Sistemas de ecuaciones lineales

1. Sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas Preuniversitarias Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda salir contenido >

2. Los ingenieros eléctricos y los electrónicos diseñan, desarrollan, prueban y supervisan la fabricación de equipos eléctricos y electrónicos. Aquí tenemos un ejemplo: • En un radioreceptor se usan un inductor y un capacitor en un circuito resonante, para seleccionar determinada estación de radio cuya frecuencia es f , y no recibir las demás. salir < contenido >

3. La inductancia L y la capacitancia C determinan la reactancia inductiva XL y la reactancia capacitiva XC del circuito, donde: XL = 2fL y XC = 1/2 fC • La estación de radio seleccionada estará en la frecuencia f cuando XL = XC • Escribe una fórmula de f en términos de L y de C. salir < contenido >

4. Ejercicios de redacción • Con tus propias palabras, escribe un párrafo acerca de lo siguiente. ¿Puede tener un sistema de dos ecuaciones con dos variables exactamente dos soluciones? ¿Por qué sí o por qué nó? salir < contenido >

5. Cápsula informativa. • Cuando un sistema no tiene solución se llama sistema incosistente. • Cuando las ecuaciones de un sistema tienen gráficas distintas, estas ecuaciones se llaman ecuaciones independientes. • Dos ecuaciones que tienen las mismas gráficas se llaman ecuaciones dependientes. salir < contenido >

6. Ejemplo: Mezcla de soluciones ¿Cuántas onzas de una solución salina al 5% y cuántas de solución al 20% se deben mezclar para obtener 50 onzas de solución salina al 15%? Primero debemos analizar el problema: Sea x la cantidad de onzas de la solución al 5% y sea y la cantidad de onzas de solución al 20% que se van a mezclar. La cantidad de sal en la solución al 5% es 0.05x, y en la solución al 20% es 0.20 y. salir < contenido >

7. Ahora formulemos dos ecuaciones La cantidad de onzas + la cantidad de onzas = la cantidad total solución al 5% de solución al 20% de oz.del a mezcla x + y = 50 La sal en la + la sal en la = la sal en el total solución al 5% solución al 20% de la mezcla 0.05x + 0.20y = 0.15(50) Finalmente debemos resolver el sistema: salir < contenido >

8. Resultados: Es importante enunciar la conclusión: Para obtener 50 onzas de una solución al 15%, debemos mezclar 50/3 onzas de la solución al 5% con 100/3 onzas de la solución al 20%. Comprobemos el resultado: Vemos que 50/3 de solución, más 100/3 de solución dan un total de 50, que son las onzas necesaria de la solución. También vemos que 5% de 50/3 es aproximadamente 0.83, y el 20 % de 100/3 es 6.67, que suman 7.5; 7.5 es el 15 % de 50. salir < contenido >

9. Ejemplo: Fabricación de martillos. • Una empresa fabrica tres tipos de martillos: buenos, mejores y calidad extra. El costo de fabricación de cada tipo es: $4, $6 y $7, respectivamente, y se venden a $6, $9 y $12 cada uno. Cada día, el costo de fabricación de 100 martillos es de $520, y el ingreso por ventas es de $810. ¿Cuántos martillos de cada tipo se fabrican? salir < contenido >

10. Analizar el problema. • Si decimos que x representa la cantidad de martillos buenos, y la cantidad de mejores y z la cantidad de calidad extra, sabemos que • La cantidad total de martillos es x+y+z • El costo de fabricación de martillos buenos es $4x ($4 multiplicado por x martillos). • El costo de fabricación de martillos mejores es $6y ($6 multiplicado por y martillos). • El costo de fabricación de martillos de calidad extra es $7z ($7 multiplicado por z martillos). salir < contenido >

11. El ingreso obtenido al vender martillos mejores es $9y ($9 multiplicado por y martillos). • El ingreso obtenido al vender martillos de calidad extra es $12z ($12 multiplicado por z martillos). • El ingreso obtenido al vender martillos buenos es $6x ($6 multiplicado por x martillos). Formular tres ecuaciones Como x representa la cantidad de martillos buenos fabricados, y la de martillos mejores y z la de martillos de calidad extra, tenemos que salir < contenido >

12. La cantidad + la cantidad + la cantidad = la cantidad total de martillos de martillos de martillos de martillos buenos mejores de calidad extra x + y + z = 100 El costo + el costo + el costo = el costo total de martillos de martillos de martillos buenos mejores de calidad extra 4x + 6y + 7z = 520 El ingreso + el ingreso + el ingreso = el ingreso total por martillos por martillos por martillos buenos mejores de calidad extra 6x + 9y + 12z = 810 salir < contenido >

13. Resolver el sistema 1. 2. 3. Ahora debemos resolver el sistema: Si multiplicamos la ecuación 1 por –7 y sumamos lo obtenido a la ecuación 2, obtenemos 4. Si multiplicamos la ecuación 1 por –12 y sumamos el resultado a la ecuación 3, obtenemos 5. Si multiplicamos la ecuación 4 por –3 y sumamos el resultado a la ecuación 5, obtenemos salir < contenido >

14. Para encontrar y, podemos sustituir a x por 50 en la ecuación 4 -3x-y=-180 -3(50)-y=-180 Sustituir a x por 50 -150-y=-180 Multiplicar -y=-30 Sumar 150 a ambos lados y=30 Dividir ambos lados por -1 Para determinar z, podemos sustituir a x por 50 y a y por 30 en la ecuación 1 x+y+z=100 Restar 80 de ambos lados 50+30+z=100 z=20 salir < contenido >

15. Enunciar la conclusión La empresa fabrica 50 martillos buenos, 30 martillos mejores y 20 martillos de calidad extra. Comprobar el resultado Comprueba la solución en cada una de las ecuaciones del sistema original. salir < contenido >

16. Ejercicio: Ventas al menudeo • Un almacén anuncia dos tipos de teléfonos inalámbricos, uno que cuesta $67 y el otro $100. Si las ventas de 36 teléfonos totalizaron $2940, ¿cuántos teléfonos de cada tipo se vendieron? salir < contenido >

17. Problemas de aplicación. Electrónica • Dos resistores del circuito divisor de voltaje que se muestra en la ilustración tiene resistencia total (R1+R2) igual a 1375 ohms. Para suministrar el voltaje requerido, R1 debe tener 125 ohms más que R2. Calcule el valor de las dos resistencias. salir < contenido >

18. Problemas de aplicación. Mezcla de dulces. • ¿Cúantas libras de cada tipo de dulces, en la ilustración, se deben mezclar para obtener 60 libras de dulces cuyo precio sea $3 por libra? salir < contenido >

19. Definiciones y simbología utilizada en Circuitos Eléctricos Resistivos Malla: Es una trayectoria cerrada en un circuito. Nodo: Es el punto donde se unen mas de dos elementos de un circuito Nombre Símbolo Unidades Fuente de voltaje V Volts [V] Resistencia R Ohms [] Corriente de una malla I Ampers [A] Voltaje en una resistencia VR Volts [V] salir < contenido >

20. Lo básico que se necesita para calcular los voltajes y/o corrientes en un circuito formado únicamente con resistencia es: • La ley de Ohm: R=V/I. • La ley de Corrientes de Kirchhoff: La suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero. • La ley de Voltajes de Kirchhoff: La suma algebraica de las elevaciones y caídas de voltajes en una malla es igual a cero. salir < contenido >

21. Considere el circuito resistivo que se presenta en la siguiente figura. Al aplicar las leyes anteriormente enunciadas, se obtienen las ecuaciones I1R1+ (I1-I2)R5+(I1-I3)R4=V1 I2R2+ (I2-I3)R6+(I2-I1)R5=V2 I3R3+ (I3-I1)R4+(I3-I2)R6=V3 salir < contenido >

22. Que relaciona las tres corrientes de malla (en este caso son las incógnitas) con los valores conocidos de las resistencias y las fuentes de voltaje. Al acomodar las ecuaciónes anteriores se obtiene: (R1+R4+R5)I1-R5I2-R4I3=V1 -R5I1+(R2+R5+R6)I2-R6I3=V2 - R4I1- R6I2+( R3+ R4+ R6)I3=V3 Estas ecuaciones, son un ejemplo de un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas con tres incógnitas (I1, I2 e I3). salir < contenido >

23. Existen varios métodos para resolver los conjuntos de ecuaciones lineales que se presentan en diversas aplicaciones, uno que seguramente usted conoce es el algoritmode eliminación gaussiana. Considerando que en las ecuaciones anteriores R1=3, R2=2 R3=9, R4=R5=R6=1 y V1=10 Volts, V2=12Volts, V3=4Volts, verifique que: I1=3Amperes, I2=4Amperes, I3=1Amper salir < contenido >

24. Bibliografía: • De Oteyza, Lam, Hernández, Carrillo. Álgebra, 2a Edición, 2003. Pearson Educación. ISBN 970-26-0430-3. • Szymanski E. John. Matemáticas básicas para ingeniería electrónica. Modelos y aplicaciones. Addison-Wesley, 1994. Iberoamericana. ISBN 0-201-62553-9 salir < contenido