Modelagem Estatística

Modelagem Estatística Testes de Hipóteses

População Conjectura (hipótese) sobre o comportamento de variáveis Amostra Resultados reais obtidos Testes de Hipóteses Decisão sobre a admissibilidade da hipótese

Exemplos de Hipóteses • A propaganda produz um efeito positivo nas vendas. • Um método de treinamento tende a aumentar a produtividade dos funcionários. • Dois métodos de treinamento produzem resultados diferentes.

Hipóteses de um Teste • Ho - Hipótese Nula • H1 - Hipótese Alternativa

Hipóteses de um Teste • Ho - Hipótese Nula- hipótese que será suposta inicialmente como verdadeira. • É, basicamente, a negação do que o pesquisador deseja provar.

Hipóteses de um Teste • H1 - Hipótese Alternativa- hipótese que será aceita, se os dados mostrarem evidências suficientes para a rejeição da hipótese nula. • Geralmente, é a própria hipótese da pesquisa.

Exemplo Ho: Em média, as vendas não aumentam com a introdução da propaganda. H1: Em média, as vendas aumentam com a introdução da propaganda. Ho: Em média, a produtividade não cresce com o treinamento. H1: Em média, a produtividade cresce com o treinamento.

Exemplo • Suspeita-se que uma moeda, utilizada em jogo de azar, seja viciada, isto é, que a probabilidade de sair “cara” seja diferente de 50%.

Hipóteses Ho: p = 0,5(a probabilidade é 50%) H1: p = 0,5(a probabilidade não é 50%) p - probabilidade de cara.

Amostra • Para se tomar a decisão de se aceitar, ou não, que a moeda seja honesta, tomou-se uma amostra com 10 lançamentos e observou-se o número de caras. (variável X - estatística do teste).

ValorEsperado • Qual é o valor esperado para o número de caras (variável X - estatística do teste) se a probabilidade for realmente 50%? 5 caras

Resultado da amostra • Valor esperado se a probabilidade for realmente 50%: 5 caras. • Situação 1: Valor obtido: X = 10 caras. Qual seria a conclusão? • Situação 2: Valor obtido: X = 7 caras. Qual seria a conclusão?

Valor esperado se Ho for verdadeira Valor observado na amostra ocorreu por acaso? (Ho verdadeira) Desvio Observado Desvio ocorreu porque Ho é falsa ?

Distribuição de Referência • Todo teste está associado a uma distribuição de probabilidades, usada para se verificar a adequação de Ho com o resultado observado na amostra. • No exemplo da moeda, a distribuição é binomial (n=10 ep=0,5).

Exemplo 0.246 • Distribuição (n=10, p=0,5). 0.205 0.205 0.117 0.117 0.044 0.044 0.01 0.01 0.001 0.001 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Probabilidade de Significância (ps) • Probabilidade da estatística do teste acusar um resultado tão (ou mais) distante do esperado quanto o resultado ocorrido na amostra observada. • Pode ser compreendida como a probabili-dade do desvio observado ter ocorrido por acaso se a hipótese nula for verdadeira.

Valor esperado se Ho for verdadeira Valor observado na amostra ocorreu por acaso? (Ho verdadeira) Desvio Observado Desvio ocorreu porque Ho é falsa ?

Situação 1 • A amostra apresentou 10 caras. • Sep = 0,5, a probabilidade da amostra apresentar X = 10 (ou X=0) caras é:

Situação 1 0.246 0.205 0.205 0.117 0.117 0.044 0.044 0.01 0.01 0.001 0.001 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ps = 0,002 ou 0,2%

Conclusão... • ps = 0,2% (probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso) • Qual seria a conclusão? • Rejeita-se Ho, ou seja, não se admite que o desvio tenha ocorrido por acaso.

Situação 2 • A amostra apresentou 7 caras. • Sep = 0,5, a probabilidade da amostra apresentar X = 7 ou mais (ou X=3 ou menos) caras é:

Situação 2 0.246 0.205 0.205 0.117 0.117 0.044 0.044 0.01 0.010 0.001 0.001 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ps = 0,344 ou 34,4%

Conclusão... • ps = 34,4% (probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso) • Qual seria a conclusão? • Aceita-se Ho,ou seja, não se pode afirmar que o desvio não tenha ocorrido por acaso.

Decisão • Se a probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso for considerável (ps alta), não há evidências para se rejeitar Ho. Aceita-se Ho. • Quando a probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso for considerada pequena (ps baixa), há evidências para a rejeição de Ho. Rejeita-se Ho.

Nível de Significância () • O nível de significância () é o limite para a probabilidade de significância a partir do qual se passa a rejeitar a hipótese nula do teste. • Representa a probabilidade tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira. • Os valores mais comuns para o nível de significância são 5%, 10% e 1%.

A hipótese nula pode ou não ser impugnada pelos resultados de um experimento. Ela nunca pode ser provada, mas pode ser desaprovada no curso da experimentação. R. A. Fisher

Exercício 1 • Exercícios 1, 2 e 4, pg. 208.

Testes Bilaterais • O teste bilateral é empregado quando se deseja detectar variações no parâmetro, tanto para mais quanto para menos. • Num teste bilateral, a hipótese alternativa (H1) diz que o parâmetro é diferente do valor estipulado na hipótese nula.

Testes Bilaterais • No exemplo discutido, o teste é bilateral, pois se deseja detectar variações na probabilidade de sair cara tanto para mais quanto para menos, isto é, rejeita-se Ho quando se achar que a probabilidade de sair cara é diferente de 50%.

Testes Bilaterais HIPÓTESES Ho: p = 0,5 H1: p = 0,5

Testes Bilaterais • A probabilidade de significância é calculada assim: ps / 2 ps / 2 X

Testes Unilaterais • O teste unilateral é empregado quando se deseja detectar se um padrão mínimofoi atingido (unilateral à esquerda) ou se um limite máximonão foi excedido (unilateral à direita).

Testes Unilaterais • Num teste unilateral, a hipótese alternativa (H1) diz que o parâmetro é maior(unilateral à direita) ou menor (unilateral à esquerda) do que o valor estipulado na hipótese nula.

Testes Unilaterais • No exemplo discutido, caso se desejasse testar apenas a possibilidade da probabilidade de cara ser maior que 50%, ter-se-ia um teste unilateral à direita. A rejeição de Ho dar-se-ia somente quando se achasse que a probabilidade fosse maior que 0,5.

Testes Unilaterais HIPÓTESES (unilateral à direita) Ho: p = 0,5 H1: p > 0,5

Testes Unilaterais • A probabilidade de significância seria calculada assim: ps X

Testes Unilaterais • No exemplo discutido, caso se desejasse testar apenas a possibilidade da probabilidade ser menor que 50%, ter-se-ia um teste unilateral à esquerda. A rejeição de Ho dar-se-ia somente quando se achasse que a probabilidade fosse menor que 0,5.

Testes Unilaterais HIPÓTESES (unilateral à esquerda) Ho: p = 0,5 H1: p < 0,5

Testes Unilaterais • A probabilidade de significância seria calculada assim: ps X

Exercício • Para cada um dos exemplos de hipóteses a seguir, indique qual abordagem (unilateral ou bilateral) é a mais adequada.

Exercício • A propaganda produz um efeito positivo nas vendas. • Um método de treinamento tende a aumentar a produtividade dos funcionários. • Dois métodos de treinamento tendem a produzir resultados diferentes na produtividade.

Exercício 2 • Exercícios 8, 10 e 11, pg 211.

TestesO que é preciso saber? • Hipóteses (para que serve o teste?) • Estatística do Teste (qual é a variável aleatória que é utilizada?) • Distribuição de Referência (qual modelo probabilístico deve ser empregado?)

Teste para a Proporção • Hipótese nula: Ho: p = po • Distribuição de referência: Normal (válido quando a amostra for grande). • Estatística:

Teste para a Proporção • Estatística: y’ = y – 0,5 se y > n.p0; ou y’ = y + 0,5 se y < n.p0 (correção de continuidade)

(X -  n t = S Teste paraa Média • Hipótese nula: Ho:  =  • Distribuição de referência: t de Student, com (n-1) graus de liberdade (válido quando a amostra for grande ou a população tiver distribuição normal). • Estatística:

(X -  n t = S X - média observada na amostra S - desvio padrão da amostra o - média considerada na hipótese nula n - tamanho da amostra Teste paraa Média • Estatística:

Realidade H verdadeira falsa H o o E r r o D e c i s ã o Aceitar T i p o II H o  ( ) E r r o Rejeitar T i p o I H o ( )  Tipos de Erros O K O K

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