GEOMETRIE NON EUCLIDEE

1. GEOMETRIE NON EUCLIDEE

2. LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE C’è qualche buon motivo per parlarne?

3. la teoria eliocentrica di Copernico • la legge della gravitazione di Newton • la teoria dell’evoluzione di Darwin

4. LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA • COME CAMBIA LA MATEMATICA • NUOVI RAPPORTI CON LA FISICA • CON LA FILOSOFIA E CON LA LOGICA MATEMATICA • VERITA’ E IPOTETICITA’ DELLA SCIENZA

5. ASSIOMI DI EUCLIDE 1. Si ammetta di poter tirare da ogni punto ad ogni altro punto ,una linea retta 2. Si ammetta di poter prolungare continuamente per diritto una linea retta terminata 3. Si ammetta di poter descrivere un circolo con ogni centro e con ogni distanza 4. Si ammetta che tutti gli angoli retti sono uguali tra loro

6. Alcune conseguenze • -i criteri di congruenza dei triangoli • per un punto si può tracciare una sola retta • perpendicolare ad una retta data • in un triangolo isoscele gli angoli alla base • sono congruenti

7. V assioma Geometria euclidea

8. PROBLEMATICA • IL V POSTULATO E LE PRIME CRITICHE dal 300 a.C • L’OPERA DI SACCHERI (1667-1733) • L’OPERA DI GAUSS (1777-1855) • LOBACEVSKIJ (1792-1856) E BOLYAI (1802-1860) • L’OPERA DI RIEMANN (1826-1866)

9. Proposizioni equivalenti al postulato V • per un punto esterno ad una retta si può condurre una sola parallela alla retta data • la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto • l’area di un triangolo può superare qualunque area assegnata grande a piacere (Gauss 1777-1855)

10. Approccio al problema del V postulato da parte di Saccheri Data una retta r e un punto P fuori di essa allora a) per P passa esattamente una retta parallela a r o b) per P non passano rette parallele a r o c) per P passano almeno due rette parallele a r.

11. LOB. e BOLYAI

12. Se consideriamo i primi quattro postulati e l’ipotesi c • Tutti i teoremi di geometria che discendono dall’applicazione dei primi quattro postulati continuano ad essere teoremi della nuova geometria Valgono inoltre i seguenti teoremi: • la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di un piatto • non si può costruire un rettangolo • non vale il teorema di Pitagora

13. Teoremi • di due triangoli , quello che ha l’area maggiore ha la somma degli angoli minore • detto difetto d la differenza tra 180° e la somma degli angoli interni di un triangolo, l’area del triangolo vale kd, dove k è una costante • L’area di un qualsiasi triangolo è minore di k180° • due triangoli simili sono congruenti

14. LE NUOVE GEOMETRIE • LA NASCITA DI GEOMETRIE DIVERSE DALLA EUCLIDEA • GEOMETRIE NON EUCLIDEE: LA GEOMETRIA IPERBOLICA LA GEOMETRIA ELLITTICA • MODELLI DELLE GEOMETRIE e COERENZA • INDIPENDENZA DEL V ASSIOMA

15. I MODELLI DELLE GEOMETRIE • Il piano, la superficie cilindrica….MODELLI della geometria euclidea • ogni postulato della geometria euclidea continua a valere per le figure della superficie cilindrica secondo la seguente interpretazione:

16. Dal piano alla superficie cilindrica • retta geodetica • triangolo triangolo curvilineo • cerchio cerchio

17. MODELLO DELLA GEOMETRIA IPERBOLICA DI KLEIN

18. Interpretazione • piano parte interna del cerchio • punto punto interno al cerchio • retta corda

19. MISURA E MOVIMENTI • Definiamomis (AB)il valore assoluto del logaritmo del birapporto (ABPQ) (detti P e Q le intersezioni della corda AB con la circonferenza, si definisce (ABPQ) = (AP/BP).(BQ/AQ).)

21. Dimostriamo che la mis(AQ) diviene infinita : a tale scopo è sufficiente sottolineare che Lim (AXPQ)=0 per X → Q , perciò lim │log(AXPQ)│=+∞ per X → Q . e i movimenti?

22. CONSEGUENZE • Indipendenza del V postulato • Coerenza della geometria iperbolica

23. Trigonometria iperbolica il teorema dei seni in un triangolo iperbolico di lati a,b,c e angoli α,β,γ

24. MODELLO DELLA GEOMETRIA ELLITTICA DI RIEMANN

25. Interpretazione • piano superficie sferica • punto coppia di punti diametralmente opposti • retta → cerchio massimo (geodetica)

26. Riemann • la retta da infinita e illimitata diventa finita ( come misura), chiusa e illimitata • due rette sono sempre incidenti, per cui non esistono rette parallele.

27. TEOREMI • tutte le rette hanno la stessa lunghezza (finita) • la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180°, essa tende a 180° quando l'area del triangolo tende a 0 • non esistono triangoli o poligoni simili con aree differenti

28. TEOREMI • due rette perpendicolari alla stessa retta si intersecano; tutte le perpendicolari alla stessa retta hanno un punto di intersezione comune (o due punti) alla stessa distanza dalla retta data • due rette qualsiasi hanno un unica perpendicolare in comune

29. TEOREMI • non esistono rettangoli • il teorema di Pitagora non vale, ma si avvicina al risultato con il tendere a zero dell'area del triangolo.

30. Quale geometria per la fisica?

31. L’uso di software geometrici • cabri plus • cinderella • geo

32. Poligoni regolari

33. Tassellazione con pentagoni

34. Arte e Geometria Escher

35. Cerchio limite III Coxeter

36. Coxeter pubblicò un’analisi del "Circle Limit III" di Escher in cui dimostrava la precisione matematica dell’opera. “Escher ha raggiunto il suo risultato per istinto, mentre io ci sono arrivato attraverso la trigonometria. Ma il suo lavoro è assolutamente preciso, al millimetro. Sfortunatamente non è vissuto tanto a lungo da poter vedere la mia esposizione matematica”. (L’articolo on-line di Coxeter, sul lavoro di Escher: The Trigonometry of Escher's Woodcut "Circle Limit III":http://www.ams.org/featurecolumn/archive/circle_limit_iii.pdf

37. Concludiamo riportando uno dei teoremi più belli e difficili della matematica del secolo scorso (XX secolo). Teorema di uniformizzazione di Riemann-Poincare'. Ogni geometria piana è riconducibile a una delle tre geometrie sopra descritte (euclidea, sferica , iperbolica).

38. Geometria secondo Klein • Programma di Erlangen (Erlanger programme) (1872) Felix Klein introduce una visione unitaria della geometria tramite il concetto di gruppo:la geometria diventa lo studio delle proprietà invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni In particolare le geometrie non euclidee trovano una sistemazione nell’ambito della geometria proiettiva