Einige Beispiele zur Mathematik unserer Zeit

1. EinigeBeispielezurMathematikunsererZeit Christoph Thiele Bonn, 4. Dezember 2013

2. EineGleichung

3. Satz des Pythagoras

4. Beweis

5. EineweitereGleichung? ???????????

6. Kannnichtsein. Leonhard Euler (1770): Es gibtkeinepositivenganzenZahlenx,y,zmit

7. Behauptung von Fermat Pierre de Fermat (1640): Wennn>2, danngibteskeinepositivenganzenZahlenx,y,zmit “IchhabehierfüreinenwahrhaftwunderbarenBeweisgefunden, dochistder Rand hierzuschmal, um ihnzufassen.”

8. BeweisderBehauptung von Fermat ElliptischeKurven “=“ Modulformen • 1955 Tanyama,Shimura • 1985 Frey • 1993 Wiles • 1993 Taylor,Wiles • und vielemehr……

9. BemerkungenzumSatz von Fermat • Hätte Fermat den modernenBeweisgekannt, hätteerwohlseinWissenüberelliptischeKurven und Modulformenmitgeteilt. • Die MathematikimBeweis des Satzes von Fermat hat Anwendungen in anderenBereichengefunden, z. B. elliptischeKurvenfindenVerwendung in derKryptographie

10. Restklassen. Rechnen, ohnedassZahlengröβerwerden

11. SchnellesPotenzieren

12. LangsamesLogarithmieren Versucht man umgekehrtherauszufinden, welchePotenz von xgleicheinemvorgegebenenyist, so kennt man beiRestklassenkeineMethode, die wesentlichschnellerwäre, alsallePotenzeneinzelndurchzuprobieren.

13. EinfachesKryptographischesProtokoll Alice hat einegeheimeZahlnmiteiner Million Stellen. Sieberechnetx^n in Restklassenarithmetikmit 1 Million Stellen, das istdurchschnellesPotenzierenmit PC kein Problem. Siesetztx und x^n auf ihre homepage. Niemandkannnberechnen, die Zeitfür die benötigten 2^1000000 Rechenschritteistselbst auf Supercomputernzu lang. nbleibtgeheim.

14. ZweifachesProtokoll Bob nimmtdasselbex und verfährtgleich. Alice und Bob habendanneingemeinsames Geheimnis, ohneGeheiminformationzusenden. Alice’s Geheimnisn, öffentlichx, x^n Bob’s Geheimnism, öffentlichx,x^m Alice nimmt Bob’s x^m und berechnet (x^m)^n Bob nimmt Alice’s x^n und berechnet (x^n)^m

15. SichereKodierung Sofern Alice ihrGeheimnisnnichtpreisgibt und Bob mnichtpreisgibt, kannniemandanderesx^(nm) berechnen. Alice brauchtdabeimnicht und Bob brauchtnnicht, eswirdkeineGeheiminformationausgetauscht. Alice möchte Bob einegeheimeNachrichtsenden, zumBeispieleineZahlymit 1 Million stellen. Siesetzty+x^(nm) auf ihre homepage.

16. BemerkungenzuDiffie-Hellman • KerckhoffPrinzip: DerAlgorithmusistöffentlich, nur die Schlüsseln und msindgeheim. • Schwierigkeit des LogarithmusproblemsistErfahrung, abernichtbewiesen. • Fürbestimmten,mist das Verfahrenschlecht, bessermitRestklassennachPrimzahlen, oderRechenoperationen auf elliptischenKurven • BeihäufigerAnwendung des VerfahrenskönnenstatistischeErwägungenein Problem sein. Man möchtedass Code wieZufallszahlenerscheint.

17. Clay Millennium Probleme • Vermutung von Birch-Swinnerton-Dyer • Vermutung von Hodge • Navier-Stokes Gleichungen • P-NP Problem • Vermutung von Poincaré (Perelman 2002) • Vermutung von Riemann • Yang-Mills Gleichungen

18. KenntnisfreieBeweise Beispiel: JedesMitgliedeinergroβenGemeindemachteineSpende, aberkeinMitgliedmöchte, dassirgendjemandanderesalsderPfarrer den BetragderSpendekennt. DerPfarrersoll die GesamtsummederSpendenfür die RenovierungderKircheverwenden. DerfürRenovierungverwendeteBetragwirdöffentlich. Wieprüft die Gemeinde, daβdieserBetraggleichderSummederSpendenist?

19. Zufallsprojektionen JedesMitgliedschreibt seine Spendexals x=y+z Mitirgendwelcheny, z, die negativseinkönnen, so dass man nichtdurchGröβenvergleich von y,z auf xschlieβenkann. DerPfarrerbekommtallex,y,z und berechnet die Summen X,Y,Z dieserWerte, es gilt X=Y+Z

20. Zufallsverifikation DerPfarrerverkündet die Summen X,Y,Z. Die Gemeindewähltdann per Münzwurf (Zufall) entweder Y oder Z aus, sagenwir Y. Dannwerdenalleeinzelnenyveröffentlicht und die Angabe Y wirdüberprüft. WennderPfarrerbei X betrügen will, muss erwegenX=Y+Z wenigstenseinederZahlen Y,Z falschangeben. Er hat danneine Chance von 50 Prozent, entdecktzuwerden.

21. Bemerkungen Die SpendenderMitgliederbleibengeheim, da man nicht vonyaufxschlieβenkann. Die Entdeckungswahrscheinlichkeitlässtsichbeliebigverbessern, indemjedesMitgliedlängereSummenwählt x=a+b+c+d+e+….+z und alleTeilsummen A,B,C,D,E,…,Z bis auf einezufälliggewähltegeprüftwerden.

22. Testen von Primzahlen In derKryptographieverwendet man groβePrimzahlen. Das sindZahlen, die nurdurch 1 und durchsichselbstteilbarsind, z.B. 2,3,5,7,11,...,2^43112609-1,… Man findetsolcheZahlen, indem man genügendvielemehroderwenigerzufälligeKandidatenauswählt und auf Primheittestet. Wietestet man Primheit? AllemöglichenTeilerzuprobierenistzuaufwendig.

23. KleinerSatz von Fermat Fermat (1640): IstpeinePrimzahl, so hat fürjedeZahlx die Potenzx^pnach Division durchp den Rest x. Um PrimheiteinerZahlpzutesten, wählt man mehroderwenigerzufälligeinigex, und testetfürdiesemitschnellerPotenzierung ob die Aussage des kleinenSatzes von Fermat gilt. Wennja, dannistpwahrscheinlich prim.

24. BemerkungenPrimzahltest KonzepteinerIndustriestandard-Primzahl Agrawal-Kayal-Saxena (2002) DeterministischerPrimzahltest in polynomialer (nicht-exponentieller) Zeit. Imwesentlichen eineVerfeinerung des Zufallstestes, durchAuswahleinigerwenigerbesondererZeugenx.

25. Primzahlverteilung Quasi zufällig: RiemannscheVermutung. Dichteetwac/N imBereich von 0 bis 2^N

26. Primzahlzwillinge • (3,5)….(227,229)….(641,643)… • GibtesunendlichvielesolchePaare? • FürzufälligeZahlenmengenmitdergleichenDichtewie die PrimzahlengibtesunendlichvielePaaremit 100 ProzentWahrscheinlichkeit. • Zhang (2013): Es gibtunendlichvielePrimzahlpaaremitAbstandhöchstens 70.000.000 • Polymath (2013): Abstandverbessert, einigeTausend • Engelsma(28. November 2013): 576=24^2

27. Quadratzahlen X^2

28. Summe von Primzahlen • Legendre/Gauβ (1800): Jede positive ganzeZahlkannalsSumme von vierQuadratzahlengeschriebenwerden. • Tao (2012): JedeungeradeZahl >1 kannalsSumme von höchstensfünfPrimzahlengeschriebenwerden • Helfgott (2013): GleichesmitdreiPrimzahlen (Computerbeweisbis 10^30) • Goldbachvermutung (1742): JedegeradeZahlistSumme von höchstenszweiPrimzahlen.

29. ArithmetischeProgressionen ZahlenprogressionenmitkonstanterSchrittweite • 2,4,6,8,10 • 7,10,13 • 5,11,17,23,29 Green/Tao (2005): Es gibtsehr (beliebig) langearithmetischeProgressionen von Primzahlen Es wirdvermutet, daβ dies fürjedeZahlenmengemitderDichtederPrimzahlen gilt.

30. GewichtetesZählen von kurzenarithmetischenProgressionen • DreiZahlenmengenmit je N Elementen • Lacey/T. (1996):

31. Bemerkungen Zählt man die Gewichteallepositiv, hat man nur die sehreinfachzuzeigendeAbschätzung DerSatzzeigteine Balance hat zwischenpositiv und negativgezähltenarithmetischenProgressionen. Entfernen des Logarithmusistinteressant, da die neueAbschätzungSkalierungssymmetrie hat.

32. Zählen von Ecken in derEbene • DreiPunktemengenmit je N Elementen • Vermutung:

33. UCLA Math Circle