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MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema 11 * PROBABILIDADES. PROBABILIDAD COMPUESTA. Tema 11.3 * 2º B CS. Probabilidad CONDICIONADA.

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MATEMÁTICAS A. CS II

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  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES Matemáticas 2º Bachillerato CS

  2. PROBABILIDAD COMPUESTA Tema 11.3 * 2º B CS Matemáticas 2º Bachillerato CS

  3. Probabilidad CONDICIONADA • La probabilidad de un suceso A puede verse modificada si ha ocurrido previamente otro B. Para recoger esta influencia entre los sucesos se define la probabilidad de A condicionada por B, y se escribe P(A/B). • Así, en el lanzamiento de dos dados, si se sabe que se han sacado puntuaciones pares (suceso B), la probabilidad de que ambas sean iguales (suceso A) se obtiene teniendo en cuenta que ahora son 9 los casos posibles y 3 los favorables, o sea: • P(A/B) = Pares e iguales / Pares = 3 / 9 = 1 / 3 • Definiéndose en general la probabilidad condicionada de un suceso A por otro B como el cociente: • P(A ∩ B) • P(A/B) = --------------  P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) • P(B) • Siempre que P(B)<>0 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  4. Ejemplo 1 • En un IES el 35% son varones y el 65% restante mujeres. De los varones, el 25% estudia ESO y el resto Bachillerato. De las mujeres, el 55% estudia ESO y el resto Bachillerato. Se elige un alumno al azar. • a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y estudie Bachillerato?. • b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón y estudie ESO?. • Tenemos: • P(V) = 35% = 35/100 = 0,35 V M • P(M) = 65% = 65/100 = 0,65 • P(E/V) = 25% = 25/100 = 0,25 E 8,75% 35,75% • P(B/V) = 75% = 75/100 = 0,75 • P(E/M) = 55% = 55/100 = 0,55 B 26,25% 29,25% • P(B/M) = 45% = 45/100 = 0,45 • a) P(M ∩ B) = P(M). P(B/M) = 0,65.0,45 = 0,2925 • b) P(V ∩ E) = P(V). P(E/V) = 0,35.0,25 = 0,0875 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  5. Ejemplo 2 • En una fiesta de cumpleaños el 20 % son adultos (A), el 30% son niños (V) y el resto niñas (M) . El 5%, 10 % y 25% respectivamente tienen el color de cabello rubio. Se elige una persona al azar. • a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea adulto rubio?. • b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un niño no rubio?. • c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una niña rubia?. • Resolución: • Probabilidades simples Probabilidades condicionadas • P(A) = 20% = 20 / 100 = 0,20  P(R/A)= 5% = 0,05 •  P(R¯/A) = 95% =0,95 • P(V) = 30% = 30 / 100 = 0,30  P(R/V)= 10% = 0,10 • P(R¯/V) = 90% =0,90 • P(M) = 50% = 50 /100 = 0,50  P(R/M)= 25% = 0,25 • P(R¯/M) = 75% =0,75 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  6. Resolución: • a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea adulto rubio?. • P(A ∩ R) = P(A). P(R/A) = 0,20.0,05 = 0,01 • b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un niño no rubio?. • P(V ∩ R¯) = P(V). P(R¯ /V) = 0,30.0,90 = 0,27 • c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una niña rubia?. • P(M ∩ R) = P(M). P(R/M) = 0,50.0,25 = 0,125 • Si en lugar de porcentajes nos hubieran dado los cardinales, no hubiera hecho falta aplicar la probabilidad condicionada. • Veamos los resultados tabulados: • A V M • R 1% 3% 12,5% • R¯ 19% 27% 37,5% • Podemos completar la tabla de resultados sin necesidad de calcular las probabilidades: 20 – 1 =19 ; 30 – 27 = 3 ; 50 – 12,5 = 37,5 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  7. PROBABILIDAD COMPUESTA • Dos o más experiencias son independientes cuando el resultado de una de ellas no dependen del resultado de las demás. • Ejemplos: • Lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, extracciones con reemplazamiento. • Dos o más experiencias son dependientes cuando el resultado de una de ellas influye en el resultado de las demás. En este caso debemos hablar de probabilidad CONDICIONADA. • Ejemplos: • Extraer dos cartas de una baraja sin reemplazamiento, extraer dos bolas de una urna sin reemplazamiento, extraer una carta de una baraja y luego una bola de la urna A o de la B según sea la carta extraída. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  8. Ejemplo 1 • Al lanzar una moneda al aire y luego un dado, obtengamos Cara y un 5. • P(C ∩ 5) = P(C).P(5) = (1/2).(1/6) = 1/12 = 0,0833 • Puesto que el resultado del dado no depende del resultado de la moneda. • Ejemplo 2 • Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de la otra. Hallar la probabilidad de las dos sean negras. • Sea A=“Obtener una bola negra en la primera extracción” • Sea B=“Obtener una bola negra en la segunda extracción” • 2 1 2 1 • P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) = -------- ------- = --- --- = 2/20 =1/10 = 0,10 • 2+3 1+3 5 4 • En la segunda extracción, al suponer que ha resultado negra la primera bola, sólo tenemos una bola negra de las cuatro que quedan. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  9. Ejemplo 3 • Se lanza al aire dos monedas. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?. • ¿Y de obtener una cara y una cruz?. • Espacio muestral: E={CC, CX, XC, XX} , vemos que se pueden producir cuatro sucesos o fenómenos. • P(CC) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 • También: P(C∩C)=P(C).P(C)=0,5.0,5 = 0,25 • P(XX) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 • También: P(X∩X)=P(X).P(X)=0,5.0,5 = 0,25 • P(CCUXX) = Sf/Sp = 2/4 = 0,5 • También: P(CCUXX)=P(CC)+P(XX)=0,25+0,25 = 0,5 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  10. Ejemplo 4 • Se lanza al aire dos dados exagonales. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un doce?. • ¿Y de obtener un doble? • ¿Y de obtener un 7 como suma? • ¿Y de no obtener un 4? • Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} • P(S=12) = Sf/Sp = 1/36 = 0,0277 • P(Doble) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 • P(S=7) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 • _ • P(S=4 ) = 1 – P(S=4) = 1 – 3/36 = 1 – 0,0833 = • = 0,9167 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  11. Ejemplo 5 • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. • Se extraen dos bolas al azar sin reinserción. • ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. • ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? • ¿Y de que una sea A y otra N?. • Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} • P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9 . 4/8= 8/72 = 1/9 = 0,1111 • Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. • P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9 . 3/8= 9/72 = 1/8 = 0,125 • Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. • P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = • = 3/9 . 4/8 + 4/9 . 3/8= 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3 = 0,3333 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  12. Ejemplo 6 • En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. • Se extraen tres bolas al azar y sin reinserción. • a)¿Cuál es la p. de que resulten en este orden: R  B  V?. • b)¿Cuál es la p. de que las dos primeras sean B y la tercera R?. • c)¿Cuál es la p. de que todas sean N?. • d)¿Cuál es la p. de que ninguna sea Roja?. • Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} • a) • P(R∩B∩V) = P(R).P(B).P(V) = 2/20 . 5/19 . 10/18 = 0,01462 • b) • P(B∩B∩R) = P(B).P(B).P(R) = 5/20 . 4/19 . 2/18 = 0,005848 • c) • P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = 3/20 . 2/19 . 1/18 = 0,000874 • d)_ _ _ _ _ _ • P(R∩R∩R) = P(R).P(R).P(R) = 18/20 . 17/19 . 16/18 = 0,7158 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  13. Ejemplo 7 • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. • Se extraen dos bolas al azar con reinserción. • ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. • ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? • ¿Y de que una sea A y otra N?. • Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} • P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9 . 4/9= 8/81 = 0,09876 • Nota: Al extraer la segunda bola se ha devuelto la primera a la urna. • P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9 . 3/9= 9/81 = 1/9 = 0,1111 • P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = • = 3/9 . 4/9+ 4/9 . 3/9= 12/81 + 12/81 = 24/81 = 8/27 = 0,2963 Matemáticas 2º Bachillerato CS

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