1 / 33

Himpunan

Memahami konsep himpunan

nopret18
Télécharger la présentation

Himpunan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematika Diskritbab 2-Himpunan Himpunan Oleh : Sri Supatmi,S.Kom

  2. Himpunan (1) • Himpunan kumpulanobjek – objek yang berbeda. • Objekdidalamhimpunandisebutelemen, unsur, atauanggota. • Penyajianhimpunan : 1. Enumerasi ( menyebutkansemuaanggotahimpunan yang ada) contoh 1 : A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6,8} 2. Simbol – simbolbaku(ditulisdenganmenggunakanhurufkapital yang dicetaktebal) contoh 2: N = himpunanbilanganasli = {1,2,…} P =himpunanbilanganbulatpositif ={1,2,3,…} Z = himpunanbilanganbulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunanbilanganrasional R = himpunanbilanganriil C = himpunanbilangankompleks

  3. Himpunan(2) 3. Notasipembentukhimpunan Notasi: { xsyarat yang harusdipenuhiolehx} Aturan: • Bagiandikiritanda ‘|’ melambangkanelemenhimpunan • Tanda ‘|’ dibacadimanaatausedemikianhingga • Bagiandikanantanda’|’ menunjukkansyaratkeanggotaanhimpunan • Setiaptanda ‘,’ didalamsyaratkenaggotaandibacasebagaidan contoh 3: Aadalahhimpunanbilanganbulatpositif yang lebihkecildari5 A = { x | x adalahbilanganbulatpositiflebihkecildari 5} atauA= { x | x P, x < 5 } yang ekivalendenganA = {1, 2, 3, 4} contoh 4: M= { x | xadalahmahasiswa yang mengambilkuliah IF2151}

  4. Himpunan(2) 4. Diagram Venn Contoh 5: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn :

  5. Kardinalitas • Jumlahelemen di dalamAdisebutkardinaldarihimpunanA. • Misalkan A merupakanhimpunanberhingga,makajumlahelemenberbeda di dalam A disebutkardinaldarihimpunan A. • notasi : n(A) atau |A| • Contoh 6: a. A = {x | x merupakanbilangan prima yang lebih kecildari 20}, A={2,3,5,7,11,13,17,19},maka |A| = 8 b. B = {a, {a}, {{a}}, { }}, maka |B| = 4 c. B= { x | xmerupakanbilangan prima yang lebihkecildari21 }, atauB = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} makaB = 8 d. T= {kucing, a, Amir, 10, paku}, makaT = 5 e. A= {a, {a}, {{a}} }, makaA = 3

  6. Himpunan Kosong • Himpunan yang tidakmemilikisatupunelemenatauhimpunandengankardinal = 0. • Notasi: atau { } • Contoh 7: (i) A = {x | x > x}, maka |A| = 0 (ii) B = {x | x adalahakarpersamaandari x2 + 5x + 10= 0}, maka |B| = 0 (iii) E= { x | x < x }, makan(E) = 0 (iv) P= { orang Indonesia yang pernahkebulan }, makan(P) = 0 (v) A= {x | xadalahakarpersamaankuadratx2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 • himpunan {{ }} dapatjugaditulissebagai {} • himpunan {{ }, {{ }}} dapatjugaditulissebagai {, {}} • {} bukanhimpunankosongkarenaiamemuatsatuelemenyaituhimpunankosong.

  7. Himpunan Bagian (Subset) • Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. • B dikatakan superset dari A. • Notasi : A  B • Contoh 8: • {1, 2, 3} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} • {1, 2, 3} {1,2,3} • A = {(x,y) | x+y < 4, x≥0, y≥0} dan B = {(x,y) | 2x+y < 4, x≥0, y≥0} maka B  A • Jika A  B maka bentuk diagram venn-nya:

  8. Himpunan yang Sama • A = BjikadanhanyajikasetiapelemenAmerupakanelemenBdansebaliknyasetiapelemenBmerupakanelemenA. • A = BjikaAadalahhimpunanbagiandariBdanBadalahhimpunanbagiandariA. • Jikatidakdemikian, makaAB. • Notasi: A = BABdanBA • Contoh 9: (i) JikaA = { 0, 1 } danB = { x | x (x – 1) = 0 }, makaA = B (ii) JikaA = { 3, 5, 8, 5 } danB = {5, 3, 8 }, makaA = B (iii) JikaA = { 3, 5, 8, 5 } danB = {3, 8}, makaAB • Untuktigabuahhimpunan, A, B, danCberlakuaksiomaberikut: (a) A = A, B = B, danC = C (b) jikaA = B, makaB = A (c) jikaA = BdanB = C, makaA = C

  9. Himpunan yang Ekivalen • HimpunanAdikatakanekivalendenganhimpunanBjikadanhanyajikakardinaldarikeduahimpunantersebutsama. • Notasi : A ~ BA = B • Contoh10:MisalkanA = { 1, 3, 5, 7 } danB = { a, b, c, d }, makaA ~ BsebabA = B = 4

  10. Himpunan Saling Lepas • Duahimpunandikatakansalinglepas, jikadanhanyajikakeduanyatidakmemilikielemen yang sama. • Notasi : A // B • Diagram Venn: • Contoh 11: JIka A = {1,3,5,7} dan B = {a,b,c,d}, maka A//B

  11. Himpunan Kuasa • Himpunankuasa (power set) darihimpunan A adalahsuatuhimpunan yang elemennyamerupakansemuahimpunanbagiandari A, termasukhimpunankosongdanhimpunan A sendiri. • Notasi : P(A) atau 2A • JikaA = m, makaP(A) = • Contoh 12. JikaA = { 1, 2 }, makaP(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} • Contoh 13. HimpunankuasadarihimpunankosongadalahP() = {}, danhimpunankuasadarihimpunan {} adalahP({}) = {, {}}.

  12. Operasi Himpunan (1) • Irisan (intersection) • Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya dari himpunan A dan B. • Notasi : A  B = {x|x є A dan x є B} Contoh : Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka AB = {4, 10}

  13. OperasiHimpunan (2) • Gabungan (union) • Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A dan B. • Notasi : AB = { xxA atau xB } Contoh : Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka AB = { 2, 5, 7, 8, 22 }

  14. PRINSIP DUALITAS • Prinsipdualitas: duakonsep yang berbedadapatdipertukarkannamuntetapmemberikanjawaban yang benar.

  15. Operasi Himpunan (3) • Komplemen (complement) • Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang mengandung semua elemen dalam semesta pembicaraan yang tidak ada didalam A. • Notasi : A= { x  x  U, x  A } Contoh : Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

  16. Operasi Himpunan (4) • Selisih (difference) • Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Selisih dari A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A. • Notasi : A – B = { xxA dan xB } = A  B Contoh : {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

  17. Operasi Himpunan (5) • Beda Setangkup (Symmetric Difference) • Beda stangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya. • Notasi : AB = (AB) – (AB) = (A – B)  (B – A) Contoh : Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka AB = { 3, 4, 5, 6 }

  18. Perkalian Kartesian (cartesian product) • Perkalian Kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya adalah semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B • Notasi: AB = {(a, b) aA dan bB } • Kardinalitas perkalian kartesian : AB = AB • Contoh 20. • (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka CD = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } • (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka AB = himpunan semua titik di bidang datar

  19. Perkalian Kartesian (cartesian product) • Catatan: • JikaAdanBmerupakanhimpunanberhingga, maka: AB = A . B. • Pasanganberurutan (a, b) berbedadengan (b, a), dengankata lain (a, b)  (b, a). • Perkaliankartesiantidakkomutatif, yaituABBAdengansyaratAatauBtidakkosong. PadaContoh 20(i) diatas, DC = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } CD. • JikaA = atauB = , makaAB = BA = 

  20. Perkalian Kartesian (cartesian product) • A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus } • B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } • Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? • Jawab: • AB = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

  21. Pembuktian pernyataan suatu himpunan 1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A (BC) = (AB)  (AC) dengan diagram Venn. Bukti: A (BC) (AB)  (AC) Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A (BC) = (AB)  (AC). Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

  22. Pembuktian pernyataan suatu himpunan 2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan  Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa : A (BC) = (AB)  (AC). Bukti: Karena kolom A (BC) dan kolom (AB)  (AC) sama, maka A (BC) = (AB)  (AC).

  23. Pembuktian pernyataan suatu himpunan

  24. Pembuktian pernyataan suatu himpunan 4. Pembuktiandenganmenggunakandefinisi • Metodeinidigunakanuntukmembuktikanpernyataanhimpunan yang tidakberbentukkesamaan, tetapipernyataan yang berbentukimplikasi. • Biasanyadi dalamimplikasitersebutterdapatnotasihimpunanbagian (atau). Contoh. MisalkanAdanBhimpunan. JikaAB = danA (BC) makaAC. Buktikan! Bukti: • Dari definisihimpunanbagian, PQjikadanhanyajikasetiapxPjugaQ. MisalkanxA. KarenaA (BC), makadaridefinisihimpunanbagian, xjuga (B C). • Dari definisioperasigabungan (), x (BC) berartixBatauxC. KarenaxAdanAB = , makaxB Dari (I) dan(II), xCharusbenar. Karenax Ajugaberlakux C, makadapatdisimpulkanAC .

  25. Prinsip Inklusi-Eksklusi • PrinsipInklusi-Eksklusiadalahsuatuprinsip yang digunakanuntukmengetahuijumlahelemenhasilpenggabungandaribeberapahimpunan. • Jumlahelemenhasilpenggabungandihitungdarijumlahelemendimasing-masinghimpunandikurangidenganjumlahelemendidalamirisannya. • Untukduahimpunan A danB: AB = A + B – ABAB = A +B – 2AB

  26. Contoh: U=100 A = himpunanbilanganbulat yang habisdibagi 3, B = himpunanbilanganbulat yang habisdibagi 5, AB = himpunanbilanganbulat yang habisdibagi 3 dan 5 (yaitu himpunanbilanganbulat yang habisdibagioleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15), Hitunglahjumlahbilangan yang habisdibagi 3 atau 5? yang ditanyakanadalahAB. A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, AB = 100/15 = 6 AB = A + B – AB = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buahbilangan yang habisdibagi 3 atau 5.

  27. PrinsipInklusi-Eksklusi Contoh: Di antarabilanganbulatantara 101 dan 600 (termasuk 101 dan 600 itusendiri), berapabanyakbilangan yang tidakhabisdibagioleh 4 dan 5 atau yang habisdibagiolehkeduanya? Solusi: Misalkan U={Jumlahbilanganbulatantara 101 dan 600, termasuk 101 dan 600 } A = { AnggotaU yang habisdibagi 4 } B = { AnggotaU yang habisdibagi 5 } Maka U= 600-101 = 500 A= 500/4 = 125 B= 500/5 = 100 A B = 500/20 = 25 Ditanyakan: A  B?

  28. PrinsipInklusi-Eksklusi A  B = A + B – 2A B = 125 + 100 – 225 = 175 A  B = U – A  B = 500 – 175 = 325

  29. PrinsipInklusi-Eksklusi Prinsip inklusi-ekslusi untuk 3 buah himpunan A,B,C : Misalkan A1, A2, …, An himpunan hingga. Maka

  30. PrinsipInklusi-Eksklusi • Contoh: Carilahbanyaknyaanggotadari |A  B  C  D| jikasetiaphimpunanberukuran 50, setiapirisandariduahimpunanberukuran 30, setiapirisandaritigahimpunanberukuran 10, danirisandarikeempathimpunanberukuran 2. Solusi. |ABCD|=|A| + |B| + |C| + |D| - |AB| - |AC| - |AD| - |BC| - |BD|- |CD| + |ABC|+ |ABD|+ |ACD|+ |BCD| - |A  B  C  D| = 4 . 50 – 6 . 30 + 4 . 10 – 2 = 58

  31. TUGAS • Misalkan A adalahhimpunan. Periksaapakansetiaphimpunandibawahinibenaratausalah. Jikasalah, bagaimanaseharusnya: a. b. • Dalam suatu survey pada 60 orang, didapat bahwa 25 orang membaca majalah Tempo, 26 orang membaca majalah Gatra dan 26 orang membaca majalah Intisari. Juga terdapat 9 orang yang membaca majalah Tempo dan Intisari, 11 orang membaca majalah Tempo dan Gatra, 8 orang membaca Gatra dan Intisari, serta 8 orang tidak membaca majalah satupun. Tentukan jumlah orang yang membaca ketiga majalah tersebut?. Tentukan juga jumlah orang yang benar- benar membaca satu majalah?. • Buktikandenganmenggunakanhukum-hukumhimpunan. Misalkan A dan B himpunan. Buktikanbahwa

  32. Tugas: • Sebanyak 115 mahasiswamengambilmatakuliahMatematikaDiskrit, 71 KalkulusPeubahBanyak, dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswamengambilMatematikaDiskritdanKalkulusPeubahBanyak, 14 MatematikaDiskritdanGeometri, serta 9 orang mengambilKalkulusPeubahBanyakdanGeometri. Jikaterdapat 196 mahasiswa yang mengambil paling sedikitsatudariketigamatakuliahtersebut, berapa orang yang mengambilketigamatakuliahsekaligus? • Padasuatuangket yang diikuti 40 pelajardiketahuibahwa 32 orang lebihmenyukaiInternetExplorer, 18 orang lebihmenyukaiMozillaFirefox, dan 2 orang tidakmenyukaikeduanya. Tentukanlah: a) Jumlahpelajar yang menyukaiInternet ExploreratauMozilla Firefox. b) Jumlahpelajar yang menyukaiInternet ExploreratauMozilla Firefox, tetapitidakkeduanya.

  33. See you next week

More Related