Curso de Semiconductores

1. Curso de Semiconductores SESIÓN 2-3 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. E-mail: joseaedo@udea.edu.co Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica - Control Universidad de Antioquia

2. Repaso de algunos conceptos de física moderna • Es necesario recordar algunos conceptos fundamentales. El • Objetivo de esta sesión es recordar los siguientes temas: • El efecto fotoeléctrico. • Modelo del átomo de hidrogeno (modelo cuantizado de Bohr). • Ecuación de Schrodinger.

3. Repaso de algunos tópicos de física moderna El efecto fotoeléctrico La interacción de la luz con la materia constituía comienzos del siglo XX uno de los problemas más difíciles de resolver a luz de la física clásica. La descripción básica del efecto fotoeléctrico: “Es la liberación de electrones desde la superficie de un material cuando es irradiado por una radiación electromagnética (luz)” Fue observado por Heinrich Hertz en 1887.

4. Repaso de algunos tópicos de física moderna El efecto fotoeléctrico Experimento de J. Thomson y Philipp Lernard (1898) Para que un electrón escape necesita que El electrón reciba una Cantidad mínima de Energía F (función trabajo) Vf Potencial de frenado

5. Repaso de algunos tópicos de física moderna • El efecto fotoeléctrico • Hechos físicos: • Existe una frecuencia umbral n0 por debajo de la cual no se • emiten electrones de la superficie. • n < n0 la corriente es cero (es independiente de la intensidad de la luz) • Para n > n0 los electrones presentan una energía cinética • máxima (Kmax), de tal forma que si Vf es potencial de frenado: • eVf = Kmax (no de depende la intensidad de la luz)

6. Repaso de algunos tópicos de física moderna • El efecto fotoeléctrico • Hechos físicos: • El valor de la energía cinética máxima depende linealmente de la frecuencia de luz incidente. • Los experimentos mostraban que no existía un retraso apreciable entre la incidencia de la luz sobre la superficie y la emisión de los electrones.

7. Repaso de algunos tópicos de física moderna • El efecto fotoeléctrico • En 1905, Eisntein propuso la teoría corpuscular de la luz. Se baso en la hipótesis de Max Planck (1901): • “ La radiación emitida o absorbida por un cuerpo (calentado) es en unidades discretas llamadas fotones”. La energía emitida es restringida a ciertos valores discretos dados por: • En = nhn para n= 1,2.3 … • n frecuencia de la radiación. • h constante de Planck (6.62x10-34 J-S)

8. Repaso de algunos tópicos de física moderna El efecto fotoeléctrico Eisntein propuso que la luz monocromática de frecuencia n que se propaga en el vacío consiste de un flujo de partículas o cuantos llamados fotones. Los fotones viajan a la velocidad de la luz y tienen un valor discreto de energía dado por: E = hn donde h es la constante de Planck y n es la frecuencia. Los fotones interaccionan con los electrones intercambiando energía.

9. Repaso de algunos tópicos de física moderna • El efecto fotoeléctrico • Explicación: • Para que electrón escape del metal debe tener al menos una • energía igual a la función trabajo f0. Si la energía hn adquirida por electrón al absorber el fotón es menor que este • valor el electrón no puede ser “arrancado”. Luego: • f0 = hn0 donde n0 es la frecuencia umbral • el electrón puede ser “arrancado” si n > n0

10. Repaso de algunos tópicos de física moderna • El efecto fotoeléctrico • Explicación: • Si la radiación incidente tiene frecuencia n la energía • cinética que adquiere el electrón será: • Kmax = hn- f0 • En el experimento: • Como Kmax = eVf Siendo Vf el potencial eléctrico aplicado • lo que se llamó potencial de frenado. • luego: Vf = (h/e)(n – n0)

11. Repaso de algunos tópicos de física moderna El efecto fotoeléctrico Explicación: Considerando que l = c/n (para los fotones) Vf = (hc/e)( 1/l – 1/l0)

12. Repaso de algunos tópicos de física moderna Resumen de la teoría dual de la luz La luz consiste de un flujo de partículas llamadas fotones que viajan a la velocidad de la luz. Estas partículas tienen asociada una cantidad de movimiento y una energía. La masa asociada es cero Ecuaciones importantes: E = (p2c2 + m2c4)1/2 con m=0 E = pc (p momentum y c V. de luz) como E = hn y l= c/n , entonces p= E/c = hn/c = h/l

13. Repaso de algunos tópicos de física moderna Ejercicio: Si sobre la superficie del Na cuya función trabajo es F0 = 3.7x10-19 J = 2.3 eV, incide una luz monocromática con una longitud de onda de 450 nm determinar: 1. La energía de los fotones. 2. La energía cinética máxima de los electrones emitidos. 3. La frecuencia umbral para el Na. 4. El módulo de la cantidad de movimiento de los fotones de la luz incidente.

14. Repaso de algunos tópicos de física moderna • Modelos de Bohr del átomo de hidrogeno • Desarrolló dos modelos: • Modelo clásico. Basado en la física clásica. • Modelo cuantizado. Donde incluye la teoría cuántica de Planck • Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) • Existe una fuerza electrostática debido a las cargas. • Existe un fuerza centrípeta debido al movimiento circular.

15. Repaso de algunos tópicos de física moderna Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) Existe una fuerza atractiva: F = -q2/(4pe0r2) e0 es permitividad del espacio vacío r El campo eléctrico definido como la fuerza Por unidad de carga: E = q/(4pe0r2) V/m

16. Repaso de algunos tópicos de física moderna Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) El potencial electrostática debido al Campo eléctrico esta dado por: v = Edx Considerando un simetría esférica: v = qdr/(4pe0r2) = q/(4pe0r) r

17. Repaso de algunos tópicos de física moderna Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) La energía potencial a la una distancia r desde el núcleo: Ep = V(-q) = -q2/(4pe0r) La fuerza centrípeta sería: mv2/r La aceleración angular es: v2/r r La fuerza eléctrica se balancea con la fuerza centrípeta en magnitud: mv2/r = q2/(4pe0r2)

18. Repaso de algunos tópicos de física moderna Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) Luego de la ecuación anterior se puede calcular la energía cinética: EK = mv2/2 = q2/(8pe0r) La energía total sería: Et = Ek + Ep = q2/(8pe0r) + -q2/(4pe0r) = - q2/(8pe0r) r Cuál era problema con este modelo ?

19. Repaso de algunos tópicos de física moderna Modelo cuantizado • Bohr estableció los siguientes postulados • Los electrones giran alrededor del núcleo únicamente en ciertas orbitas circulares definidas. Cada orbita corresponde a cierto nivel de energía. • Estas orbitas son llamadas estacionarias. Los electrones pueden • ocupar estas orbitas sin radiar ninguna energía. • La transferencia de un electrón desde una orbita de baja energía a otra de mayor energía requiere de la absorción de radiación por el átomo, mientras que la transferencia de una órbita de mayor energía a una de menor energía resulta en la emisión de radiación. Luego: • E2 – E1 = hn Siendo n la frecuencia de la radiación

20. Repaso de algunos tópicos de física moderna Modelo Cuantizado • Bohr estableció los siguientes postulados • Las únicas orbitas estacionarias permitidas de los electrones son aquellas en las cuales el momentum orbital angular está • cuantizado. Siendo un múltiplo entero de h/2p . Luego: • (1) mvrn = nh/2p con n = 1,2,3,…. (número cuántico P) • considerando que: mv2/r = q2/(4pe0r2) • se calcula: v= (q2/(4pe0rm))1/2 • Sustituyendo en (1) y despejando rn se tiene: rn =n2h2e0/(mpq2)

21. Repaso de algunos tópicos de física moderna Modelo cuantizado • Bohr estableció los siguientes postulados • Con rn =n2h2e0/(mpq2) y sabiendo que la energía total es • Et= - q2/(8pe0r)sustituyendo el valor de r tenemos que • En = -q4m /(8n2h2e02) • Considerando la energía en electrón voltios: • En (eV) = -13.6/n2 con n= 1,2,3 …

22. Repaso de algunos tópicos de física moderna A luz de la física clásica lo siguiente no era conciliable: Amplitud (A) velocidad de fase (w) Onda Longitud de onda (λ) Frecuencia (n ) Intensidad (I) Velocidad (v) Partícula Energía (E) Momentum (p) Masa (m)

23. Repaso de algunos tópicos de física moderna Hipotesis de Broglie En 1924, postulo que las partículas tales como los electrones se comportan (o manifiestan propiedades) como ondas, Similar a los fotones: Se cumplen las siguientes relaciones para las “ondas de materia”: n = E / h l = h / p Lectura interesante: En que consistió el experimento de C. Davisson y L. Germer (de los Laboratorios Bell), con el cual mostraron experimentalmente la hipótesis de Broglie.

24. Repaso de algunos tópicos de física moderna Que pasa entonces con el modelo cuantizado de Bohr del átomo de hidrógeno ?. Cuál es la onda asociada con el electrón que gira alrededor del núcleo ? Asumamos una onda asociada con el electrón de tal forma que: 2pr = l 2pr = 2l

25. Repaso de algunos tópicos de física moderna En forma general podemos establecer: 2pr = nl con n= 1, 2, 3, …. Como l = h / p (Broglie) entonces la ecuación anterior queda: rp = nh/2p como p = mv, podemos concluir que: mvr = nh/2p con n= 1, 2, 3, …. “Esta es precisamente una de las hipótisis de Bohr”

26. Repaso de algunos tópicos de física moderna Igualmente: si n es la frecuencia asociada a la onda, entonces la velocidad de fase se define: w = l n Usando las hipótesis de Broglie: n = E / h y l = h / p w = E/ p Asumiendo que: E = (1/2)mv2 = p2/2m entonces w = p /2m luego w = v/2

27. Repaso de algunos tópicos de física moderna Vamos a asumir la energía negativa, ya que es debida al enlace (interacción eléctrica con el núcleo): El valor de la energía debe ser: E = - h n como: n = w / l y w= v/2 Entonces: E = - hv/2l Como: l = 2pr/n la ecuación de la energía quedará: E = - nhv/4rp,

28. Repaso de algunos tópicos de física moderna E = - nhv/4rp, De acuerdo con la cuantización del momentum se estableció que las orbitas circulares obedecen a las siguientes ecuaciones: r = n2h2e0/(mpq2) y v = q2/(2e0nh) Luego la energía quedaría: E = -q4m/(8n2h2e02) que es la misma establecida por el el modelo de Bohr !!

29. Repaso de algunos tópicos de física moderna La ecuación de SchrÖdinger Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. Si la función de onda asociada a una partícula es Y (x,y,z) la Ecuación de onda de estado estacionario es: 2Y + (8p2m/h2)(E – W)Y = 0 siendo m la masa de la partícula. W es la energía potencial. E es la energía total.

30. Repaso de algunos tópicos de física moderna La ecuación de SchrÖdinger Interpretación de Y (x,y,z): Consideremos un volumen elemental dV = dxdydz centrado en el punto (x,y,z), la probabilidad diferencial dP de que la partícula se encuentre en ese volumen esta dada por: dP = |Y (x,y,z)|2 dV Densidad de probabilidad

31. Repaso de algunos tópicos de física moderna La ecuación de SchrÖdinger Interpretación de Y (x,y,z): La probabilidad PV de que la partícula se encuentre en un volumen V está dada por: PV= ∫v|Y (x,y,z)|2 dV de lo anterior se tiene que: ∫∞ |Y (x,y,z)|2 dV = 1

32. Repaso de algunos tópicos de física moderna • La ecuación de SchrÖdinger • Para el cálculo de Y (x,y,z) se debe tener en cuenta: • Que la función Y (x,y,z) y su primer derivada debe se finita • y continua. • 2. La densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de longitud en el caso unidimensional, o la probabilidad por unidad de volumen en el caso tridimensional) esta dada • por: • Y . Y*

33. Repaso de algunos tópicos de física moderna • Muy importante para solucionar el ecuación de onda en caso en que la energía potencial es periódica: • El teorema de Bloch • Establece que si un sistema presenta un energía potencial periódica (con periodo a), entonces las soluciones de la ecuación de onda son de la forma: • Y (x) = k(x)eiKx donde k(x) es periodica con periodo a • o sea que k(x)= k(x+a)= k(x+na)

34. Repaso de algunos tópicos de física moderna • Problemas a resolver: • Encontrar la ecuación de onda para los siguientes casos: • 2. Encontrar la ecuación de onda asociada W=∞ El electrón esta confinado en una caja de potencial E W=0 x=0 x=L El electrón se mueve en las Dos regiones Región 1 W Región 2 W=0 x=0

35. Repaso de algunos tópicos de física moderna Problemas a resolver: 3. Encontrar la ecuación de onda asociada: W El electrón se encuentra en esta región x=0 x=a

36. Repaso de algunos tópicos de física moderna 4. Encontrar la ecuación de onda asociada para átomo de hidrogeno: La energía potencial está dada por: EP = -q2/4pe0r - q q Ecuación deSchrÖdinger en coordenadas esféricas:

37. Repaso de algunos tópicos de física moderna E. Potencial Masa reducida Con y Solución (separación de variables):

38. n=3 n=2 n=1 a L Epo a x x=0 Repaso de algunos tópicos de física moderna 5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de Kronig-Penny) b= a-L

39. Repaso de algunos tópicos de física moderna Problema de la caja de potencial: W=∞ Energía potencial W=∞ W=0 Un electrón E x=0 x=a Con: Solución:

40. Repaso de algunos tópicos de física moderna Referencia interesante en la WEB: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html