Komplexita v sie ťach

Komplexita v sieťach Jiří Pospíchal Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU v Bratislave Prednesené dňa 26.10.2009 na seminári AI v Bratislave

Obsah • Úvod – čo je to sieť • Krátka história sietí • Základné typy sietí • Momentálne trendy • Siete zakotvené v priestore • Záver – otázky a výzvy

Teória sietí študuje teoretické základy štruktúry sietí, ich dynamického správania sa a aplikácie – biológia, fyzika, sociálne siete. Iba 2005 – definícia sietí. Úvod - Čo je to sieť?

Buzz-words: Evolúcia bottom-up, stabilita. Komplexné systémy: Neuro-science, evolučná biológia, ekológia, epidemiológia, sociológia. Úvod - Čo je to sieť?

Vrcholy siete: ľudia, mozg. bunky, molekuly, gény, rútery, www strany, publikácie, slová. Hrany: priateľstvo, Facebook, marketing, nakazenie, synapsie, súčasné vybudenie, metab. procesy, gen. vzťahy, káble, vod. a plyn. rúry, letec. spoje, internet. prepojenia, bibliografické citácie G={N,L,f}

Pozostáva z veľkého počtu interagujúcich súčastí. Interakcie dávajú vzniknúť emergentným hierarchickým štruktúram. Prvky aj vlastnosti systému ako celku sa menia s časom. Otvorený systém, nestabilná dynamika. Čo je komplexný systém?

História? Teória grafov Euler 1736 20. st. Erdös náhodné grafy 60 roky Milgram small-world = 6 degrees of separation Wats, Strogatz, Barabasi 1999 fyzika, biológia, internet – scale free networks

Siete malého sveta? Bezškálové siete? veľký koeficient klasterizácie, malá priemernádĺžka cesty Watts, Strogatz 1998 Tri hrany naviac polovičnécesty štruktúra a dynamika nezávislá na veľkosti systému Barabási 1999 Pravdepodobnosť stupňa vrcholu k = k-

Siete malého sveta Cestné mapy, potravinové reťazce, elektrická rozvodná sieť, sieť metabolitov, neurónové siete: 1 mm červ nematode  sieť telefónnych spojení ... rovnostárske aristokratické (bezškálové) - väčší počet vrcholov veľkého stupňa - v sociálnych sieťach (sex), interakcie proteínov, WWW 9

Siete malého sveta siete malého sveta, tie majú veľký klasterizačný koeficient počítaný ako Rovnako ako náhodné siete ale majú malý priemer, teda najdlhšiu z najkratších ciest po vrcholoch 10

Bezškálové siete Fat-tail distribúcia stupňov vrcholov = je oveľa viac vrcholov vysokého stupňa, ako by odpovedalo Poissonovej distribúcii pri náhodných grafoch, napr. Internet, železnice, plynové a ropné rozvody Power-law distribúcia nie je exponenciálna, tam by bolo vrcholov vysokého stupňa menej 11

Bezškálové siete Príbuznosť power-law s ostatnými Zipfov zákon: frekvencia slova v angkličtine je nepriamo úmerná jeho poradiu vo frekvenčnej tabuľke f(w)=c/r(w) Pareto distribúcia 80/20 pravidlo -20% ľudí vlastní 80% bohatstva Yule-Simon distribúcia ~ preferential attachment – pripoj vrchol k existujúcemu prcholu s pravdepodobnosťou úmernou počtu kuž k nemu pripojených vrcholov, f(k)=1/kp+1 klesá pomaľšie ako exp (-(p+1) k) 12

Náhodná sieť Lokálna sieť 13

Rovnostárska Aristokratická sieť = scale free 14

Dynamické vlastnosti Evolúcia z počiatočného štádia k fix. bodu = emergencia (Holland: veľa prichadzajúce z mála) Cyklické správanie Zmeny topológie siete (preferenc. attachment) Stav siete (synchronizácia)

„Novšia“ história I • 2000 Kleinberg O(n) prehľadávanie v small-world s Manhattan. vzdialeností • Milgramov experiment formálne • max-degree navigácia v scale-free sieťach optimálna • skokmi prehľadávaj vrcholy s najvyšším stupňom, dokiaľ nenájdeš cieľ (x zamedzenie návratu do predchádzajúceho vrcholu, návrat zo slepej uličky)

„Novšia“ história II • 2000 Albert, Jeong, Barabasi • pc podieľ poškodených uzlov separujúcich sieť • pc=28% pre náhodné siete • pc= 99% pre scale free siete • xpc= 18% pre scale free siete pri cielenom útoku na huby • Risk=Pútoku*Zraniteľnosť*Škoda • návrh optimálnych ochranných algoritmov Al Mannai 2007

„Novšia“ história III • 2001 Pastor-Satorras predpoklad žiaden prah pre opakovanie epidémie v scale-free sieťach, ako infekcia napadne sieť, počet infikovaných stúpa a klesá opakovane • X Wang 2003 dokázal, že podieľ rýchlosť uzdravenia/rýchlosť infekcie =spektrálny rádius (najväčšia netriviálna vlastná hodnota matice spojenia siete) nezáleží na distribúcii stupňov

„Novšia“ história IV ? Švrčci alebo počúvajú, alebo cvrkajú. Po každom cvrkaní počúvajú aspoň 1 periódu. Cvrkajú, len, keď počujú aspoň jedného suseda cvrkať. Za akých podmienok synchronizácia?

„Novšia“ história V ? Na synchronizáciu je potrebný trojuholníkový cyklus, alebo nahluchnutý švrček, ktorý bez ohľadu na ostatných strieda načúvanie so cvrkaním (Lewis 2009)

„Novšia“ história VI ? Kirhoffova sieť =úplný graf, stav vrchola je rozdieľ súčtu prítokov od odtokov. Sieľ sa synchronizuje, keď akýkoľvek pár orientovaných cyklov sú relatívne prvočísla –keď odstránime vrchol či hranu a toto neplatí, sieť reaguje chaoticky  blackout kvôli drobnému výpadku?

„Novšia“ história VII ? Váha orientovanej hrany určuje mieru vplyvu jedného na druhého (napr. vrchol zníženia daní zvýši mieru zamestnanosti, tá mieru spotreby, tá výšku vybraných daní, tá opäť zníženi dane). Podstatný je vplyvný, ale neovplyvniteľný vrchol. 2007 Gabbay - konsenzus v sieťach vplyvu – Laplacian. matica, záp. spectral gap

Čo je vlastná hodnota matice? Vlastnéhodnoty sú teda 2,1,-1

Čo je Laplacian matica? Najmenšia netriviálna vlastná hodnota sa volá spectralgap stupne vrcholov na diagonále hrana

Poučenie? Vlastné hodnoty sa využívajú napr. na určenie stability Echo state neurónových sietí, aj keď niektorým informatikom je „nediskrétna“ matematika cudzia, je užitočné ju poznať!

Emergenciamicro správanie vrcholov a hránmakro vlastnosť siete (fázové prechody, perkolácia, Ising. teória) Epidémie (ľudí, na internete) Synchronicita Siete vplyvu Zraniteľnosť Biológia (DNA, bunkové javy, mozog) Obchodné siete (zákazníci a inovatívni predajcovia; komu z novinárov či blogerov daťúplatok?) Momentálne trendy

Ďakujem za pozornosť

Komplexita v sie ťach