Modelo de Drude

1. Modelo de Drude Transporte en metales

2. Poseen un conjunto de Propiedades Particulares Excelente conductor del calor y la electricidad Ductiles Maleables Superficie brillante La mayoría de los sólidos no son metálicos (Sales, óxidos) Sin embargo los metales son una de las substancias mas interesantes. 2/3 de los elementos son metálicos Metales Hacia 1900 se desarrolla el modelo de Drude, que se usa hasta hoy

3. Suposiciones Básicas • 1897 Decubrimiento del electron (Thomson)1900 Desarrollo de Drude sobre la base de la teoría cinética de gases • El sólido (metal) es neutro. Como los electrones son negativos y livianos, otras partículas positivas y pesadas compensan. • Las partículas positivas están inmóviles. • Supondremos que cuando los átomos del sólido se los pone uno junto a otro, los electrones de valencia se desprenden y vagan por el metal. • Los iones juegan el role de las partículas positivas inmóbiles.

4. Aspectos Básicos de la Teoría • Se trata de partículas (electrones) que se mueven sobre un background de iones. • Calculo de la densidad de electrones n=N/V: • A: Masa atómica del elemento (gr/átomo) • rm: Densidad en gr/cm3. • Otro parámetro interesante es rs, radio de la esfera cuyo volumen es igual al volumen por electrón de conducción. • rs puede expresarse en términos del radio de Bohr

6. Detalles del Modelo • A pesar de la elevada densidad del gas de los electrones, el modelo los trata con la teoría de un gas diluido, con algunas modificaciones. • Se desprecian las interacciones del electrón con los otros electrones y con los iones entre dos colisiones sucesivas. • Implica que en ausencia de un campo externo entre colisiones se mueve en línea recta. • Con un campo externo el electrón se moverá de acuerdo a la ley de Newton. Siempre ignorando la presencia de los otros electrones. Se conoce como Aproximación de electrones independientes. • Se define una colisión como un evento instantáneo que altera la velocidad del electrón. • Drude propone que estas colisiones ocurren con los iones y no con los otros electrones

7. Detalles del Modelo • Se supone que el electrón tiene una colisión con una probabilidad por unidad de tiempo 1/t. • Con esto la probabilidad que en un diferencial de tiempo dt el electrón sufra una colision es dt/t. • Nombres para t : Tiempo de relajación, Tiempo de colisión o entre colisión, o Tiempo medio libre. • Significado: el electrón elegido de manera aleatoria habrá viajado por un tempo t antes de colisionar • Se supone que t es independiente de la posición y velocidad del electrón. • El equilibrio térmico de los electrones solo se logra por intermedio de estas colisiones. • Luego de cada colisión el electrón emerge de la misma con su velocidad que no tiene relación con su velocidad anterior. • La dirección emergente es aleatoria y apropiada a la T del lugar de la colisión.

8. Conductividad dc de un metal • La corriente que fluye por un alambre metálico es, de acuerdo a la ley de Ohm: I=V/R , donde R es independiente de V y de I. • La manera de independizarlo de la geometría es con r . E=r j La relación entre R y r es R=r L/A. • Si n electrones se mueven con velocidad v darán lugar a una corriente en la dirección de la velocidad • En un tiempo dt se habrán desplazado vdt,de modo quen(vdt)A habrán atravesado el área A perpendicular a v. Como cada electrón porta una carga –e , de modo que la corriente que atraviesa A será –nevAdt, y la densidad de corriente será j= -nev . Esta es la corriente media en cualquier punto, y v es la velocidad. • En ausencia de campo eléctrico v será cero, por lo tanto j tambien. • En caso de la presencia de un campo E la velocidad media no será nula

9. Conductividad dc de un metal • Sea t el tiempo transcurrido desde la última colisión. La velocidad en ese momento será la velocidad luego de la colisión v0, mas un adicional adquirida debido al campo: -eEt/m. • Como el electrón emerge de la colisión en una dirección aleatoria, lo referido a la contribución de v0 será nula. • En consecuencia la velocidad media serála que venga de la contribución -eEt/m, pero considerando el tiempo t. (j= -nev ) • Usualmente esto se pone en términos de la inversa de la resistividad r, la conductividad s

10. Conductividad dc de un metal • A partir de esta ecuación es posible estimar el tiempo de relajación t= m/rne2

11. Conductividad dc de un metal

12. Conductividad dc de un metal • De acuerdo a la tabla los valores típicos de la resistividad está en el orden de mohm-cm. (rm es en esta unidad) • A temperatura ambiente el valor de t es típicamente 10-14 a 10-15 segundos. • Para un mejor entendimiento de este número es mejor evaluar el camino libre medio l=v0t . • En la época de Drude la velocidad media se evaluaba con el teorema de equipartición de la energía: ½mv02= ⅔ kBT. • Calcular la velocidad media y el camino libre medio a temperatura ambiente

13. Ecuación del movimiento • Dos situaciones: con el campo eléctrico constante y con el campo eléctrico variable en el tiempo. • En términos del momento • Dado el momento p(t) al tiempo t, calculemos cual será su valor a t+dt. • Este electron tiene una probabilidad de chocar en ese tiempo que es dt/t, y una probabilidad de no haber chocado: 1-dt/t • Si no hay colisiones en ese tiempo simplemente evolucionara bajo una fuerzaf(t). • En ese tiempo habrá adquirido un momento adicionalf(t)+O(dt)2. • La contribución de los electrones que no colisionan entre t y t+dt es una fracción(1-dt/t) por su momento medio. • Despreciando la contribución de los que colisionan en este periodo tendremos

14. Ecuación del movimiento • La contribución de los electrones que si han colisionado entre t y t+dt es del orden de (dt)2 • Por que? : estos electrones son solo una fracción dt/t.Estos solo contribuirán a agrandar p solo si adquieren algo de momento en la dirección de v . El momento que adquieren es f(t) dt, como máximo. • La corrección a lo de arriba será entonces del orden de dt/tf(t) dt. En consecuencia no afectan el primer orden en dt . • Reescribiendo • Dividiendo por dt y tomando el limite para dt tendiendo a cero tenemos

15. Efecto Hall y Magnetoresistencia • El experimento de hall surge como busqueda de la magnetoresistencia. • En la configuración del experimento hay dos relaciones de interes: • La magnetoresistencia y el coeficiente Hall

16. Efecto Hall y Magnetoresistencia • En la mayoría de los metales signo de RHes concordante con portadores de carga negativos. • Solo en algunos casos es positivo. Esto lleva a la necesidad de mejorar la teoría de metales. • Consideremos la magnetoresistencia teniendo en cuenta un campo Exy Ey, y un Hz. • La fuerza actuando sobre cada electrón será: En el estado estacionario

17. Efecto Hall y Magnetoresistencia Multiplicando estas ecuaciones Por –net/m, se tiene: • El campo de Hall Eyes determinado con el requerimiento que la corriente transversal sea cero (jy=0) Siendo s0 la conductividad de corriente continua Notar que el coeficiente solo depende de n. En la realidad R depende también del campo y la temperatura. Se requiere una Teoría mas elaborada para tener en cuenta este comportamiento

19. Magnetoresistencia • Los resultados de la teoría de Drude dejan claro que la resistividad no es funcion de H (segunda ecuación). • La cantidad wct es importante. Si su valor es pequeño J es practicamente paralelo a E. • El ángulo entre E y J es conocido como Angulo de Hall. (tan f= wct ) • wc es la frecuencia de cicrotrón. Caso del Aluminio

20. Conductividad alterna (ac) • Sea un campo eléctrico • La ecuación del movimiento se convierte en • La solución al estado estacionario es de la forma • Reemplazando tenemos • Dado que j= -nep/m • Se puede escribir • Esto se conoce como conductividad dependiente de la frecuencia

21. Conductividad alterna (ac) • Hay un par de aproximaciones, la primera tiene que ver con no haber considerado el efecto del Campo magnético. La relación entre ambos campos tiene un factor v/c. • La segunda tiene que ver con que la misma fuerza ha actuado sobre el electrón todo el tiempo. Mientras que en este caso el campo varía en el espacio. • El calculo está localizado en r. Este campo pudo haber variado entre el r y el último punto de la colisión. Esta distancia no es mayor al camino libre medio. Por lo tanto si la longitud de onda de la perturbación es >> que el c.l.m., entonces la aproximación es correcta. • Esto es aplicable al campo electrico de la luz visible, cuya longitud de onda es en general >> que el c.l.m.

22. Interacción con el campo EM • Las ecuaciones de Maxwell • Teniendo en cuenta la dependencia temporal • Tenemos: • Esto toma la forma de la ecuación de onda • Con una constante dieléctrica compleja dada por:

23. Interacción con el campo EM En la aproximación wt>>1 En primera aproximación tenemos Donde tenemos la frecuencia del plasma Cuando e es real y negativo la onda decae exponencialmente en el espacio (wp>w). Mientras que si e es positiva (wp<w) la solución se vuelve oscilatoria. En este caso el metal es transparente. Expresando en términos de las variables atómicas: Con los valores de resistividad y radios atómicos se puede verificar la condición wp t >>1

24. Frecuencia de Plasma • Los metales alcalinos se vuelven transparentes en la región ultravioleta

25. Oscilaciones de carga • Una perturbación de la carga eléctrica en un metal, o en un gas de electrones, genera oscilaciones con frecuencia w • De la ecuación de continuidad • Con la ley de Gauss • De la Ecuacion de Ohm : J(w)=s(w)E(w) • tenemos Esto tiene solución si La naturaleza de estas ondas de densidad de carga (plasmones u oscilaciones de plasma) se entiende en términos de un modelo simple

26. La consecuencia termina siendo la oscilación de las cargas. Se las denomina oscilaciones de Plasma o Plasmones.