Sistemas Realimentados

1. Sistemas Realimentados Análise no Espaço de Estados

2. Conteúdo • FT no Espaço de Estados • Equações Invariantes no Tempo • Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial • Controlabilidade • Observabilidade

3. FT no Espaço de Estados • Por que representar uma FT no Espaço de Estados? • Muito útil para representar sistemas de vários graus de liberdade; • Há muitas técnicas disponíveis para obter um sistema nesta representação; • É adequada para o processamento computacional.

4. FT no Espaço de Estados • Representações tratadas aqui: • Forma controlável; • Forma observável; • Forma diagonal; e • Forma canônica de Jordan.

5. FT no Espaço de Estados • Representação do Espaço de Estados em formas canônicas Considere um sistema definido por: onde u é a entrada do sistema e y é a saída. Podemos reescrever o sistema como segue:

6. FT no Espaço de Estados • Forma Canônica Controlável

7. FT no Espaço de Estados • Forma Canônica Observável

8. FT no Espaço de Estados Considere que o polinômio do denominador da FT acima envolve somente raízes distintas. Logo, podemos reescrever a FT como segue:

9. FT no Espaço de Estados • Forma Diagonal

10. FT no Espaço de Estados Agora, considere o caso em que o polinômido do denominador da FT acima envolve múltiplas raízes. Por exemplo, se p1=p2=p3, então ou

11. FT no Espaço de Estados • Forma Canônica Jordan

12. FT no Espaço de Estados • Exemplo 1: Considere o sistema dado por Obtenha a representação no espaço de estados nas formas canônicas controlável, observável e diagonal.

13. Controlável

14. Observável

15. Diagonal

16. FT no Espaço de Estados • Os Autovalores de uma Matriz Quadrada A, são as raízes da equação característica dada por Como exemplo, seja então

17. FT no Espaço de Estados • Diagonalização de um Matriz Quadrada Se uma matriz quadrada A com autovalores distintos é dada por

18. FT no Espaço de Estados • Diagonalização de um Matriz Quadrada Então, a transformação x=Pz, onde Transformará A em uma matriz diagonal dada por D=P-1AP.

19. FT no Espaço de Estados • Diagonalização de um Matriz Quadrada Isto é

20. FT no Espaço de Estados • Diagonalização de um Matriz Quadrada Se a matriz quadrada A envolve autovalores múltiplus, então a diagonalização é impossível. Por exemplo, Resulta na forma canônica de jordan.

21. FT no Espaço de Estados • Exemplo 2: Considere a seguinte representação no espaço de estados onde

22. FT no Espaço de Estados Então, os autovalores de A são Logo, os autovalores são todos distintos! Se definirmos um conjunto das nova variáveis de estado z1, z2 e z3 pela transformação onde

23. FT no Espaço de Estados Então em resulta em:

24. FT no Espaço de Estados ou

25. FT no Espaço de Estados ou ainda

26. FT no Espaço de Estados Da mesma forma em resulta em:

27. FT no Espaço de Estados • Invariancia dos Autovalores: Para provar a invariancia dos autovalores sob uma transformação linear, precisamos mostrar que os polinômios característicos • são idênticos. Sabendo que o determinante de um produto é o produto dos determinantes, temos que: Logo, os autovalores foram mantidos após a transformação linear!

28. FT no Espaço de Estados • Transformação de modelos usando o Matlab:

29. FT no Espaço de Estados • Transformação de modelos usando o Matlab:

30. FT no Espaço de Estados • Transformação de modelos usando o Matlab:

31. Equações Invariantes no Tempo • O objetivo agora é obter a solução geral da equação de estado linear e invariante no tempo. • Primeiro consideraremos o caso homogêneo e depois o não homogêneo. Equação homogênea: seja Supondo uma solução do tipo Que substituida na equação acima fica como segue: Logo,

32. Equações Invariantes no Tempo Coeficientes: Solução homogênea: Série de Taylor

33. Equações Invariantes no Tempo Considerando agora a equação vetorial-matricial Análogo ao caso escalar, supomos a seguinte solução: Que substituída na equação vetorial-matricial, leva a De modo que

34. Equações Invariantes no Tempo Coeficientes Solução homogênea Matriz exponecial: cada elemento da matriz é uma série de Taylor.

35. Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.

36. Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares. Prova:

37. Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares. Em particular, se s=-t, então O que prova que a inversa de eAté e-At. Uma vez que a inversa de eAtsempre existe, então a matriz exponencial é não singular.

38. Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.

39. Equações Invariantes no Tempo Transformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas: Seja Cuja transformada de laplace é Cuja transformada inversa de laplace aplicada à última equação resulta em

40. Equações Invariantes no Tempo Transformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas: Aplicando a mesma abordagem à equação vetorial-matricial Com transformada de laplace resultando em Cuja transformada inversa de laplace resulta em

41. Equações Invariantes no Tempo Matriz de Transição de Estado: considerando a equação de estado Podemos escrever a solução homogênea como Onde a matriz de transição de estados Φ(t) é uma matriz quadrada com as mesmas dimensões de A, sendo a solução de: e

42. Equações Invariantes no Tempo Matriz de Transição de Estado: Como e , então: Observe que Se todos os autovalores de A são distintos, então

43. Equações Invariantes no Tempo Matriz de Transição de Estado: Se todos os autovalores de A são distintos, então Se A possui algum autovalor com multiplicidade como, por exemplo

44. Equações Invariantes no Tempo Propriedades das Matrizes de Transição de Estado:

45. Equações Invariantes no Tempo Exemplo: Obtenha a matriz de transição de estado, e sua inversa, do seguinte sistema Solução:

46. Equações Invariantes no Tempo Solução:

47. Equações Invariantes no Tempo Solução:

48. Equações Invariantes no Tempo Solução: Como Φ-1(t)= Φ(-t), então

49. Equações Invariantes no Tempo Solução das equações de estado não homogêneas: Seja , o qual podemos reescrever como Multiplicando ambos os lados por e-At, temos Integrando no intervalo de 0 a t, temos

50. Equações Invariantes no Tempo Solução das equações de estado não homogêneas: Resposta à condição inicial Resposta à entrada u(t)