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DIAMO I NUMERI CON EULERO

DIAMO I NUMERI CON EULERO. Renato Betti Politecnico di Milano. “L’amore degli uomini per i numeri forse è più antico della teoria dei numeri”. (A. Weyl). Pristem & Polymath Scuola di Idro 13 settembre 2008. 4) Matematica di Euclide Matematica dell'abaco. 1) Contenuto = Numeri

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DIAMO I NUMERI CON EULERO

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Presentation Transcript

  1. DIAMO I NUMERI CON EULERO Renato Betti Politecnico di Milano “L’amore degli uomini per i numeri forse è più antico della teoria dei numeri”. (A. Weyl) Pristem & Polymath Scuola di Idro 13 settembre 2008

  2. 4) Matematica di Euclide Matematica dell'abaco 1) Contenuto = Numeri Il termine “teoria dei numeri” fa la prima comparsa in E279 (De resolutione formularum quadricarum indeterminarum per numeros integros), pubblicato nel 1764. 2) Metodo = Tensione al risultato / rigore 3) La matematica che serve? E quanti soldi occorre pagare per liberarsi da chi vuole imparare solo la matematica che serve? 5) Continuità e generalità La costruzione di una rete di proprietà

  3. Piccolo teorema di Fermat: Fermat studiava i numeri perfetti attraverso i numeri primi della forma 2m -1 (primi di Mersenne) e le proprietà dei coefficienti binomiali Eulero e la matematica che serve Dal piccolo teorema di Fermat (1640) al teorema di Eulero-Fermat (E271, Theoremata arithmetica nova metodo demonstrata, 1758).

  4. Numeri perfetti “Proprietà magiche o mistiche dei numeri ricorrono in molte culture. In qualche modo, nell’antica Grecia, o anche prima, l’idea di perfezione fu associata a quegli interi che sono uguali alla somma dei propri divisori”. (A. Weyl) Euclide (IX,36) dimostra che i numeri della forma 2m–1(2m –1), con 2m –1 primo, sono perfetti Eulero (1756), dimostra che i numeri di questa forma sono tutti i numeri perfetti pari Non si conoscono numeri perfetti dispari (ma se ne esistono devono essere > 10300

  5. La dimostrazione del piccolo teorema di Fermat segue subito osservando che i coefficienti binomiali sono divisibili per p esattamente quando p è primo (k = 1, 2,…,p). Infatti: è divisibile per 2p

  6. Eulero 1750(E134, Theoremata circa divisores numerorum)basata sulla proprietà: Eulero 1763 (E271, Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata) generalizza p–1 a φ(n): Prime dimostrazioni del piccolo teorema di Fermat Eulero 1741(E54, Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio) per induzione su a

  7. F0 = 3 F1 = 5 F2 = 17 F3 = 257 F4 = 65.537 Matematica di Euclide/Matematica dell'abaco Nel 1729 Goldbach comunica ad Eulero la congettura di Fermat

  8. Eulero1732 (E26, Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus): Eulero 1747 (E134, Theoremata circa divisores numerorum): ha divisori primi solo della forma2m+1·h + 1 ha solo divisori primi della forma 26 ·h + 1 Ma F5 e divisibile per 641

  9. Bastano cinque tentativi per trovare il divisore primo 641 di F5. Niente è più bello di ciò che è vero (H. Minkowski) Occorre rivalutare i fenomeni matematici!

  10. Continuità e generalità “La matematica non deve essere nella mente come un peso portato dall’esterno, ma come un’abitudine del pensiero”. (P.A. Florenskij) '600 Fermat '700 Eulero '800 Gauss . . . Secondo Condorcet: pranza con gli allievi discute il fenomeno Montgolfier (idrodinamica) calcola (con Lexell) l'orbita di Urano cessa di vivere e di calcolare Cosa ha fatto Eulero il 18 settembre 1783?

  11. La formula del prodotto Eulero 1744 (E72, Variae observationes circa series infinitas): Teorema 8. Se usiamo la serie dei numeri primi per formare l’espressione allora il suo valore è uguale alla somma della serie In simboli:

  12. (?!) Come dire Teorema 7. “Il prodotto esteso all'infinito della frazione in cui i numeratori sono numeri primi e superano diun'unita i denominatori, uguaglia la somma della serie infinita ed entrambe le somme sono infinite”. Ma….

  13. Nel nostro linguaggio: Dim.

  14. Viene posto nel 1644 da Pietro Mengoli: Nel 1730 il “Methodus differentialis” di James Stirling fornisce l’approssimazione: Eulero dimostra: [tre dimostrazioni in E41, De summis serierum reciprocarum (1735), una quarta in E63, Demonstration de la somme de cette suite 1+1/4+1/9+1/16+… (1743)] Il problema di Basilea

  15. Dim. La funzione ha gli zeri Se allora Per analogia: implica

  16. La ζdi Riemann Il problema di Basilea corrisponde a: In E41, De summis serierum reciprocarum (1735), Eulero calcola la somma ζ (s) per ogni s= 2n pari.

  17. L'infinità dei primi Prima dimostrazione in Euclide (IX,20) Eulero, E72, Variae observationes circa series infinitas (1744): Inoltre: “La serie degli inversi dei numeri primi è infinitamente minore della serie armonica” “il valore della serie armonica è uguale al logaritmo di infinito” “La prima somma è quasi il logaritmo della seconda”

  18. In simboli: Questo anticipa il “teorema dei numeri primi”, congetturato da Gauss nel 1793, da Legendre nel 1798 e dimostrato nel 1896 sia da Hadamard che da La Vallée Poussin.

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