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Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales ordinarias

Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales ordinarias. CÁPITULO 6. Contenidos. 6.1 Método de Euler y Análisis de Error 6.2 Métodos de Runge-Kutta 6.3 Métodos de Varios Pasos 6.4 Ecuaciones de Orden Superior y Sistemas 6.5 problemas de Valores en al Frontera de Segundo Orden.

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  1. Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales ordinarias CÁPITULO 6

  2. Contenidos • 6.1 Método de Euler y Análisis de Error • 6.2 Métodos de Runge-Kutta • 6.3 Métodos de Varios Pasos • 6.4 Ecuaciones de Orden Superior y Sistemas • 6.5 problemas de Valores en al Frontera de Segundo Orden

  3. 6.1 Método de Euler y Análisis de Error • IntroducciónRecuerde la estructura del Método de Euler yn+1 = yn + hf(xn, yn) (1) • Errores en Métodos NuméricosUna fuente de error que siempre está presente en los cálculos es el error de rondeo.

  4. Errores de Truncamiento para el Método de Euler • Este logaritmo sólo da una aproximación en línea recta a la solución. Este error se llama error de truncamiento local, o error de discretización. Para obtener una fórmula para el error de truncamiento local del método de Euler, usamos la fórmula de Taylor con resido. Donde c es un punto entre a y x.

  5. Tomando k = 1, a = xn, x = xn+1= xn + h, tenemosóDe ahí que el error de truncamiento en yn+1es donde xn < c < xn+1 El valor de c por lo común no se conoce, pero una cota superior es donde

  6. Observación: Se dice que e(h) es de orden hn, representado con O(hn), si existe una constante C tal que |e(h)| Chn para h suficientemente pequeña.

  7. Ejemplo 1 Determine una cota para los errores de truncamiento local del método de Euler aplicado a SoluciónDe la solución tenemos so En particular, para h = 0.1,se puede obtener una cota superior remplazando c por 1.1 es

  8. Ejemplo 1 (2) Al hacer 5 pasos, remplazando c por 1.5, se obtiene(2)

  9. Método de Euler Mejorado (3)donde (4)se conoce comunmente como el Método de Euler Mejorado. Fig 6.1 En general, el método de Euler mejorado es un ejemplo de método de predictor y corrector.

  10. Fig 6.1

  11. Ejemplo 2 Use el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución de . Compare los resultados para h = 0.1y h = 0.05. SoluciónCon x0 = 1, y0 = 1, f(xn, yn) =2xnyn , h = 0.1 y1* = y0 + (0.1)(2xy) = 1.2Usando(3) con x1= 1 + h = 1.1Los resultados se dan en la Tabla 6.3 y 6.4.

  12. Tabla 6.3

  13. Tabla 6.4

  14. Errores de Truncamiento para el Método Mejorado de EulerObserve que el error de truncamiento local es O(h3).

  15. 6.2 Runge-Kutta Methods • Métodos de Runge-Kutta Todos los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler, en la que la función pendiente f se remplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn x  xn+1(1) donde las ponderaciones wi, i = 1, 2, …, m son constantes que satisfacen w1+ w2+ … + wm= 0,y ki es la función evaluada en un punto seleccionado (x, y)para el cual xn x  xn+1.

  16. El número m se llama el orden. Si tomamos m = 1, w1 = 1, k1= f(x, yn),llegamos al método de Euler. Por consiguiente, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden.

  17. Método de Runge-Kutta de Segundo Orden • Tratamos de hallar unas constantes de modo que la fórmula (2)donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1)concuerde con un polinomio de Taylor de grado 2. Las constantes deben satisfacer (3)luego (4)donde w2 0.

  18. Ejemplo: escogemos w2 = ½ ,de donde w1 = ½ ,  = 1,  = 1,y (2) se transforma enyn+1= yn+(k1+ k2)h/2donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1).Puesto que xn + h = xn+1, yn+ hk1= yn + hf(xn, yn), es idéntica al método de Euler mejorado.

  19. Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden • Tratamos de hallarparámetros de modoque la fórmula (5)donde concuerde con un polinomio de Taylor de orden4.

  20. El conjunto de valores usado con más frecuencia para los parámetros produce el siguiente resultado (6)

  21. Ejemplo 1 Use el método RK4 con h = 0.1para obtener y(1.5) para la solución de y’ =2xy, y(1) = 1. SoluciónPrimero se calcula el caso n = 0.

  22. Ejemplo 1 (2) Por lo tanto,Véase la Tabla 6.5.

  23. Tabla 6.5 h=0.1

  24. En la Tabla 6.6 comparan algunos resultados.

  25. Errores de Truncamiento para el Método RK4 • Como es de grado 4, el error de truncamiento local es O(h5)y el error de truncamiento global es O(h4). Sin embargo, esto no se abarca en este texto.

  26. Ejemplo 2 Determine una cota para los errores de truncamiento local del método RK4 aplicado a SoluciónAl calcular la quinta derivada de la solución conocida se obtiene (7)Así con c= 1.5,entonces (7) = 0.00028.La Tabla 6.7 proporciona aproximaciones a la solución del problema de valor inicial en x = 1.5 por el método RK4.

  27. Tabla 6.7

  28. 6.3 Métodos de Varios Pasos • Método de Adams-Bashforth-Moulton El predictor es la fórmula de Adams-Bashforth (1)donde n  3.

  29. El valor de yn+1* se sustituye en el corrector de Adams-Moulton (2)

  30. Ejemplo 1 Use el método anterior con h = 0.2paraobtenery(0.8) para la solución de SoluciónCon h = 0.2, y(0.8)se aproximamediantey4. En principio s emplea el métodoRK4 con x0= 0, y0 = 1, h = 0.2paraobtenery1 = 1.02140000, y2 = 1.09181796,y3 = 1.22210646

  31. Ejemplo 1 (2) Ahora con x0 = 0, x1 = 0.2, x3 = 0.4, x4 = 0.6,yf(x, y) = x + y – 1,hallamosEl predictor (1) da

  32. Ejemplo 1 (3) Para usar el corrector (2), se necesita

  33. Estabilidad de Métodos Numéricos • Decimos que un método numérico es estable, si cambios pequeños en la condición inicial dan como resultado sólo cambios pequeños en la solución calculada.

  34. 6.4 Ecuaciones de Orden Superor y Sistemas • PVI de Segundo OrdenUna PVI(1)puedeexpresarsecomo(2)Como y’(x0) = u0,entoncesy(x0) = y0, u(x0) = u0.Aplicando el método de Euler (2) (3)

  35. Mientrasque al aplicar el método RK4: (4)donde En general,

  36. Ejemplo 1 Use el método de Euler para obtener y(0.2),donde(5) SoluciónSea y’ = u, entonces (5) se transforma enDe (3)

  37. Ejemplo 1 (2) Usando h = 0.1, y0 =1, u0 = 2, determinamos

  38. Fig 6.2 • En la Fig 6.2 se compara la curva solución generada mediante el método de Euler con la curva solución generada mediante el método RK4.

  39. Ejemplo 2 Escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. SoluciónEscribimos Al simplificar:

  40. Ejemplo 2 (2) Sea El sistema original se puede escribir en la forma

  41. Solución Numérica de un Sistema • La solución de un sistema de la formase puede aproximar mediante métodos numéricos.

  42. Por ejemplo, mediante el método RK4: (6)se parece a esto: (7)

  43. donde (8)

  44. Ejemplo 3 Considere Use el método RK4 paraaproximarx(0.6) yy(0.6)con h = 0.2y h = 0.1. SoluciónCon h = 0.2y los datosproporcionados, de (8)

  45. Ejemplo 3 (2)

  46. Ejemplo 3 (3) Por lo tanto, de (7) obteenmosObserve Fig 6.3 y Tabla 6.8, 6.9.

  47. Fig 6.3

  48. Tabla 6.8

  49. Tabla 6.9

  50. 6.5 Problemas de Valores en la Frontera de Segundo Orden • Aproximaciones por Diferencias FinitasEl desarrollo en serie de Taylor en a de y(x)esSi ponemos h = x – a, entoncesEscribiendo la última expresión como (1)y (2)

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