Fraktálová geometrie

1. Fraktálová geometrie

2. Matematické modely • vymezit zkoumaný systém • zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase • tvorba matematického modelu: vzájemný vztah základních veličin • výstupem matematického modelu jsou data popisující chování zkoumaného systému • ověření výstupních dat na reálném systému • korekce matematického modelu

3. Matematické modely • Výstupem může být i geometrický útvar • Příklady z oblasti biologie • Program pro syntetický život Tierra • Matematický model DNA generovaný počítačem • Matematický model jednoduché „evoluce“ • Vězňovo dilema – spolupráce nebo zrada? • Některé geometrické útvary mají zvláštní vlastnosti, nazýváme je fraktály

4. Fraktálová geometrie • Benoit Mandelbrot, Gaston Julia • Základní literatura : The Fractal Geometry of Nature • La fractale, fractus, fraction • výzkum začneme na jednoduchém fraktálu Kochové křivce (Helge von Koch, 1904)

5. Vlastnosti Kochové křivky • křivka je spojitá, nikde sama sebe neprotíná • celá křivka je uvnitř kružnice opsané původnímu trojúhelníku • křivka má nekonečnou délku, i když je „uzavřena“ v kružnici, délka hranice : o ... obvod trojúhelníku n … počet „dělení“ trojúhelníku

6. Vlastnosti Kochové křivky • Každá část křivky obsahuje sebe sama, z každé části lze obnovit celou křivku – tato vlastnost se nazývá : vnitřní homotetie (self-similarity)

7. Jakou má Kochové křivka dimenzi? • dimenze 0 : body • dimenze 1 : přímky • dimenze 2 : roviny • dimenze 3 : prostory • dimenze d : dimenze Kochové křivky?

8. Jakou má Kochové křivka dimenzi? 1< d <2

9. Je nutná nová definice dimenze ! • Útvary klasické eukleidovské geometrie mají celočíselnou (topologickou) dimenzi • Velice zjednodušeně : topologická dimenze označuje počet parametrů, kterými můžeme popsat každý bod na geometrickém útvaru • přímka : • každý bod lze popsat jediným parametrem, má tedy dimenzi 1, každá křivka v rovině má rovněž dimenzi 1, každý bod lze totiž obecně popsat: x=x(t), y=y(t), kde parametr t probíhá určitý interval • rovina : • rovina má tedy dimenzi 2

10. Jiná definice dimenze • Úsečku o topologické dimenzi 1 rozdělíme na N stejných úseček. Koeficient stejnolehlosti pro jednu úsečku bude tedy • Když budeme místo úsečky dělit čtverec (dimenze 2) na N shodných čtverců, koeficient stejnolehlosti pro jeden čtverec bude bude

11. Pro krychli tedy platí : • Není problém definovat krychli s eukleidovskou dimenzí větší než 3, nazveme ji d, pak analogicky platí : • Z toho vyjádříme d : Dostali jsme vzorec pro výpočet homotetické (Hausdorffovy – Besicovitchovy) dimenze, která se někdy nazývá fraktálová

12. Definice fraktálů Mandelbrot : „Fraktály se charakterizují intuitivním a pracovním způsobem prostřednictvím obrázků či množin, které by se mohly označit za fraktální, a přitom se vyhýbáme jejich definování matematickým a kompaktním způsobem“

13. Definice fraktálů Mandelbrot : „A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.“ Překlad : „Fraktál je podle definice množina, pro kterou je Hausdorffova-Besicovitchova dimenze vyloženě větší než topologická dimenze.“

14. Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky „Klasická“ křivka : když použijeme menší a menší měřítko, délka se blíží k nějaké konečné hodnotě Kochové křivka : tzn., při zmenšování měřítka je délka nekonečná (Richardsonův empirický zákon – pobřeží Bretaně)

15. Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky N = 4 d =1,26

16. Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Množina komplexních čísel : • Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná čísla • Navíc obsahuje tzv. imaginární jednotku i • platí • algebraický tvar komplexního čísla je a+b.i, kde a,b jsou libovolná reálná čísla • sčítání a násobení provádíme stejně jako čítání a násobení dvojčlenů v R • každé komplexní číslo lze znázornit v rovině jako bod o souřadnicích [a;b]

17. Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů • iterace … opětovné užití téhož početního obratu, výsledek početního obratu je vstupem pro následující opakování téhož obratu • iterace v C … • počáteční hodnota z= 0+0i tj. bod o souřadnicích [0;0] • c je testované komplexní číslo • pokud c konverguje tj. blíží se bodu [0;0], označíme je černě • pokud diverguje označíme jej barevně, např. podle „rychlosti“ divergence

18. Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Výsledkem otestování všech bodů roviny je fraktálový útvar, který se nazývá Mandelbrotova množina (M-set). Vlastnosti : • celá množina leží v kruhu o poloměru 2 • množina je souvislá • fraktální dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál • obsahuje údaje o všech tzv. Juliových množinách • každou část lze „zvětšovat“ do nekonečna, vždy se objeví nové a nové strukrury

19. Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů Využití : • umění • modelace fázových přechodů – magnetizace a demagnetizace • počítačové benchmarky

20. Další zajímavé fraktály • Cantorův prach (Cantorovo mračno) • Sierpinského koberec • Mengerova houba • Fraktálové rozhraní Newtonovy metody • Počítačová grafika – imaginární krajiny

21. Použitá literatura Gleick, J. : Chaos. Ando, Praha, 1996 Coveney, P., Highfield, R. : Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha, 2003 Prigodine, I., Stengersová I. : Řád z chaosu. Mladá fronta, Praha, 2001 Mandelbrot, B. : Fraktály. Mladá fronta, Praha, 2003 Mandelbrot, B. : The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And Company, New York, 2000 Burger, E. B., Starbird M. : The Heart Of Mathematics, Key College Publishing, Emeryville, California, 2000

22. Děkuji Vám za pozornost