GEOMETRIE

1. Realizat de prof. FLORESCU NICOLAE GEOMETRIE CLASA a VIII-a Semestrul II .

2. PROIECTII ORTOGONALE PE UN PLAN .

3. PROIECTII DE PUNCTE SI DREPTE PE UN PLAN Se numeste proiectia ortogonala a unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe un plan. Prin proiectia unei drepte pe un plan se intelege multimea proiectiilor punctelor acelei drepte pe plan. A A A B A` B`  A`  .

4. PROIECTII DE FIGURI GEOMETRICE PE UN PLAN C Prin proiectia unei figuri geometrice pe un plan intelegem multimea proiectiilor punctelor acelei figuri pe plan. A B C` A`  B` .

5. UNGHIUL UNEI DREPTE CU UN PLAN d A u B d` B`  Unghiul unei drepte dcu planul  este unghiul dintre dreapta data si proiectia acestei drepte pe plan; conform figurii de mai sus este vorba de unghiul ABB` de masura u. BB` = ABcosu .

6. TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULRE Daca o dreapta d este perpendiculra pe planul , dreapta a este inclusa in planul , drepta PA este perpendiculara pe dreapta a in punctul A, atunci si dreapta MA este perpendiculara pe dreapta a. d M Cu ajutorul teoremei celor trei perpendiculare se poate afla distanta de la un punct la o dreapta sau la un plan si masura unghiului plan al unui diedru. a P A  .

7. UNGHI DIEDRU Fie planele  si . Dreapta a inclusa in , este perpendiculara pe muchia diedrului in P.  b Dreapta b inclusa in , este perpendiculara pe muchia diedrului in P. u P a Unghiul plan al diedrului format de cele doua plane este unghiul plan determinat de dreptele a si b de masura u.  .

8. PLANE PERPENDICULARE Daca planul  contine dreapta d perpendiculara pe planul , atunci cele doua plane sunt perpendiculare.  d a m Daca doua plane sunt perpendiculare, atunci ele formeaza un unghi diedru drept.  .

9. ARII SI VOLUME .

10. ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME TRIUNGHIULARE C` B` A` h Pb = 3l(perimetrul bazei) C l (aria bazei) B A .

11. ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME PATRULATERE D` C` A` B` h Pb = 4l(perimetrul bazei) D C Ab = l2(aria bazei) A l B .

12. ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME HEXAGONALE E` D` F` C` A` B` h Pb = 4l(perimetrul bazei) E D F C l (aria bazei) B A .

13. ARIA SI VOLUMUL UNUI CUB D` C` Al = 4l2 A` B` At = 6l2 d V = l3 D C B A l Triunghi echilateral .

14. ARIA SI VOLUMUL UNUI PARALELIPIPED DREPTRUNGHIC Al = 2(a+b)c perimetrul bazei d At = 2(ab+bc+ac) c V = abc b d2 = a2 + b2 + c2 a (a +b +c)2 = d2 + At .

15. ARIA SI VOLUMUL UNEI PIRAMIDE TRIUNGHIULARE V mb = muchia bazei; ml = muchia laterala; h = inaltimea; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; R = raza cercului circumscris bazei ml ap h C D ab R O A mb B .

16. PIRAMIDA TRIUNGHIULARA - TRIUNGHIURI DE LUCRU V V ap2 = ab2 + h2 ap ml h ap h C D ab ab D R O O V A mb=l3 B ml2 = ap2 + (l/2)2 V ml2 = h2 + R2 ml ap h ml l/2 R B A O D .

17. ARIA SI VOLUMUL UNEI PIRAMIDE PATRULATERE V mb = muchia bazei; ml = muchia laterala; h = inaltimea; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; R = raza cercului circumscris bazei ml ap h D C ab E R O A mb B Ab = l 2. .

18. PIRAMIDA PATRULATERA – TRIUNGHIURI DE LUCRU V V ap2 = ab2 + h2 h ap ml ap ab = l / 2 h D C ab ab E E R O O V A mb B ml2 = ap2 + (l/2)2 V ml2 = h2 + R2 ml ap h ml l/2 R A O E C .

19. V PIRAMIDA HEXAGONALĂ h E D F C O l B A .

20. ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE PIRAMIDA TRIUNGHIULARA Baza mica l = latura bazei mici Apotema bazei mici C` O` D` Muchia laterala B` A` Inaltimea Apotema bazei mari C D Baza mare O B A L = latura bazei mari .

21. Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru ab O` D` aB= apotema bazei mari; ab= apotema bazei mici; a h a= apotema trunchiului; h h= inaltimea trunchiului; aB-ab D aB O .

22. Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru r A` O` h = inaltimea; ml = muchia laterala; h h R = raza cercului circumscris bazei mari; ml r = raza cercului circumscris bazei mici; R-r A O R .

23. Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru a= apotema trunchiului; l/2 C` D` ml = muchia laterala; ml L/2 = jumatate din latura bazei mari a a l/2 = jumatate din latura bazei mici L/2-l/2 C L/2 D .

24. ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE PIRAMIDA PATRULATERA l L = latura bazei mari l = latura bazei mici ab r h = inaltimea a = apotema trunchiului aB = apotema bazei mari ab = apotema bazei mici R = raza cercului circumscris bazei mari h a ml r = raza cercului circumscris bazei mici ml = muchia laterala aB R L .

25. V CUM CONSTRUIM CORECT UN TRUNCHI DE PIRAMIDA? Urmariti desenul alaturat. Ce este deasupra bazei mici se poate sterge daca nu este nevoie in rezolvarea unei probleme. D` C` A` B` D C B A .

26. ARIA SI VOLUMUL UNUI CILINDRU CIRCULR DREPT R = raza cilindrului; B` O` A` h = inaltimea cilindrului; G = generatoarea cilindrului; G h Al = 2RG At = 2R(R+G) R B A O V = R2h .

27. ARIA SI VOLUMUL UNUI CON CIRCULAR DREPT V R = raza conului; h = inaltimea conului; G = generatoarea conului; G2 = R2 + h2 G h Al = RG At = R(R+G) R B O A .

28. ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE CON CIRCULAR DREPT R = raza mare a trunchiului de con; O` r A` B` r = raza mica a trunchiului de con; G = generatoarea trunchiului de con; h = inaltimea trunchiului de con; G2 = h2 + (R-r)2 G h Al = G(R+r) At = Al + (R2+r2) R B O A .

29. RAPORTUL ARIILOR SI VOLUMELOR CORPURILOR ASEMENEA Piramida mica h` Piramida mare h h` k = Unde k este raportul de asemanare, de exemplu: h .

30. ARIA SI VOLUMUL UNEI SFERE R = raza sferei Asferei = 4R2 R A O .

31. VREAU SA MA MAI UIT O DATA ! sfârşit