Sistemas de Ecuaciones Diferenciales No Lineales

1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales No Lineales CAPÍTULO 11

2. Contenidos • 11.1 Sistemas Autónomos • 11.2 Estabilidad de Sistemas Lineales • 11.3 Linealización y Estabilidad Local • 11.4 Sistemas Autónomos como Métodos Matemáticos • 11.5 Soluciones Periódicas, Ciclos Límite y Estabilidad Global

3. 11.1 Sistemas Autónomos • IntroducciónUn sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden se llama autónomo, caundo puede escribirse como (1)

4. Ejemplo 1 El sistema anterior no es autónomo, debido a la t presencia de t en el lado derecho.

5. Ejemplo 2 ConsidereSi permitimos que sea x = , y =  ,entonceses un sistema de primer orden.

6. Interpretacióncomo Campo Vectorial • Un sistema autónomo plano puede escribirse comoEl vector V(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) definne un campo vectorial del plano.

7. Ejemplo 3 Un campo vectorial para el flujo de estado estable de un líquido alrededor de un cilindro de radio 1 está dado pordonde V0 la velocidad del líquido lejos del cilindro.

8. Ejemplo 3 (2) Si se libera un pequeño corcho en (−3, 1), la trayectoriaX(t) = (x(t), y(t)) satisface sujeta a X(0) = (−3, 1). Fig 11.1.

9. Fig 11.1

10. Tipos de Soluciones (i) Una solución constantex(t) = x0, y(t) = y0 (ó X(t) = X0 para toda t). La solución se llama punto crítico o estacionario, y la solución constante se llama solución de equilibrio. Fíjese en que X(t) = 0 significa

11. (ii) Una solución que define un arco, una curva plana que no se cruza a sí misma (Fig 11.2(a)). En cuanto a la Fig11.2(b), no puede ser una solución, puesto que habría dos solucion que pasarían por el punto P. Fig 11.2

12. (iii) Una solución periódica – se llama un ciclo. Si p es el período, entonces X(t + p) = X(t). Fig 11.3.

13. ¢ = + - 2 2 x x y 6 ¢ = - 2 y x y Ejemplo 4 Determine los puntoscríticos de los siguientessistemas:(a) (b) (c) Solución(a)entoncesy = x. Hay infinitospuntoscríticos.

14. Ejemplo 4 (2) (b)Como x2 = y, entonces y2 + y – 6 = (y + 3)(y – 2) = 0. Si y = – 3, entonces x2 = – 3, No hay soluciones rales. Si y = 2, etonces . Los puntos críticos son y .

15. Ejemplo 4 (3) (c)De 0.01x(100 – x – y) = 0, tenemos x = 0 ó x + y = 100. Si x = 0, entonces 0.05y(60 – y – 0.2x) = 0 se transforma en y(60 – y) = 0. Así y = 0 or y = 60, y (0, 0) y (0, 60) son puntos críticos.Si x + y = 100, entonces 0 = y(60 – y – 0.2(100 – y)) = y(40 – 0.8y). Tenemos que y = 0 ó y = 50. Así (100, 0) y (50, 50) puntos críticos.

16. Ejemplo 5 Determinar si los siguientes sistemas poseen una solución periódica. En cada caso, dibujo la gráfica de la solución que satisface X(0) = (2, 0).(a) (b) Solución(a) En el Ejemplo 6 de Sec. 10.2, tenemos demostrado

17. Ejemplo 5 (2) Así cada solución es periódica con período . La solución que satisface X(0) = (2, 0) es x = 2 cos 2t + 2 sen 2t, y = – sen 2t Fig 11.4(a).

18. Ejemplo 5 (3) (b) Empleando un método similar, tenemosDebido a la presencia de et, no hay solucionesperiódicas .La soluciónquesatisfaceX(0) = (2, 0) esSe representa en la Fig 11.4(b).

19. Fig 11.4(b)

20. Cambio a Coordenadas Polares • Recuerde que las transformaciones sonr2 = x2 + y2 y  = tan–1(y/x),

21. Ejemplo 6 Hallar la solución del siguiente sistemaque satisfaga X(0) = (3, 3). Solución

22. Ejemplo 6 (2) Puesto que (3, 3) es en coordenadas polares, X(0) = (3, 3) se transforma en y (0) =π/4.Separando las variables, tenemos que la solución es para r 0. Aplicando las condiciones iniciales, tenemos

23. Ejemplo 6 (3) La gráfica de se muestra en la Fig 11.5.

24. Fig 11.5

25. Ejemplo 7 Considere el sistema en coordenadas polares:hallar y dibujar las soluciones qeu satisfagan X(0) = (0, 1) y X(0) = (3, 0) en coordenadas rectangulares. Solución Separando las variables, tenemos

26. Ejemplo 7 (2) Si X(0) = (0, 1), entonces r(0) = 1 y (0) = /2. Así c1 = –2, c2 =/2. La curva solución e es la espiral . Fíjese en que cuando t →， aumenta sin límite y r tiende a 3. Si X(0) = (3, 0), entonces r(0) = 3 y (0) = 0. Así c1 = c2 = 0 y r = 3,  = t. Tenemos que la solución es x = r cos = 3 cos t y y = r sen = 3 sen t. Es una solución periódica. Fig 11.6.

27. Fig 11.6

28. 11.2 Estabilidad de Sistemas Lineales • Algunas Preguntas FundamentalesSuponga que X1 es un punto crítico de un sistema autóno plano y X = X(t) es una solución que sarisface X(0) = X0. Nos interesa saber cuando X0 está cerca de X1: (i) Es limt X(t) = X1? (ii) Si la respuesta al (i) es “no”, permanece cerca de X1 o se aleja de X1? Fig 11.7

29. Fig 11.7

30. En el caso de la Fig11.7(a) y (b), llamamos al punto crítico localmente estable. • Sin embargo, si se puede encontrar en alguna vecinidad dada algún valor inicial que da un comportamiento similar a (c), llamamos al punto crítico inestable.

31. Analisis de Estabilidad • Considerex = ax + byy = cx + dyTenemosque la matriz del sistemaes de la formaPara asegurarqueX0= (0, 0) es el únicopuntocrítico, se supondráque el determinante  = ad – bc  0.

32. Luego det (A – I) = 0 se transforma en2 − +  = 0donde  = a + d. Así

33. Ejemplo 1 Determine los valores propios del sistemaen términos de c, y use un programa de solución numérica para descubrir la forma de soluciones correspondientes al caso c = ¼ , 4, 0 y −9.

34. Ejemplo 1 (2) SoluciónComo la matriz de coeficientes es entonces tenemos  = −2, y  = 1 – c. Así

35. Ejemplo 1 (3) • Si c = ¼ , = −1/2 y −3/2. Fig 11.8(a) ilustra el retrato fase del sistema. • Cuando c = 4,  = 1 y 3. Fig 11.8(b).

36. Ejemplo 1 (4) • Cuando c = 0,  = −1. Fig 11.8(c). • Cuando c = −9,  = −1  3i. Fig 11.8(d).

37. Caso I: Valores Propios Reales y Distintos • Según Sec 10.2, la solución general es • (a) Ambos valorespropiosnegativos: NodoEstableEs másfácilcomprobarquebajoestacondición, X(t)  0cuandot Fig 11.9.

38. Fig 11.9

39. (b) Ambos Valores Propios Positivos: Nodo Inestable Es más fácil comprobar que bajo esta condición, |X(t)| queda sin cota cuando t Fig 11.10

40. Fig 11.10

41. (c) Valores Propios con Signos Opuestos(2 < 0 < 1): Punto SillaCuando c1 = 0, X(t) se aproximará0 a lo largo de la recta determinada por el vector propio K2 cuandot . Esta solución inestable se lalma punto silla. Fig 11.11.

42. Fig 11.11

43. Ejemplo 2 Clasifique el punto crítico (0, 0) de cada sistemaX = AX como un nodo estable, nodo inestable, o un punto silla.(a) (b) Solución (a) Puesto que los valores propios son 4, −1, (0, 0) es un punto silla. Los vectores propios correspondientes son respectivamente

44. Ejemplo 2 (2) Si X(0) está sobre la recta y = −x, entonces X(t) tiende a 0. Para cualquier otra condición inicial, X(t) queda sin cota en las direcciones determinadas por K1. Esto es, y = (2/3)x sirve como una asíntota. See Fig 11.12.

45. Fig 11.12＞

46. (b) Puesto que los valores propios son − 4, −25, (0, 0) es un nodo estable. Los vectores propios correspondientes son respectivamente Fig 11.13.

47. Fig 11.13

48. Caso II: Valor Propio Real Repetido • Según laSec 10.2, tenemos las siguientes condiciones. • (a) Dos Valores Propios Linealmente IndependientesLa solución general esSi 1 < 0, entonces X(t) tiende a 0 a lo largo de la recta determinada por c1K1 + c2K2 y el punto crítico se llama nodo estable degenerado. Fig 11.14(a) muestra la gráfica para 1 < 0 y las flechas se invierten cuando 1 > 0, y se llama nodo inestable degenerado.

49. Fig 11.14

50. (b) Un solo Vector Propio Linealmente IndependienteCuando existe un solo valor propio, la solución general es Si 1 < 0, entonces X(t) tiende a 0 en una dirección determinada por el vector K1(Fig 11.14(b)). Este punto crítico se llama de nuevo nodo estable degenerado.Si 1 > 0, este punto crítico se llama nodo inestable degenerado.