Möglichkeiten zur Schulung der Raumvorstellung

1. Möglichkeiten zur Schulung der Raumvorstellung Andreas Asperl, Wien aa@geometrie.tuwien.ac.at

2. Intelligenzen Thurstone (1938) • Raumvorstellung gehört zu den 7 grundlegenden mentalen Fähigkeiten (primary mental abilities) • Verbal, Word Fluency, Number, Perception, Space, Memory,, Reasoning • Raumvorstellung setzt sich aus drei Komponenten zusammen: • Veranschaulichung (Visualization) • Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und • Räumliche Orientierung (Spatial Orientation)

3. Intelligenzen • Howard Gardners acht Intelligenztypen • logisch-mathematisch • linguistisch • naturalistisch • musikalisch • räumlich • kinästhetisch • interpersonal • intrapersonal • Kernkomponenten der räumlichen Intelligenz: • Zurechtfinden im Raum • Fähigkeit, die visuell-räumliche Welt genau wahrzunehmen • Fähigkeit, diese Wahrnehmungen zu transformieren

4. Intelligenzen • Linn und Petersen (1985) beschreiben den Intelligenzfaktor „Raumvorstellung“ ebenfalls mit drei Kategorien: • Räumliche Wahrnehmung (Spatial perception), • Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (Mental Rotation) und • Veranschaulichung (Spatial Visualization).

5. Modell von Thurstone • Veranschaulichung (Visualization) • Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und • Räumliche Orientierung (Spatial Orientation) Weitere Beispiele: Würfelnetze, Polyedernetze, …

6. Modell von Thurstone • Veranschaulichung (Visualization) • Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und • Räumliche Orientierung (Spatial Orientation) © Veritas Verlag © Veritas Verlag

7. Modell von Thurstone • Veranschaulichung (Visualization) • Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und • Räumliche Orientierung (Spatial Orientation) © Thomas Vogt

8. Ein weiterer wichtiger Faktor • Vorstellungsfähigkeit von Rotationen • kommt häufig in Intelligenztests (MRT) vor

9. RV im täglichen Leben • Wegbeschreibungen • Einparken von Autos • Zusammenbau von Selbstbaumöbel • Einräumen von Koffern and Zimmern

10. RV in der Schule • Mathematik, • Physik, • Chemie, • Biologie, • Werkunterricht • Geometrie.

11. RV und Berufe • im technischen Bereich: • Konstrukteure, Modellbauer, Automechaniker, Elektriker, • Installateure, Zimmermänner, Tischler, ... • im naturwissenschaftlichen Bereich • Physiker, Chemiker (Fullerene), Biologen (Kristallographie), … • im künstlerischen Bereich • Architekten, Designer und Bildhauer

12. RV und Berufe

13. Raumvorstellung muss bereits frühzeitig und ständig geschult werden! Veranschaulichung räumliche Beziehungen räumliche Orientierung Mentale Rotation

14. Ägyptisches Dreieck Die ägyptischen Landvermesser verwendeten zur Konstruktion von rechten Winkeln ein Seil, das durch Knoten in 12 gleiche Abschnitte geteilt wurde. • Kannst du die 5 Teile so legen, dass sie • die beiden kleinen Quadrate lückenlos ausfüllen • das große Quadrat ausfüllen?

15. Perigal‘s Puzzle • Fülle das mittlere Quadrat mit den vier Trapezen; das blaue Quadrat passt genau in das kleinste Quadrat. • Kannst du auch das große Quadrat mit allen fünf Teilen lückenlos ausfüllen?

16. Perigal‘s Puzzle Mit diesem Puzzle lässt sich auch der Satz von Pythagoras recht elegant zeigen.

17. Quadrate halbieren Die Figur links oben zeigt ein (die einfachste) Möglichkeit, um ein Quadrat nach den vorgegebenen Linien in zwei deckungsgleiche Hälften zu teilen. Wie viele Teilungsmöglichkeiten findest du noch?

18. Quadrate halbieren Es gibt genau 6 Lösungen 

19. Quadrate vierteln Die Figur links oben zeigt ein (die einfachste) Möglichkeit, um ein Quadrat nach den vorgegebenen Linien in vier deckungsgleiche Flächen zu teilen. Wie viele Teilungsmöglichkeiten findest du noch?

20. Quadrate vierteln Es gibt genau 4 Lösungen 

21. Figuren halbieren Zerlege die unregelmäßige Figur in zwei deckungsgleiche Flächen – Teilungslinien sind nur entlang der vorgegebenen Linien erlaubt! Kannst du die Figur auch in 4 deckungsgleiche Flächen teilen?

22. Figuren halbieren

23. Figuren halbieren Zerlege die unregelmäßigen Figuren jeweils in zwei deckungsgleiche Flächen! Nun sind auch beliebige geradlinige Schnittlinien erlaubt!

24. Figuren halbieren

25. Umsprungbilder

26. Drahtgittermodell – mögliche und „unmögliche“ Ausführung der Sichtbarkeit Impossibles Objekt von Gerhard PILLWEIN – erzeugt mit Microstation durch geschicktes „zur Deckung bringen“.

27. Bestimmung von Sichtbarkeiten

28. Würfelnetze Nun werden wir Würfel falten.

29. Charly‘s Würfel 1 Charly hat verschiedene, aus sechs Quadraten bestehende Papierstreifen ausgeschnitten und möchte diese nun zu einem Würfel zusammensetzen. Er darf dabei nur längs der vorgegebenen Kanten knicken und zum Befestigen aneinanderstoßender Seitenflächen verwendet er ein Klebeband. Welche der ausgeschnittenen Papierstreifen kann Charly auf diese Art zu einem Würfel zusammensetzen? Kannst Du Charly noch andere Papierstreifen erzeugen, die das Netz eines Würfels bilden? Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es überhaupt?

30. Charly‘s Würfel 2 Du hast sicherlich alle verschiedenen Würfelnetze gefunden  Wie viele gemeinsame Kanten zwischen Quadraten treten bei den einzelnen Netzen auf? Ist dein gefundenes Ergebnis nicht merkwürdig? Versuche, eine Begründung dafür zu finden!

31. GELB – BLAU ROT – ORANGE GRÜN - GRAU GELB – ROT GRAU – ORANGE GRÜN - BLAU Würfelnetze Welche Farben liegen nach dem Auffalten des Würfels jeweils in zueinander parallelen Seitenflächen?

32. Würfelnetze Variante Welche Netze ergeben denselben Würfel?

33. Würfeltauchen Stell dir vor, der Würfel sei bis zur Mitte in Farbe getaucht worden. Färbe die entsprechenden Flächen im Würfelnetz.

34. Würfeltauchen (Lösungsvorschlag) Das bemalte Netz rechts wäre eine mögliche Lösungsvariante.

35. Würfeltauchen 2 Stell dir vor, der Würfel sei bis zur Mitte der oberen geneigtne Kanten in Farbe getaucht worden. Färbe die entsprechenden Flächen im Würfelnetz.

36. Würfeltauchen 2 (Lösungsvorschlag) Das bemalte Netz rechts wäre eine mögliche Lösungsvariante.

37. Bemalte Würfelnetze Finde zum gezeigten Würfel passende Netze!

38. Bemalte Würfelnetze

39. Bemalte Würfelnetze

40. Bemalte Würfelnetze (Lösung) Eine Seitenfläche bleibt unbekannt!!

41. Würfelnetze mit Mustern 1) Finde zum gezeigten Würfel ein passendes Netz (Angabeblatt links)! Verwende dabei nur folgende Muster:

42. 2) Für die sechste Seitenfläche bleibt nur noch dieses Muster übrig. 3) Wähle nun eine beliebige Lage für das sechste Muster. Lösungsschritt 1 1) Finde zum gezeigten Würfel ein passendes Netz (Angabeblatt links)!

43. 5) Zeichne nun das Netz dieses Würfels in der zweiten Netzvorlage ein: Lösungsschritt 2 4) Zum Beispiel kannst du diese Lösung wählen: Damit hast du den Raumwürfel eindeutig festgelegt!!

44. Tipp: Verwende CLIXI-Quadrate und klebe die Muster auf die Seitenflächen. Lösung Als Lösung erhältst du:

45. A B D C Tetraederproblem Drei der Zeichnungen stellen jeweils ein Netz desselben Tetraeders dar. Welches Netz stammt von einem anderen Tetraeder?

46. A B D C Tetraederproblem Drei der Zeichnungen stellen jeweils ein Netz desselben Tetraeders dar. Welches Netz stammt von einem anderen Tetraeder?

47. Fliegen – Spinne - Aufgaben Die Spinne ist hungrig und ungeduldig; ihr Plan, möglichst rasch (also auf kürzestem Weg) zur Fliege zu gelangen, um sie dann als Häppchen zu verspeisen, ist in der Figur links als punktierte Linie eingetragen. Aber, ist der eingezeichnete Weg tatsächlich der kürzeste?

48. Fliegen – Spinne - Aufgaben Bemerkungen zum Hyperkubusnetz: • Gemälde von Salvadore DALI • Corpus Hypercubicus (1954) • vom Punkt zum Hyperkubus • „Perspektive“ eines Hyperkubus (Schlegeldiagramm)

49. Fliegen – Spinne - Aufgaben Bemerkungen zum Hyperkubusnetz: www.engon.de

50. Omi‘s Tischdeckenkunst