاكي , α معامله القياسي. • وإذا كان >0 α ,فإن B,B`تقعان في جهة من A,وهذا يعني أن B` Є AB,وإذا كان α<0,فإنB`,B تقعان في جهتين مختلفتين من A, وهذا يعني أن B`Є BA. • وإذا كانت >1|α|سمي التحاكيتكبيراًوإذا كانت |< 1 α 0<| سمي التحاكي تصغيراً أو انكماشاً,أما إذا كان =1 α,فإن α هوالتحويل الذاتي ,وإذا كان = -1 α,فإن d= .

21. مثال5-9-1: إذا كان ,حيث(2x,2y) =d (x,y), لكل (x,y ) Єفإن dتحاكي مركزه نقطة الأصل A=(0,0),ومقياسه= 2 αلأن dتحويل هندسي, كما أن d(0,0)=(0,0)وكل نقطةR2 Є B = (u,v) ≠(0,0)نجد أن ABЄ B`=d(B)=(2u,2v)لأنB`تقع على المستقيم الذي معادلته x﴿v/u﴾y= والذي يحوي الشعاع ABكما أن|AB|= 2 u2 + v2=2|AB| وبصورة عامة نجد أن:R2R2β حيث β (x,y)= (α x , αy) تحاكي على R2مركزه نقطة الأصل ومقياسه α . نظرية 5-9-1: إذا كان d:EEتحاكياً مركزه A,ومعامله القياسي α,وكانت C`= d(C) , B`=d(B) , B, C Є Eفإن (أ)B`C`//BC , (ب)d(BC)=B`C` نتيجة :يحافظ التحاكي على: (أ) توازي المستقيمات. (ب) قياسات الزوايا واتجاهها.

22. البرهان: (أ) لتكن A,B,C Є E و A*B*C,ولتكنd(A)= A`, d(B)= B` ,d (C)=C` . إذاً حسب تعريف التحاكي, ونظرية (2-4-1). وعليه فإن لكن |AC|=|AB|+|BC|↔A*B*C٬إذاً|A`C`|=|A`B`|+|B`C`|وعليه فإنA`*B`*C` • (ب) نرسم AD BC٬إذاA`D` B`C`٬وعليه فإن : لكن , إذاً نظرية 5-9-2: إذا كان d:EEتحاكياً مركزهSومعامله القياسي فإن: أ) d يحافظ على البينية. ب) النسبة بين مساحة مثلثABCومساحة صورتهA`B`C` تساوي ½|A`D`|x|B`C`| α(∆ABC) = ½|AD|x|BC| α(∆A`B`C`) α(∆ ABC) |AD| |BC| 1 1 1 α α α2 |B`C`| α(∆A`B`C`) |A`D`| 1 α2

23. نتيجة:إذ كان d: E→ E تحاكياً مركزه s ومعامله القياسي a٬فإن مساحة أي مضلع إلى مساحة صورته تساوي1/α² تعريف 5-9-2:يقال عن شكلينF1,F2 أنهما متشابهان وتكتب F1~F2إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الأخر بتحصيل تقايس وتحاكي . • مثال 5-9-3:ليكنd:R²→R²تحاكياً مركزه (0,0) ومعامله القياسي α. إذاً x,y)=(αx,αy)) d لكل є R²(x,y) . (أ)إذا كانα= -2 وكانABCمثلثاً فيه (2,2)=A (0,1)B=، C=(1,-1)فإن ,C`=d (C)=(-2,2)(-4,-4) ,B`=d(B)=(0,-2)A)=﴾A`=dوبالتالي فإن =∆A`B`C`(ABC∆) ,(doI)وعليه فإنA`B`C` ~ ∆ABC • (ب) إذا كان = α،ABCD شكل رباعي فيه A=(4,6)، B=(6,4)، 2,-2))C=، • D=(-2,2).فإن B`=d(B)=(3,2)A`=d(A)=(2,3)، C`= d(C)=(1,-1) , D`=(-1,1)إذاً(doI) (ABCD)=d(ABCD)=A`B`C`D` وعليه فإنA`B`C`D` ~ABCD

24. وبصورة عامة نجد أن كل شكل يشابه صورته بواسطة التحاكي .لأننا يمكننا اختيار التقايس الذاتيبدلا عن التقايس الوارد في تعريف(5-9-2) وإذا كان α=1، فإن d=I وعليه فإن كل شكليشابه صورته بواسطة تقايس . مثال 5-9-4: إذا كانABCDشكلا رباعيا, فيه A=(4,3), B=(3,4), C=(2,1), D=(1,2), وكانA`B`C`D`شكلاً رباعياً فيه A`=(4,8)،B`=(2,10)،C`=(0,4)،D`=(-2,6)، فإن□ABCD~□A`B`C`D`، لأنه إذا كانT:R²→R²،dحيثd(x,y)=(2x,2y) ، T(x,y)=(x-2,y+1)لكل(x,y)єR²،فإنTتقايس علىR²،dتحاكي علىR²مركزه, (0,0) و معامل القياس 2. و(doT)(□ABCD)=□A`B`C`D`،ﻷن،T(A)=(2,4)،T(B)=(1,5)T(C)=(0,2)،T(D)(-1,3)وعليه فانd(T(A))=(4,8)=A` ، d(T(B))=(2,10)=B`، d(T(C))=(0,4)=C`، d(T(D))=(-2,6)=D` نظرية5-9-3:إذا كانتD مجموعة التحاكيات على المستوىE،فإن(D,O)زمرة.

25. 5-10 التعاكس Inversion نتاول في هذا البند نوعا آخرا من التحويلات الهندسية غير التقايسية على المستويات الإقليدية تحول بعض المستقيمات إلى دوائر٬لكنها تحول الزوايا إلى زوايا متساوية٬يطلق عليها التعاكس وهو تحويل مرتد يشبه الانعكاس ونصف الدورة٬له عدد لانهائي من النقاط الثابتة التي لا تقع على مستقيم واحد بل تقع على دائرة ليس لمركزها صورة. تعريف5-10-1: ليكن Eمستوياً إقليديا٬ًولتكنℓدائرة مركزهاC ونصف قطرهاrيقال عن تحويل هندسي f :E-{C}→E-{C}٬ أنه تعاكس بالنسبة إلى ℓ إذا كان لكل Aε E-{ C }نجد أن A' =f( A )واقعة على الشعاع CA بحيث أن│CA'││CA │=r2 تسمى A`نظيرأو معكوس A بالنسبة للدائرة ℓ ويطلق علىA,A` نقطتان متعاكستان بالنسبة للدائرة ℓوتسمى الدائرة ℓ دائرة التعاكس والتي قد يرمز لها بالرمز ̦ وتسمى C مركز التعاكس .لاحظ أن C,A,A` تقع على استقامة واحدة ‚ وعليه فان معكوس أي مستقيم يمر بالنقطة Cهو مستقيم يمر بالنقطةC أيضا 0