Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos

1. CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos Transparências de apoio às aulas teóricas Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Revisão: Outubro de 2011 Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

2. Objectivos • Referências • Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal) • Cap.2 - do texto deKarl Astrom, Richard Murray, disponívelna Web. Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para responder a perguntas sobre sistemas físicos Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica Dar exemplos de modelos de sistemas físicos em domínios diversos Linearização

3. Revisão sobre Introdução ao Controlo Sistema físico Sensoriamento / Percepção Actuação Computação • Sistemas de controlo porretroaçcão ocorrem em muitos domínios • Objectivos do controlo • Modificar o comportamento de sistemas • com as seguintes restrições: • Estabilidade em cadeia fechada • Robustez face a incertezas de modelização • Atenuação de perturbações Controlo = = Sensoriamento + Computação + Actuação

4. Modelos • Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico, mecânico, de informação, ... • Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do sistema • O projecto de controladores para sistemas físicos faz-se a partir de um modelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos. • Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos • Desconhecem-se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema • Na modelação fazem-se, muitas vezes, hipóteses simplificativas • A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no modelo • Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e (eventualmente) com variáveis internas do sistema

5. Modelos • O modelo que se deriva depende da pergunta a que se pretende responder sobre o sistema físico. • Perguntas diferentes modelos diferentes • Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes  modelos diferentes • Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos diferentes • Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço adaptadas às questões a que se pretende responder

6. Modelo r(t) y(t) Sistema • De entrada-saída– relaciona directamente a entrada com a saída • Equação diferencial • Linear ou não linear • Variante ou invariante no tempo • Função de Transferência • Só para sistemas lineares invariantes no tempo • De estado– relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema Entrada Saída

7. Modelação: Exemplos Alguns exemplos de sistemas físicos • Sistemas mecânicos • Circuitos eléctricos • Sistemas electromecânicos • Sistemas térmicos • Sistemas hidráulicos • Dinâmica de populações • ......

8. Sistema de Controlo de Velocidade (CruiseControl) vref(t) + f(t) v(t) Controlador _ Motor f(t) Sensor de velocidade f(t) v(t) • Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) ? • Fazendo hipóteses simplificativas obtem-se um modelo. • Objectivo do sistema de controlo • Manterconstante a velocidade do veículo • Modelo do sistemafísico • Entrada: força f(t) geradapelo motor • Saída: velocidade v(t) do automóvel

9. A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do seu momento linear Sistemas Mecânicos de Translação F= d(mv)/dt Lei de Newton (séc. XVII) • F = soma das forças aplicadas ao corpo (N) • v = vector velocidade do corpo (m/s) • M = massa do corpo (Kg) • mv= momento linearKgm/s

10. Sistemas Mecânicos de Translação Elementos Básicos X m f(t) Massa - Armazenaenergia cinética • Mola X Mola - Armazenaenergia potencial K=constante da mola fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0). K K Massa

11. X X Sistemas Mecânicos de Translação Elementos Básicos Atrito - Elementodissipador de energia b=coeficiente de atrito viscoso b x(t) • A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade • simplificação da realidade • é usualmente uma função não linear da velocidade b Atrito

12. Sistema de Controlo de Velocidade (CruiseControl) f(t) v(t) Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) assumindo as hipóteses simplificativas ? • Hipóteses simplificativas: • Inércia rotacional das rodas é desprezável • O atrito que se opõe ao movimento é proporcional à velocidade (atrito viscoso) • O automóvel move-se no plano horizontal Força externa aplicada f(t) m b f(t) Sistema

13. Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 1ª Ordem Lei de Newton f(t) Força externa aplicada m b f(t) Sistema A força de atrito opõe-se ao movimento • Representação deentrada-saída • no domínio do tempo • entrada: f(t) • saída: v(t) • Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem • Sistema de1ª ordem Força externa Força do atrito

14. Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 2ª Ordem Lei de Newton f(t) Força externa aplicada m b f(t) Força externa Sistema Força do atrito A força de atrito opõe-se ao movimento • Representação deentrada-saída • no domínio do tempo • entrada: f(t) • saída: x(t) • Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 2ª ordem • Sistema de2ª ordem

15. f(t) Sistema Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 2ª Ordem K f(t) m Força externa aplicada b

16. Função de Transferência • EQUAÇÃO DIFERENCIAL - Representaçãomatemática do sistema no domínio do tempo • para uma dada entrada • a saída pode obter-se por resolução da equação diferencial Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas Transformada deLaplace unilateral FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - Representaçãomatemática do sistema no domínio da variável complexa s

17. y(t) r(t) SLIT Y(s) R(s) G(s) Função de Transferência FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Quociente da transformada deLaplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais Para condições iniciais nulas • A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída • Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada-saída

18. y(t) r(t) SLIT r(t) y(t) TL TL-1 R(s) Y(s) Y(s) R(s) G(s) Função de Transferência Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída Resolução da eq.diferencial A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída Se as condições iniciais forem nulas

19. Função de Transferência e Diagrama de Blocos f(t) v(t) • F(s) V(s) f(t) X(s) x(t) • F(s) V(s) • F(s) X(s) • O mesmo sistema físico • Modelos diferentes

20. CruiseControl (em plano horizontal) Sistema físico f(t) v(t) modelo do sistema físico Vref(s) • F(s) V(s) + _ Sistema controlado com controlador proporcional controlador

21. A soma dos binários que actuam num corpo é igual ao produto do momento de inércia desse corpo pela sua aceleração angular. Sistemas Mecânicos de Rotação rotação em torno de um eixo • Lei deNewton-Euler • T = soma dos binários aplicados ao sistema (N-m) • = vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s2) • J = momento de inércia (Kg-m2) (suposto constante)

22. Sistemas Mecânicos de Rotação Elementos Básicos w - Velocidade angular Armazena energia cinética rotacional • Mola Rotacional Mola armazenaenergia potencial rotacional K = constanteda mola Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio. é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação. Inércia

23. Sistemas Mecânicos de Rotação Elementos Básicos • Atrito Rotacional Atrito - Elemento dissipador de energia b - coeficiente de atrito viscoso • O binário de atritoTd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade angular • simplificação da realidade • é usualmente uma função não linear da velocidade

24. Sistemas mecânicos de rotação • Engrenagem (caixa de desmultiplicação) Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - A velocidade linear é igual no ponto de contacto das duas rodas a desmultiplicação angular é inversamente proporcional ao quociente do número de dentes.

25. Sistemas mecânicos de rotação • Engrenagem (caixa de desmultiplicação) Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia a “multiplicação” de binário é directamente proporcional ao quociente do número de dentes das rodas. Energia rotacional Resumo q2 T2 q1 T1

26. Exemplo: Pêndulo • Pêndulo • Massa toda concentrada na extremidade • Braço de comprimento L [m] • Binário aplicadoTc(t) [N.m] • Pergunta: • Como varia o ânguloq(t) como função de Tc(t)? L m mg Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL2 mgcosq • Eq. Diferencial não linear • Não se pode obter directamente a Função de Transferência • Faz-se linearização mg mgsinq

27. Carro com pêndulo invertido Pretende-se: Equações da dinâmica de movimento do sistema em termos de x e deq http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend/invpen.html

28. Carro com pêndulo invertido • Soma das forças no referencial horizontal associado ao carro N = força de reacção (desconhecida) aplicada pelo pêndulo • Soma das forças no pêndulo na direcção horizontal

29. Carro com pêndulo invertido • Soma das forças perpendiculares ao pêndulo • Soma dos momentos em torno docentróide do pêndulo

30. Carro com pêndulo invertido Sistema de equações diferenciais não lineares

31. Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua Parâmetros característicos: Ra - resistência – Ohm La - indutância – Henry ea - tensão de entradano circuito da armadura – Volt ia- correnteno circuito da armadura - Ampere vb - força contra-electromotriz – Volt Tm – bináriodisponível no veio do motor

32. Motor de corrente contínua O rotor gira num campo magnético Equação do circuito da armadura Força contra-electromotriz tensão de entrada no estator tensão aosterminaisdaresistencia queda de tensão nabobina Forca contra-electromotriz + Ea(s) Ia(s) Qm(s) _ Vb(s)

33. Motor de corrente contínua Binarioacessível no veio do motor (proporcional a ia; Kt=Kb) + Ea(s) Ia(s) Tm(s) Qm(s) Kt _ Vb(s) termo em qm termos em Tm

34. Motor de corrente contínua Equação do ROTOR + Ea(s) Ia(s) Tm(s) Qm(s) Kt _ Vb(s) Por reduções sucessivas do diagrama de blocos, obtenha a função de transferência do motor.

35. Motor de corrente contínua Se Lapuder ser desprezada (emcomparação com Ra) Função de TRANSFERÊNCIAda forma

36. Controlo de posição de um motor de corrente contínua Qm(s) Ea(s) Wm(s) Dinâmica da velocidade angular Integrador (posicao angular é o integral davelocidade angular. Póloem zero!) Sistema de controlo de posição angular do motor Qm(s) Ea(s) + K _ R(s)

37. Dinâmica de condução de um robot móvel rodas motoras {R} {W} Pergunta: Como variam no tempo a posição (x,y) e orientação q do veículo em função das velocidades lineares das duas rodas ? 2 rodas motoras traseiras 2 rodas dianteiras não motorizadas vd(t) – velocidade linear da roda direita ve(t) – velocidade linear da roda esquerda L – distância entre rodas Sistema de 3 equações diferenciais não lineares

38. Dinâmica de condução de um robot móvel rodas motoras {R} {W} Controlo: Que valores devem terve(t) e vd(t) para que o veículo siga um determinado caminho? Coordenadas do caminho a seguir ve (x,y,q) Controlador vd É com base neste modelo do sistema físico (é um modelo simplificado) que se projecta o controlador

39. Linearização Sistema não linear Aproximação linear Exemplo: carro a alta velocidade Força externa aplicada f(t) f(t) m v(t) b Velocidade elevada Força de atrito: termo linear + termo quadrático Sistema não linear

40. Linearização: Exemplo Sistema não linear Aproximação linear em torno de uma situação de equilíbrio Condição de equilíbrio • O que é uma situação de equilíbrio ? • Se o sistema estiver numa situação de equilíbrio e não houver nenhuma perturbação, ele mantém-se indefinidamente nessa situação • O sistema está numa situação de equilíbrio quando uma força externa iguala a força de atrito dinâmica não linear Caracterização do equilíbrio Os pares (ve, fe) que satisfazem esta relação são pontos de equilíbrio do sistema

41. Linearização: exemplo Estudo do comportamento do sistema em torno de uma situação de equilíbrio (ve, fe) Incrementos pequenos em torno do equilíbrio Ve=cte. linear linear ???

42. Linearização: exemplo Apr. série de Taylor emtorno do ponto de equilíbrio desprezando os termos não lineares (ordem superior à 1ª) v2 Apr. série de Taylor v ve Desprezando termos de ordem superior É válido para incrementos pequenos

43. Linearização: exemplo Condição de equilíbrio Eq. diferencial linear Função de transferência

44. Linearização: exemplo f(t) v(t) Sistema não linear df(t) dv(t) Sistema Linearizado • Relaciona incrementos na saída com incrementos na entrada • Os incrementos são em torno de um determinado ponto de equilíbrio (ve,fe) A localização do pólo depende da velocidade de operação ve Função de transferência

45. Pêndulo: Linearização L Não linear devido ao termo sinq m Ponto de equilíbrio do sistema mg Para q pequenos (pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio) Modelo linear que descreve o comportamento do sistema, mas só paraq pequenos