Soluciones en Serie de Ecuaciones Lineales

1. Soluciones en Serie de Ecuaciones Lineales CAPÍTULO 5

2. Contenidos • 5.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios • 5.2 Soluciones respecto a puntos singulres • 5.3 Funciones Especiales

3. 5.1 SolucionesRespecto a PuntosOrdinarios • Repaso de Series de PotenciasRecuerde del cálculo una serie de potencias en x – a es de la formaSe dice que es una serie de potencias centrada en a.

4. Convergencia Existe • Intervalo de ConvergenciaEl conjunto de números reales x para los cuales la serie converge. • Radio de ConvergenciaSi R es el radio de convergencia, la serie de potencias converge para |x – a| < R y diverge para |x – a| > R.

5. Convergencia AbsolutaDentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. Esto es, la siguiente serie converge: • Prueba de RelaciónSuponiendo cn 0para todo n, y Si L < 1,esta serie converge absolutamente, si L > 1,esta serie diverge, si L = 1,el criterio no es concluyente.

6. Una Serie de Potencias Define una FunciónSuponemos entonces • Propiedad de IdentidadSi todo cn= 0,entonces la serie = 0.

7. Analítica en un PuntoUna función f s analítica en un punto a, si se puede representar mediante una serie de potencias en x – a con un radio de convergencia positivo. Por ejemplo: (2)

8. Aritmética de Series de PotenciasLas series de potencia se combinan mediante operaciones de suma, multiplicación y división.

9. Ejemplo1 Escribir como una sola serie de potencias. SoluciónComoSe establece k = n – 2para la primera serie y k = n + 1para la segunda serie,

10. Ejemplo 1 (2) Entonces podemos obtener el lado derecho como (3) Ahora obtenemos (4)

11. DEFINICIÓN 5.1 Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de (5) si P y Q en (6) son analíticas en x0. Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular Una Solución • Suponga que la ED lineal (5)se escribe como(6)

12. Coeficientes Polinomiales • Como P y Q en (6) son funciones racionales, P = a1(x)/a2(x), Q = a0(x)/a2(x)Se deduce que x = x0es un punto ordinario de (5) si a2(x0)  0.

13. TEOREMA 5.1 Si x = x0es un punto ordinario de (5), siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0, esto es, Existencia de soluciones en series de potencias • Una solución en serie converge al menos en un intervalo definido por |x – x0| < R, donde R es la distancia desde x0hasta el punto singular más próximo.

14. Ejemplo 2 Resolver SoluciónSabemos que no hay puntos ordinarios finitos. Ahora, y Luego de la ED se obtiene (7)

15. Ejemplo 2 (2) Por el resultado obtenido en (4), (8)Como (8) es idénticamente cero, es necesario que todos los coeficientes sean cero, 2c2 = 0,y (9)Ahora (9) es una relación de concurrencia, puesto que (k + 1)(k + 2)  0,entonces desde (9) (10)

16. Ejemplo 2 (3) Así obtenemos

17. Ejemplo 2 (4) y asísucesivamente.

18. Ejemplo 2 (5) Entonces las soluciones en series de potencias son y = c0y1 + c1y2

19. Ejemplo 2 (6)

20. Ejemplo 3 Resolver SoluciónPuesto que x2+ 1 = 0, x = i, −i son puntos singulares. Una solución en serie de potencias centrada en 0 convergerá al menos para |x|< 1.Usando al forma en serie de potencia de y, y’ y y”,

21. Ejemplo 3 (2)

22. Ejemplo 3 (3) De lo anterior, tenems 2c2－c0 = 0, 6c3 = 0 , yAsí c2 = c0/2, ck+2 = (1 – k)ck/(k + 2)Luego

23. Ejemplo 3 (4) y así sucesivamente.

24. Ejemplo 3 (5) Por tanto,

25. Ejemplo 4 Si se busca una solución en serie de potencias y(x)paraobtenemos c2 = c0/2 y la relación de recurrencia esExaminando la fórmula se ve que c3, c4, c5, … se expresan en términos de c1 y c2. Sin embargo es más complicado. Para simplificarlo, podemso elegir primero c0  0, c1 = 0.En este caso tenemos

26. Ejemplo 4 (2) y así sucesivamente. Después, elegimos c0 = 0, c1 0, entonces

27. Ejemplo 4 (3) y así sucesivamente. Así tenemos y = c0y1 + c1y2, donde

28. Ejemplo 5 Resolver SoluciónVemos que x = 0 es un punto ordinario de la ecuación. Usando la serie de Maclaurin para cos x, y empleando , hallmos

29. Ejemplo 5 (2) Se deduce quey así sucesivamente. Se obtiene c2 =－1/2c0, c3 =－1/6c1, c4 = 1/12c0, c5 = 1/30c1,…. Agrupando términos llegamos a la solución general y = c0y1 + c1y2, donde la convergencia es |x| < , y

30. 5.2 Soluciones Respecto a Puntos Singulares • Una DefiniciónUn punto singular x0 de una ED lineal(1)se clasifica más bien como regular o irregular. La clasificación depende de(2)

31. DEFINICIÓN 5.2 Se dice que un punto singular x0 es un puntosingular regular de (1), si p(x) = (x – x0)P(x), q(x) = (x – x0)2Q(x) son analíticas en x0 . Un punto singular que no es regular es un punto singular Irregular de la ecuación. Puntos singulares regulares e irregulares

32. Coeficintes Polinomiales • Si x – x0aparece a lo sumo a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo sumo a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x – x0 es un punto singular regular. • Si (2) se multiplica por(x – x0)2,(3)donde p, q son analíticas en x = x0

33. Ejemplo 1 • Se debe aclarar que x = 2, x = – 2son puntos sinulares de(x2 –4)2y” +3(x –2)y’ + 5y = 0Según (2), tenemos

34. Ejemplo 1 (2) Para x = 2,la potencia de (x – 2)en el denominador de P es 1, y la potencia de (x – 2)en el denominador de Q es 2. Así x = 2es un punto singular regular.Para x = −2,la potencia de (x + 2)en el denominador de P y Q es 2.Así x = − 2es un punto singular irregular.

35. TEOREMA 5.2 Si x= x0es un punto singular regular de (1), entonces existe al menosunasolución de la forma (4)donde el númeroresunaconstantepordeterminar. La serie converge al menos en algúnintervalo 0 < x – x0< R. Teorema de Frobenius

36. Ejemplo 2: Método de Frobenius • Debido a que x = 0es un punto singular regular de(5)tratamos de hallar una solución.Ahora,

37. Ejemplo 2 (2)

38. Ejemplo 2 (3) Lo cual implica que r(3r –2)c0 = 0 (k + r + 1)(3k + 3r + 1)ck+1 – ck= 0, k = 0, 1, 2, …Debido a que no se gana nada haciendo c0 = 0, r(3r – 2) = 0 (6)y (7)De (6), r = 0, 2/3,cuando se sustituye en (7),

39. Ejemplo 2 (4) r1 = 2/3, k = 0,1,2,… (8) r2 = 0, k = 0,1,2,… (9)

40. Ejemplo 2 (5) De (8) De (9)

41. Ejemplo 2 (6) Los dos conjuntos contienen el mismo múltiplo c0. Si se omite este término, tenemos (10) (11)

42. Ejemplo 2 (7) Mediante el criterio de la razón, (10) y (11) convergen para todo valor finito de x, esto es, |x| < . Asimismo, de la forma de (10) y (11), son linealmente independientes. Así la solución esy(x) = C1y1(x) + C2y2(x), 0 < x < 

43. EcuaciónIndicial • La ecuación (6) se llama ecuación indicial, donde los valores de r se llaman raícesindiciales,o exponentes. • Si x = 0es un punto singular regular de (1), entonces p = xP y q = x2Q son analíticas en x = 0.

44. Así los desarrollos en serie de potenciap(x) = xP(x) = a0＋a1x＋a2x2＋…q(x) = x2Q(x) = b0＋b1x＋b2x2＋… (12)son válidos en intervalosquetienen un radio de converganciapositivo. Multiplicando (2) porx2, tenemos (13)Trasciertassustituciones, hallmaos la ecución indicial, r(r – 1) + a0r + b0 = 0(14)

45. Ejemplo 3 Resolver SoluciónSea , entonces

46. Ejemplo 3 (2) Lo cual implica r(2r – 1) = 0 (15) (16)

47. Ejemplo 3 (3) De (15), tenemos r1 = ½ , r2 = 0.Para r1 = ½ ,dividimos entre k + 3/2en(16) para obtener (17) Para r2 = 0 ,(16) se convierte en (18)

48. Ejemplo 3 (4) De (17) De (18)

49. Ejemplo 3 (5) Así para r1 = ½ para r2 = 0 y en (0, ), la solución es y(x) = C1y1+ C2y2.

50. Ejemplo 4 Resolver SoluciónDe xP = 0, x2Q = x, y el hecho de que 0 y x sean sus propias series de potencias centradas en 0, se concluye a0 = 0, b0 = 0.Luego de la forma (14) tenemos r(r – 1) = 0, r1= 1,r2 = 0.En otras palabras, sólo hay una solución en serie