UTILISATION DE LA LOI BINOMIALE POUR UNE PRISE DE D É CISION À PARTIR D'UNE FR É QUENCE

1. UTILISATION DE LA LOI BINOMIALE POUR UNE PRISE DE DÉCISION À PARTIR D'UNE FRÉQUENCE

2. 1 - Contexte de travail On considère une population statistique dans laquelle on étudie un caractère qualitatif prenant une modalité donnée dans une proportion p. On cherche des renseignements sur p.

3. 1 - Contexte de travail Recensement On peut étudier toute la population et avoir une connaissance précise de p. Mais cela peut s'avérer : • long (la valeur de p pourra avoir changé entre temps) • ou coûteux, • voire impossible lorsque l'étude est destructrice des individus.

4. 1 - Contexte de travail Statistique inférentielle On peut raisonner à partir d'un échantillon tiré au hasard dans la population. On détermine la fréquence f de la modalité dans l'échantillon, elle induit des résultats sur p avec une certaine marge d'erreur cependant.

5. 1 - Contexte de travail Statistique inférentielle Deux problèmes relèvent de la statistique inférentielle : • l'estimation (ponctuelle ou par intervalle de confiance...) • les tests (tests d'hypothèse, tests d'adéquation...).

6. 1 - Contexte de travail Exemple : • Supposons que l'on travaille sur la proportion p de bonbons à la menthe délivrés par un distributeur. • test d'hypothèse • on cherche à savoir si p = 25 % (par exemple) • estimation • on cherche à connaître la valeur de p.

7. 2 - Les programmes de Premières Programmes de Première 2011

8. 2 - Les programmes de Premières Les programmes de premières conduisent à travailler dans le cadre des tests d'hypothèse.

9. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion On émet une hypothèse sur la proportion p d'un caractère qualitatif dans une population statistique. On cherche des raisons de rejeter cette hypothèse au vu d'un échantillon tiré au hasard.

10. 1 - Contexte de travail Exemple : On travaille sur la proportion p de bonbons à la menthe délivrés par un distributeur. On cherche à savoir si p = 25 % : c'est l'hypothèse que l'on cherche à vérifier. On constitue au hasard un échantillon de 20 bonbons issus du distributeur.

11. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Si l'hypothèse émise est vraie, on connaît la distribution d'échantillonnage de la fréquence Fn du caractère étudié dans les échantillons de taille n. On connaît alors les valeurs de Fn les plus fréquemment observables. On observe la valeur f de Fn pour un échantillon.

12. 1 - Contexte de travail Exemple : On constitue au hasard et avec remise un échantillon de 20 bonbons. Si la proportion de bonbons à la menthe délivrés par le distributeur est 25 %, le nombre de bonbons à la menthe de l'échantillon se distribue selon la loi binomiale de paramètres 20 et 0,25. Ce résultat nous permet de connaître la distribution de F20.

13. 1 - Contexte de travail Exemple : Distribution de F20.

14. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion On observe la valeur f de Fn pour un échantillon. On considère que le hasard fait bien les choses et on adopte la démarche suivante : • si f ne fait pas partie des valeurs les plus fréquemment observables, on rejette l'hypothèse émise. • si f fait partie des valeurs les plus fréquemment observables, on ne rejette pas l'hypothèse émise.

15. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Cet ensemble des valeurs les plus fréquemment observables se déterminent à l'aide d'un niveau de probabilité, en général 95 %. C'est un intervalle centré en p qui contient la valeur de Fn avec une probabilité d'au moins 95 % et qui soit d'amplitude minimale : c'est l'intervalle de fluctuation de p au niveau de probabilité de 95 %.

16. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Exemple : Travaillons au niveau de probabilité de 95 %. On détermine l'intervalle centré en 0,25, d'amplitude minimale, qui contient la valeur de F20 pour un échantillon tiré au hasard avec une probabilité d'au moins 95 %.

17. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Exemple : L'intervalle [0,05 ; 0,45] contient F20 avec la probabilité d'environ 0,98.

18. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Exemple : • Règle de décision : • Si la valeur observée de F20 dans l'échantillon n'appartient pas à [0,05 ; 0,45] alors on rejette l'hypothèse que p = 25 %. • Si la valeur observée de F20 dans l'échantillon appartient à [0,05 ; 0,45] alors on ne rejette pas l'hypothèse que p = 25 %.

19. INTERVALLE DE FLUCTUATION

20. 1 - Dans le programme de Seconde 2009

21. 1 - Dans le programme de Seconde 2009

22. 1 - Dans les programmes de Première Programmes de Première 2011

23. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

24. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

25. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

26. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

27. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

28. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

29. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

30. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

31. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

32. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

33. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation p = 25 %

34. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,561 p = 25 %

35. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,807 p = 25 %

36. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,935 p = 25 %

37. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,983 p = 25 %

38. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,999 p = 25 %

39. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation En résumé :

40. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

41. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Pour l'exemple :

42. 3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Pour l'exemple :

43. PRISE DE DÉCISION

44. 1 - Application à la prise de décision Programmes de Première 2011

45. 1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : En 2000, dans le village de Xicun, en Chine, il est né 20 enfants, parmi lesquels 16 garçons. (Source : Washington Post du 29 mai 2001.) Peut-on considérer que cette répartition est le fruit du seul hasard ?

46. 1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : On veut rejeter ou non l'hypothèse que la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul hasard. On considère que la variable aléatoire "sexe à la naissance" prend les deux valeurs fille et garçon avec la même probabilité 0,5.

47. 1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : Si la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul hasard, les 20 enfants sont assimilés à un échantillon d'enfants choisis au hasard dans la population. La distribution des sexes dans un tel échantillon suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,5. L'intervalle de fluctuation de la fréquence de garçons dans l'échantillon au niveau de probabilité de 95 % est [0,3 ; 0,7].

48. 1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : La fréquence de garçons observée à Xicun est 0,8 qui n'appartient pas à [0,3 ; 0,7].

49. 1 - Application à la prise de décision

50. 1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : La fréquence de garçons observée à Xicun est 0,8 qui n'appartient pas à [0,3 ; 0,7]. On considère que la différence entre 0,8 et la valeur attendue 0,5 est significative et on rejette l'hypothèse que la répartition des sexes des enfants est due au seul hasard. On a pu, par la suite, établir un lien avec l’acquisition en 1999, dans ce village d’une machine à ultra-sons bon marché, permettant aux médecins de déterminer le sexe du fœtus.