Applicazione

1. Nel momento in cui il semaforo volge al verde , un’auto parte con accelerazione costante a=2.2 m/s2. Nello stesso istante un autocarro che sopravviene alla velocità costante di 9.5 m/s sorpassa l’auto. a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion? b) Quale sarà la velocità dell’auto in quel momento? Applicazione C A O x a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion? Iniziamo a contare il tempo a partire dal momento in cui il semaforo diventa verde (t=0s). Introduciamo un asse di riferimento lungo la strada rettilinea. Fissiamo l’origine nel punto in cui è ferma l’automobile in attesa del verde. Orientiamo l’asse nel verso del moto del camion e dell’automobile. Con queste scelte le condizioni iniziali sono: Auto xAo=0 m vAox=0 m/s aAox=2.2 m/s2 Camion xCo=0 m vCox=9.5 m/s aCox=0 m/s2 Le rispettive leggi orarie diventano: G.M. - Edile A 2002/03

2. Ci sarà il risorpasso dell’auto quando le posizioni dell’auto e del camion saranno nuovamente uguali. Applicazione Calcoliamo l’istante di tempo quando questa situazione si verifica: t1 corrisponde all’istante in cui il camion sorpassa l’auto ferma, anche in quel caso infatti le posizioni dei due veicoli coincidevano. L’istante del risorpasso sarà t2. La velocità dell’auto in quell’istante sarà: G.M. - Edile A 2002/03

3. La posizione in cui avviene il risorpasso, la possiamo calcolare con una delle due leggi orarie: Applicazione La velocità dell’auto in quell’istante sarà: G.M. - Edile A 2002/03

4. Dall’ugello della doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari. La quarta goccia si stacca nel momento in cui la prima arriva la suolo. Trovare le posizioni della seconda e terza goccia in quell’istante. Applicazione • Ogni quanto tempo cade una goccia? • Nel tempo impiegato da una goccia a percorre i 2 metri di dislivello ne sono cadute 3 (sono trascorsi 3 intervalli). • E’ essenziale capire quanto tempo una goccia impiega a percorrere i 2 metri tra l’ugello e il fondo. • Studiamo il moto di una goccia: • il moto è uniformemente accelerato, accelerazione di gravità. • Facciamo partire il cronometro nell’istante in cui la goccia si stacca dall’ugello. • Fissiamo un asse di riferimento verticale, orientato verso l’alto, con l’origine sul fondo. • Con questa scelte le condizioni iniziali sono: • xo=2m • vxo=0m/s • axo=-g=-9.81m/s2 l’accelerazione di gravità è diretta verso il basso G.M. - Edile A 2002/03

5. Applicazione L’istante tf in cui la goccia tocca il fondo si può calcolare imponendo che la posizione in quell’istante sia nulla: • La legge oraria della goccia sarà: La durata del moto della goccia è dato da tf -ti Poiché ti è uguale a zero la durata è tf =.63s L’intervallo tra una goccia e la successiva è un terzo di questo valore Dt=.21s Per sapere dove si trovano le gocce due e tre nel momento in cui la prima tocca il fondo, basterà calcolare dove si trovava la goccia 1 dopo un Dt e dopo due Dt. G.M. - Edile A 2002/03

6. Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il contatto. Applicazione • La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il basso • Poiché rimbalza verso l’alto, riparte dal suolo con una velocità diretta verso l’alto. • C’è stata quindi una variazione di velocità. C’è stata una accelerazione! • Fissiamo l’asse y di riferimento diretto l’alto, coincidente con la verticale passante per il punto di impatto, con l’origine nel punto di impatto. Occorre calcolare la velocità finale e quella iniziale sull’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. La velocità iniziale è quella con cui arriva al suolo dopo la caduta di 4 m La velocità finale è quella con cui riparte dal suolo. G.M. - Edile A 2002/03

7. Applicazione • Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) • Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono: • yo= 4.00m • voy=0m/s • aoy=-g=-9.81m/s2 • La legge oraria vale: • L’istante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che y(tf)=0 (va preso l’istante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che la palla è partita) • La velocità in quell’istante sarà: • Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da utilizzare nella formula dell’accelerazione media. G.M. - Edile A 2002/03

8. Applicazione • Per calcolare la velocità finale da usare nella formula dell’accelerazione media dobbiamo studiare il moto di risalita. • Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) • Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il cronometro nel momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni iniziali valgono: • yo= 0.00m • voy=? da determinare • aoy=-g=-9.81m/s2 • La legge oraria vale: • Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima: • Da cui: G.M. - Edile A 2002/03

9. Applicazione • Abbiamo ottenuto l’espressione della velocità in funzione dalla posizione • Il modulo della velocità a parità di posizione è lo stesso sia nel moto di risalita che in quello di discesa. • Quando la coordinata y è 2m, il punto più in alto della traiettoria, la velocità è nulla: • Possiamo ricavare voy: • Ciò che abbiamo trovato è la velocità finale relativa all’intervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. • L’accelerazione media in questo intervallo di tempo vale dunque: G.M. - Edile A 2002/03

10. Accelerazione in funzione della posizione • In alcuni casi l’accelerazione è nota in funzione della posizione del punto materiale ax(x). • Quindi non si conosce direttamente ax (t), ma la dipendenza dal tempo è nota solo attraverso la legge oraria x(t), ax (x(t)). • L a definizione di accelerazione ci dice che in ogni intervallo infinitesimo dt, il rapporto tra la variazione di velocità dvx e l’intervallo di tempo dt è proprio uguale all’accelerazione. • Indichiamo con dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto materiale nell’intervallo di tempo dt • Se il corpo non è fermo, dx sarà in generale piccolo (infinitesimo) ma diverso da zero. • Possiamo allora moltiplicare entrambi i membri dell’equazione precedente per dx G.M. - Edile A 2002/03

11. Accelerazione in funzione della posizione • Otteniamo che in ogni intervallo infinitesimo dt vale la seguente uguaglianza: • Osservando che dx/dt è la velocità vx, si ottiene: • Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi in cui abbiamo suddiviso l’intervallo di osservazione del moto, otteniamo: • Integriamo il primo membro: • La variabile di integrazione è vx • La funzione integranda è f(vx)= vx • La primitiva F(vx)= v2x/2 G.M. - Edile A 2002/03

12. Accelerazione in funzione della posizione • Pertanto: • In conclusione otteniamo: • Naturalmente per integrare il secondo membro doppiamo conoscere l’espressione di ax(x). • Esaminiamo il caso in cui l’accelerazione ax(x) è costante, ax(x)= axo. • Chiamando, come al solito, vxi=vxo, xi=xo, xf=x(t) e vxf=vx(t) • Che ci da l’espressione di v in funzione di x • Da confrontare con quanto abbiamo già trovato nel moto di caduta dei gravi. G.M. - Edile A 2002/03