Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel

1. Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel intrabanda mediante il formalismo di Wigner Candidato: Omar Morandi Relatori: Prof. G. Manes Prof. G. Frosali Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Universitá di Firenze Universitá di Firenze Ing. A. Cidronali Ing. M. Camprini Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni” Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Universitá di Firenze Universitá di Firenze Anno Accademico 1999 - 2000

2. { Equazione di Schrödinger Meccanica quantistica: Simulare un dispositivo a semiconduttore equivale a determinare il moto di N particelle interagenti Meccanica classica: equazione di Boltzmann Equazione di Wigner

3. Funzione di Wigner : Equazione di Wigner : Operatore pseudo-differenziale :

4. Limite classico Equazione di Wigner Equazione di Boltzmann Calcolo dei momenti della distribuzione Momento di ordine zero Momento del primo ordine Meccanica classica e formalismo di Wigner Analogie:

5. Meccanica classica e formalismo di Wigner Analogie: L’ ambientazione nel piano delle fasi suggerisce la definizione di traiettorie quantistiche Possibile interpretazione dei fenomeni quantistici alla luce del moto di una quasi-particella con posizione e quantità di moto ben definiti che risente dell’ effetto dei campi tramite l’azione di una “forza quantistica”

6. La funzione di Wigner non è definita positiva : Non può essere interpretata come una densità di probabilità Funzione di Wigner relativa allo stato risonante dell’RTD Meccanica classica e formalismo di Wigner Differenze: { la quasi-particella risente in generale dell’azione esercitata dai campi in ogni punto dello spazio • La forza quantistica è non locale:

7. Reservoirs Caratteristica di corpo nero Distribuzione termodinamica di portatori Gli elettroni escono senza essere riflessi Modellizzazione di dispositivi a semiconduttore : Un dispositivo elettronico è un sistema aperto contenente al proprio interno svariati gradi di libertà che rendono il moto dei portatori tipicamente irreversibile Una formulazione cinetica fornisce strumenti semplici ed efficaci per includere l’irreversibilità di moto Apertura : Bus Bus Dispositivo

8. Collisioni : Approssimazione “a tempo di rilassamento” dell’operatore collisionale di Boltzmann Risultati analitici applicabili ai casi pratici : Descrizione di moto incoerente e impiego di Condizioni al Contorno non reversibili per inversione temporale f limitata w

9. Differenze modellistiche fra la formulazione wigneriana della meccanica quantistica e quella standard Pregi Difetti • Semplicità nella descrizione degli stati “mixed” • Semplicità nella simulazione di fenomeni quantistici transitori • Descrizione dell’irreversibilità di moto senza violazione dell’equazione di continuità della carica • Perdita comprensione intuitiva e di interpretabilità nelle soluzioni • Mancanza di soluzioni analitiche se non per casi banali • Necessità di utilizzo di tecniche di calcolo non standard per la risoluzione numerica

10. Soluzione stazionaria : E’ possibile ricondurre la determinazione di una soluzione dell’equazione di Wigner al seguente sistema lineare Schema differenziale di Eulero del secondo ordine up-dounwind Approssimazione dell’operatore pseudo-differenziale Tecniche di calcolo : Gli algoritmi di calcolo si adattano alla complessità del problema trattato Soluzione stazionaria Soluzione evolutiva Soluzione non auto-consistemte Soluzione auto-consistente

11. Soluzione evolutiva Una soluzione formale dell’equazione di Wigner tempo-dipendente si scrive In generale si implementano schemi iterativi del tipo Sia per la stabilità dell’algoritmo che per la sua precisione si dimostra critica la scelta di una congrua metodologia di calcolo dell’esponenziale Schema Eulero esplicito : Schema Eulero implicito : Schema Cayley :  Algoritmo numerico stabile La soluzione analitica è limitata

12. Soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson Ricercare una soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson significa determinare il profilo del minimo della banda di conduzione del dispositivo che sia coerente con la distribuzione di carica al suo interno { Sistema Wigner-Poisson Soluzione stazionaria: algoritmo Newton Possiede un meccanismo di controllo sulle soluzioni che impedisce loro di oscillare indefinitamente Soluzione evolutiva: algoritmo Gummel

13. Catodo Spacers Barriera Anodo Pozzo quantistico Barriera Spacers Substrato TIpologia costruttiva dell’RTD simulato

14. Misure statiche dell’RTD simulato Simulazioni e misure si riferiscono alla temperatura di 77 ºK Caratteristiche RTD • Presenza di una regione di funzionamento • a resistenza differenziale negativa (N.D.R.). • Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente • utili in numerose applicazioni sia analogiche che • digitali.

15. Misure statiche dell’RTD simulato Simulazioni e misure si riferiscono alla temperatura di 77 ºK Caratteristiche RTD Problematiche di utilizzo • Presenza di una regione di funzionamento • a resistenza differenziale negativa (N.D.R.). • Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente • utili in numerose applicazioni sia analogiche che • digitali. • Presenza di cicli d’isteresi • Presenza di punti di polarizzazione • instabili con conseguente formazione • di oscillazioni intrinseche ad alta • frequenza.

16. Misure statiche dell’RTD simulato Simulazioni e misure si riferiscono alla temperatura di 77 ºK Caratteristiche RTD Problematiche di utilizzo • Presenza di una regione di funzionamento • a resistenza differenziale negativa (N.D.R.). • Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente • utili in numerose applicazioni sia analogiche che • digitali. • Presenza di cicli d’isteresi • Presenza di punti di polarizzazione • instabili con conseguente formazione • di oscillazioni intrinseche ad alta • frequenza.

17. Il nostro metodo mostra un buon accordo sia con i dati sperimentali che con i risultati ottenuti da altri autori Termini di paragone per testare dell’affidabilità dell’algoritmo Caratteristica statica: soluzione stazionaria non auto-consistente Simulazioni effettuate Simulazioni Ferry

18. Variazione della densità di carica all’interno del semiconduttore ottenuta integrando la funzione di Wigner Tempi di switch Dalle simulazioni appare il seguente fenomeno paradossale, ovvero che le collisioni possano diminuire i tempi di switch. Una spiegazione fisica plausibile segue dall’analisi delle quasi-traiettorie T = 77 K T = 300 K

19. Simulazioni auto-consistenti Presenza del ciclo d’isteresi La spiegazione fisica della presenza del ciclo d’isteresi segue dall’analisi dell’intrappolamento della carica all’interno del pozzo quantistico Nelle simulazioni auto-consistenti si impiega il “vero” profilo di potenziale del diodo

20. Simulazioni delle oscillazioni intrinseche Le oscillazioni intrinseche sono il fenomeno più complesso mostrato dai diodi risonanti e solo con le simulazioni Wigner si è, fino ad oggi, riuscito a riprodurlo e studiarlo: Transizioni stabili Transizioni instabili Le oscillazioni si auto-innescano nel range di tensione 0.24 0.26 V. La loro spiegazione fisica dovrebbe derivare dalla creazione di livelli discreti nella regione catodica e del loro conseguente sparpagliamento in una distribuzione continua

21. Ambiente di lavoro C++ Costi computazionali La presente stima dei tempi di calcolo è relativa all’utilizzo di un normale PC che impiega 30 secondi nella risoluzione di un’iterazione di calcolo Wigner-Poisson: come si nota i tempi di calcolo sono molto vari e se le simulazioni più semplici impiegano tempi minimi e si prestano alla progettazione di circuiti, quelle più sofisticate sono troppo lente e risultano utili più in fase di verifica: si ha così uno strumento adattabile ai vari casi d’impiego

22. Conclusioni Buoni risultati nella modellizzazione di strutture “Lattice-matched” Sviluppi futuri Applicazione a dispositivi circuitalmente più complessi Dispositivi interbanda su substrato InP che mostrano una buona caratteristica anche a temperatura ambiente • Formalismo doppia banda • Inclusione formale dell’interazione e--fonone • Applicazione a nuovi materiali Impiego della tecnologia Si-Ge In cui si utilizzano substrati virtuali e “layers strained”