AIF Scuola Invernale 2005 Castiglioncello, 1-6 dicembre Nuclei e particelle: aspetti di storia della fisica

1. AIF Scuola Invernale 2005Castiglioncello, 1-6 dicembreNuclei e particelle: aspetti di storia della fisica Invarianze, simmetrie, leggi di conservazione

2. In realtà, il tentativo di tracciare un quadro sommario dello sviluppo della fisica delle particelle dai primi anni sessanta al (data simbolica) 1983. Pions to quarks – Particle Physics in the 1950s(based on a Fermilab symposium), eds. Laurie Brown, Max Dresden, Lillian Hoddeson, Cambridge University Press, 1989.

3. Andrew Pickering,Constructing quarks – A sociological history of particle physics, University of Chicago Press, 1984 “The view taken here is that the reality of quarks was the upshot of particle physicists’ practice and not the reverse ...” “The account of particle physics offered here is intended as a contribution to the ‘relativist-constructivist’ programme in the sociology of scientific knowledge ...”

4. Roger G. Newton,The Truth of Science, Harvard University Press, 1997; La verità della scienza, McGraw-Hill it., 1999. “Senza dubbio esistono influenze estranee di carattere politico e sociale, benché sociologi e storici possano a volte esagerare la loro importanza. Ma la variante malevola, chiamata ‘costruttivismo sociale relativistico’, sostiene, nella sua forma estrema, che tutte le teorie scientifiche, e anche i fatti che ne costituiscono il fondamento, siano costruzioni sociali, prive di relazione con alcunché in natura.” “...la dichiarazione di Pickering di non voler ‘negare alla realtà – sotto forma di dati sperimentali – un ruolo nello sviluppo della conoscenza scientifica’ deve considerarsi in qualche modo insincera.”

5. A prescindere, si può concordare con Pickering che ... • la fisica del ventesimo secolo può essere descritta come quella • di una successione di concezioni atomistiche: • Fisica atomica • Fisica nucleare • Fisica delle particelle • I quarks e il modello standard E anche con la sua distinzione, a proposito delle tappe 3 e 4, fra una vecchia (fino al 64) e una nuova fisica. Meno con il suo far partire la “nuova fisica” solo dall’ipotesi dei quarks. Qui si tenderà a sostenere il punto di vista che – se pure c’è una nuova fisica – essa nasce quando rinasce con la ritrovata fiducia nel potere fondante della matematica (Jona Lasinio)

6. Invarianze, simmetrie e leggi di conservazione avevano svolto un ruolo importante anche nella “vecchia fisica” • Energia-impulso (analisi delle collisioni elastiche e anelastiche) • Momento angolare. Importanza dello spin per la classificazione delle particelle (fermioni-bosoni) • Carica elettrica • Numero barionico • Numero leptonico • Parità • Spin isotopico (isospin)

7. Il cammino verso SU(3) e l’ipotesi dei quarks P.Roman, Theory of Elementary Particles, North-Holland, 1960 M. Gell-Mann, Y. Ne’eman, The Eightfold Way: A Review – With A Collection of Reprints, W.A. Benjamin, 1964 F.E. Close, An Introduction to Quarks and Partons, Academic Press, 1979

8. Lo spin isotopico Dà corpo all’idea che adroni aventi masse prossime, e gli stessi spin e parità intrinseca ma cariche elettriche diverse, sono la stessa cosa per quanto riguarda l’interazione forte (indipendenza dalla carica). Questo fu formalizzato assegnando a ciascuno dei gruppi di adroni di cui sopra uno stesso numero quantico I, analogo a quello di spin (isospin o spin isotopico). Come per lo spin, la terza componente dell’isospin si supponeva quantizzata, e i suoi diversi valori distinguevano fra i membri di uno stesso gruppo (multipletto).

9. Sarebbero la stessa cosa, per quanto riguarda le interazioni forti, per cominciare, il protone e il neutrone. Essi divengono quindi stati di una stessa particella. Lo stato di un nucleone può allora essere scritto come una matrice colonna a due elementi, che danno rispettivamente l’ampiezza di probabilità che si tratti di un protone o di un neutrone. Gli stati di protone e neutrone si scriveranno allora come: e Essi sono autostati dell’operatore matriciale corrispondenti agli autovalori 1 e -1

10. Introdotti anche gli operatori matriciali e si verifica che le tre matrici soddisfano alle regole di commutazione: Inoltre e trasformano un neutrone in protone e viceversa.

11. Una generica trasformazione nello spazio degli stati si scrive: Poiché, vista dal punto di vista passivo, la trasformazione deve trasformare una base ortonormale in una base ortonormale, la matrice U deve essere unitaria. Le matrici unitarie hanno determinante di modulo 1. Se il determinante vale 1, si chiamano unimodulari. Le matrici in questione formano gruppo: il gruppo SU(2), gruppo delle trasformazioni unitarie unimodulari. Le individuano l’algebra di Lie del gruppo.

12. L’algebra dei generatori può essere generalizzata in termini di operatori astratti: Le matrici 2x2 date sopra che soddisfano a quest’algebra agiscono sulla rappresentazione bi-dimensionale (fondamentale) del gruppo. Si possono trovare via via matrici NxN che soddisfano all’algebra. I multipletti che sono trasformati da esse costituiscono rappresentazioni N-dimensionali di SU(2). La rappresentazione tridimensionale è nota come la regolare. Essa descrive particelle di isospin 1, dunque un tripletto (es.: i pioni, nei loro tre stati di carica).

13. Ora, l’indipendenza dalla carica si può tradurre nell’invarianza dell’interazione forte per rotazioni nello spazio dell’isospin, cui corrisponde la conservazione dello spin isotopico. L’isospin si supponeva rigorosamente conservato nelle interazioni forti. Le piccole differenze di massa all’interno di un multipletto si attribuivano alle interazioni elettromagnetiche che distinguevano fra di esse (esempio: protone e neutrone, doppietto di isospin ½.)

14. Nuovi numeri quantici: la stranezza Negli anni 50, i kaoni e le Λ erano noti come particelle strane. La stranezza del loro comportamento stava nel fatto che erano prodotte con sezioni d’urto tipiche delle interazioni forti, ma decadevano con vite medie proprie delle deboli. Nel 1952 Abraham Pais avanzò la sua ipotesi della “produzione associata”: un kaone e una Λ interagivano “forte” soli in coppie, e come tali potevano essere prodotti da interazioni forti; ma, lasciate a se stesse, potevano decadere solo via interazione debole.

15. I due nucleoni non si distinguerebbero nel caso di una simmetria esatta. L’esatta simmetria è rotta dall’interazione elettromagnetica. Anche i barioni ordinari, nucleoni,e iperoni, per un totale di 8, si assomigliano abbastanza. Si può pensare a una simmetria rotta, che di per sé li porrebbe in un unico multipletto. D’altra parte, le interazioni forti possiedono altre leggi di conservazione oltre a quella dello spin isotopico: quella del numero barionico e quella della stranezza. La simmetria, una volta rotta, dovrebbe lasciare inviolate la conservazione dell’isospin, del numero barionico e della stranezza.

16. SU(3). Ritrovare un ordine. Furono Murray Gell-Mann e Yuval Ne’eman (1961) a rendersi conto, indipendentemente, che il gruppo di simmetria che garantiva tutto ciò era la più immediata generalizzazione di SU(2), cioè il gruppo SU(3) delle matrici unitarie unimodulari 3x3. M.Gell-Mann, Y. Ne’eman, The Eightfold Way, Benjamin, 1964

17. Sembra presentarsi subito una difficoltà: la rappresentazione fondamentale è tridimensionale, può quindi albergare tre particelle e non otto. Bisognerà dunque saltarla, questa rapresentazione fondamentale, e partire dalla regolare, che otto-dimensionale. Va osservato che il contenuto in multipletti di isospin e l’attribuzione ad essi di un valore definito della stranezza è prescritto. La figura mostra l’ottetto barionico.

18. Ma non è proibita l’esistenza di altri ottetti – non barionici: l’ottetto dei mesoni pseudoscalari

19. e quello dei mesoni vettoriali N.B.: c’è qualche problema di sovrabbondanza, per il quale rimando a Gell-Mann e Ne’eman, op. cit.

20. Si passa poi alle rappresentazioni di maggiore dimensionalità. La prima è il decupletto. Vi trovano posto stati eccitati degli iperoni, nonché la Δ, ex “risonanza 33”. Ma il vertice, la Ω, è mancante …

21. Deve trattarsi di un singoletto isotopico con spin 3/2, parità +, massa di circa of 1.680 MeV, carica negativa, numero barionico +1, stranezza = -3, stabile rispetto a decadimenti forti. Un barione con queste caratteristiche fu scoperto nel 1964 da un gruppo di fisici di Brookhaven e delle Università di Rochester e Syracuse, condotto da N. Samios, usando la camera a bolle da 80 pollici. L’esperimento verificò anche, dalla determimanazione della massa, che la rottura della simmetria doveva imputarsi a interazioni medium- strong.

22. Un antecedente: il modello di Sakata 1949: Fermi e Yang propongono che il pione non sia una particella elementare, ma sia composta, specificamente uno stato legato nucleone-antinucleone. È chiaro che si tratta di una prima radicale alternativa alla teoria di Yukawa. 1956: Sakata estende l’idea di Fermi e Yang, nel senso di considerare le “particelle elementari” come composte dai costituenti veramente elementari p, n e Λ.

23. La teoria non può ridursi a pura classificazione: Le teorie di gauge

24. Un po’ di storia • L’invarianza di gauge dell’elettromagnetismo • Elettromagnetismo come teoria di Hamilton-Jacobi • Weyl: all’origine dei concetti e della terminologia • Meccanica quantistica: dall’invarianza di scala a quella di fase • Una teoria locale di gauge: l’elettromagnetismo • Estensione a gruppi non abeliani: la teoria di Yang e Mills Giuseppe Cammarata, Masses fermioniques, connexions algébriques et modèle standard, tesi di dottorato sostenuta presso l'Université de la MéditerranéeAix-Marseille II, 21 dicembre 1998.

25. L’invarianza di gauge dell’elettromagnetismo Data la forma delle equazioni di collegamento che lo legano al quadripotenziale, il tensore F del campo elettromagnetico – e con esso le equazioni di Maxwell – sono lasciate invariate dalla sostituzione

26. Elettromagnetismo come teoria di Hamilton-Jacobi L’idea è di ottenere sia le equazioni di Mawwell sia le equazioni del moto di una particella carica da un unico principio fisico (il principio di Hamilton). Si verifica che ciò si ottiene se si parte dalla lagrangiana La sostituzione è dunque tutto quanto occorre per introdurre l’interazione nelle equazioni classiche del moto.

27. Weyl: all’origine dei concetti e della terminologia Nel tentativo di dar vita a una teoria unitaria di gravitazione ed elettromagnetismo (1918), Weyl rilasciò uno dei vincoli che fissano una connessione in relatività generale: quello che richiede la conservazione delle lunghezze e del prodotto scalare fra due vettori sotto trasporto parallelo (condizione di metricità). Il risultato è una connessione determinata dal tensore metrico e da un (quadri)vettore A, che risulta invariante sotto le trasformazioni simultanee A può dunque essere interpretato come quadripotenziale e.m.

28. Meccanica quantistica: dall’invarianza di scala a quella di fase Dopo lo sviluppo della meccanica quantistica, F. London, V. Fock, lo stesso Weyl ed altri si resero conto che la teoria originaria di Weyl poteva essere opportunamente riformulata. L’equazione di Schrödinger per una particella carica in un campo elettromagnetico rimane inalterata sotto le simultanee trasformazioni

29. Un commento di Weyl (1950): “Oggi, credo, dopo l’introduzione della ψ attraverso la teoria quantistica, possiamo indicare in modo più preciso dove la mia teoria andò fuori strada: l’invarianza di gauge non connette il potenziale elettromagnetico con quello gravitazionale [...] ma con la ψ del campo di materia. Non potevo certamente saperlo nel 1918!” Alla “sua” invarianza Weyl aveva dato il nome di Eichinvarianz o Massstabinvarianz (invarianza di scala). Le versioni inglesi scelsero gauge, che significa calibro. Il termine è rimasto nell’uso, ma è evidente che non è quello più adeguato per qualificare la nuova invarianza.

30. Una teoria locale di gauge:l’elettromagnetismo L’elettromagnetismo, come teoria di campo, può essere generato dalla richiesta dell’invarianza locale di gauge. Vediamo perché*. • La statistica delle misure per le osservabili quanto-meccaniche comporta espressioni bilineari nella funzione d’onda. Esse sono pertanto invarianti sotto trasformazioni globali di fase del tipo Queste trasformazioni formano gruppo: il gruppo abeliano U(1). • Chris Quigg, Gauge Theories of the Strong, Weak, and • Electromagnetic Interactions, Frontiers in Physics, Benjamin, 1983.

31. • Si è liberi di scegliere una convenzione di fase dipendente dal punto? In altre parole, la meccanica quantistica può risultare invariante sotto trasformazioni locali di fase, del tipo • La risposta è: sì, a patto di introdurre un interazione che si scoprirà essere quella della materia carica con un campo elettromagnetico.

32. Il principio di gauge, ovvero: come trasformare una constatazione in un principio. Fin qui si è verificata l’invarianza di gauge di una teoria. Rovesciamo l’argomentazione: richiediamo che la nostra teoria sia invariante sotto la trasformazione locale di fase Si dimostra che una tale invarianza non è possibile per una teoria libera, ma richiede una teoria interagente, che comporta, in questo caso, un campo vettoriale, soggetto corrispondentemente a libertà di gauge, la cui interazione con la materia carica è determinata.

33. Al campo vettoriale deve corrispondere una particella di massa nulla (in questo caso tutto torna: è il fotone). La ragione è la seguente: l’equazione cui deve obbedire il quadripotenziale è la che è invariante sotto la trasformazione di gauge Ma, se il quadripotenziale A dovesse rappresentare una particella massiva, dovrebbe obbedire all’equazione che non è gauge-invariante.

34. La teoria di Yang e Mills (1954) Il “principio di gauge” riguarda questa volta particelle descritte da isospinori. L’invarianza locale sarà dunque sotto una trasformazione del tipo: (g indica una costante d’accoppiamento, analoga alla carica elettrica). Ora però il gruppo delle trasformazioni non è più abeliano: è difatti il gruppo SU(2) dell’isospin.. Anche in questo caso, si dimostra che l’invarianza richiede una teoria interagente, che comporta questa volta tre campi vettoriali, soggetti corrispondentemente a libertà di gauge, la cui interazione con la materia è fissata.

35. Le tre corrispondenti particelle W dovevano formare un tripletto di isospin .... ed avere massa nulla. A differenza dei fotoni, essi dovevano avere una forma di autointerazione. La formulazione di Yang e Mills era pensata per le interazioni forti. Come tale, in considerazione di quanto appena detto, fu sostanzialmente accantonata, anche se Yang espresse in un’occasione (1956) l’opinione che la teoria avrebbe potuto in seguito dimostrare la non necessità della condizione di massa nulla*. *Pickering, op. cit. p. 164

36. Una seconda (o terza?) via era quella di dare massa alle particelle di gauge “con le mani”, inserendo un appropriato termine di massa nella lagrangiana. Ciò rompe l’analogia con l’elettrodinamica e distrugge la gauge-invarianza, ma trasforma la teoria in un candidato realistico per la descrizione di interazioni a corto range, forti o deboli che siano. Essa fu fatta propria da J.J.Sakurai (1960). Egli estese la formulazione originaria, ipotizzando che vi fossero altre due particelle vettoriali, accoppiate rispettivamente alla stranezza e al numero barionico. Egli finiva così per predire l’esistenza dei mesoni vettori ρ, ω e φ, anche perché l’operazione “masse con le mani” gli era riuscita benissimo. Pickering, ibidem.

37. Interazioni deboli: un’importante modifica alla teoria di Fermi Fra il 1957 e il 1961, indipendentemente, Julian Schwinger, Sidney Bludman e Sheldon Glashow proposero che le interazioni deboli fossero mediate da bosoni vettori.

38. Nel 1957 Schwinger concepì l’idea primitiva di una possibile unificazione fra le interazioni deboli e quelle elettromagnetiche. Mentre le seconde erano mediate dal fotone scarico, le prime, in cui si ha significativamente un cambiamento di carica delle particelle interagenti, sarebbero state mediate da bosoni vettori carichi. Lo schema di unificazione abbozzato era tuttavia soltanto formale, in considerazione della diversissima intensità delle due interazioni, del fatto che le interazioni deboli sono a cortissimo range mentre quelle e.m. hanno portata infinita, e del fatto che le prime non conservano la parità.

39. 1958. Bludman non si proponeva un’unificazione elettrodebole, la sua attenzione essendo rivolta alle sole interazioni deboli. Egli suggerì che i bosoni vettori mediatori delle interazioni deboli non fossero altro che le particelle di gauge di una teoria di Yang e Mills, trasferendo così dal campo delle interazioni forti a quello delle interazioni deboli il campo di applicazione della teoria. Conformemente alla simmetria in questione, i bosoni vettori dovevano sussistere nei tre stati di carica.

40. In un articolo del 1961, sviluppando le idee di Schwinger e Bludman, Glashow definì la cornice entro la quale, nel corso degli anni Settanta, ad opera di Weinberg e Salam, si sarebbe sviluppata la teoria elettrodebole. Il modello di Glashow implicava un tripletto (nei tre stati di carica, come in Bludman) e un singoletto, naturalmente neutro. Il tripletto e il singoletto si mescolavano in modo tale da produrre una particella neutra molto massiva e una particella di massa nulla da identificarsi con il fotone secondo lo schema: A loro volta risultavano molto massivi i bosoni vettori carichi.

41. Rotture spontanee di simmetria emeccanismo di Higgs • 1961: Nambu e Jona Lasinio: rotture spontanee di simmetria (SSB). • 1961: Goldstone: una SSB deve essere accompagnata dalla comparsa di particelle di massa e spin nulli. • 1964-67: Higgs, Brout ed Englert, Kibble: il teorema di Goldstone può essere eluso nelle teorie di gauge. Insomma, si possono dotare i campi di Yang e Mills di massa conservando un’esatta simmetria di gauge.

42. Rotture spontanee di simmetria: il meccanismo di Higgs Higgs: includere nella lagrangiana QED un paio di campi scalari, accoppiati fra loro e al fotone in modo da preservare la gauge- invarianza dell’e. m.; dando ai campi scalari una massa negativa nella lagrangiana, lo spettro fisico conteneva un fotone privo di massa e una particella massiva. Nella teoria dei campi, il vuoto è appropriatamente definito come lo stato in cui tutti i campi hanno la loro energia minima. In genere questo si consegue quando il valore del campo è zero ovunque. Non così per il campo di Higgs: i campi di Higgs hanno la proprietà inconsueta di non annullarsi nel vuoto. L’interesse per questo meccanismo di rottura spontanea si concentrò inizialmente su possibili rotture di SU(3) nelle interazioni forti

43. L’unificazione elettrodebole: altre tappe nella storia • Il tentativo di vedere le interazioni deboli mediate da bosoni vettori in analogia con l’elettromagnetismo si scontrava con la difficoltà che la teoria appariva non rinormalizzabile • Una teoria alla Yang e Mills (Bludman, 1958) risultava rinormalizzabile, ma presupponeva bosoni vettori di massa nulla; ogni tentativo di dotarli di masse portava a violazioni dell’invarianza di gauge • Una risposta apparve venire dal meccanismo di Higgs (1964).

44. Il modello di Weinberg e Salam 1967: indipendentemente, S. Weinberg e A. Salam ripresero il modello di Glashow, sostituendo i termini di massa introdotti “con le mani” con masse generate tramite il meccanismo di Higgs. Per le masse dei tre bosoni vettori, nei tre stati di carica, i valori erano univocamente determinati da un singolo parametro. Questi fondamentali contributi rimasero a lungo ignorati. La ragione principale essendo che avevano uno scarso riscontro fenomenologico*. Pickering, op.cit. pp.172-173.

45. Finalmente i quarks 1964. Articolo di M.Gell-Mann, “A Schematic Model of Baryons and Mesons”: “If we assume that the strong interactions of baryons and mesons are correctly described in tems of the broken ‘eightfold way’, we are tempted to look for some fundamental explanation of the situation”. George Zweig introduce indipendentemente l’idea. Chiama aces quelli che Gell-Mann chiama quarks. Indovinare quale delle due denominazioni permarrà.

46. Si controlla che, per tutti i barioni, vale la relazione: (1 I quarks consistevano in un doppietto di isospin con S=0, indicati con u e d; e un singoletto di isospin con S=–1, indicato con s. I barioni sono formati da tre quarks, che avranno B=1/3. Per la (1) allora i quarks devono avere cariche frazionarie.

47. La tabella riassume la situazione: B J I S Q/e sapore 1/2 1/2 +1/2 0 +2/3 u 1/3 d 1/3 1/2 1/2 -1/2 0 -1/3 0 s 1/3 1/2 0 1 -1/3

48. I quarks come rappresentazione fondamentale di SU(3) Y 1/3 0 -1/2 +1/2 -2/3

49. Difficoltà col principio di Pauli: sapori e colori È facile controllare che gli elementi e del decupletto barionico devono essere rispettivamente formati da tre quarks d e da tre quarks u. Ora, i membri del decupletto devono essere i barioni di spin 3/2 di massa minima; ma allora i quarks costituenti dovranno essere nello stato fondamentale spazialmente simmetrico (l=0). Il valore 3/2 del momento angolare si potrà pertanto ottenere solo con spin paralleli. Ma per il principio di Pauli, tre fermioni identici non possono stare nello stesso stato quantico complessivo.

50. Praticamente immediatamente (1964) Oscar Greenberg suggerisce che i quarks potrebbero obbedire a una parastatistica. Un’ipotesi alternativa fu avanzata appena sei mesi dopo da Han Moo-Young e Yoikiro Nambu. La funzione d’onda di un adrone che contiene tre quarks deve, in partenza, essere il prodotto di tre funzioni d’onda, una descrivente la posizione dei quarks, una gli spin e una i sapori. L’incompatibilità col principio di Pauli si può superare se i quarks hanno un ulteriore numero quantico, che distingua fra loro quarks altrimenti identici. Il nuovo numero quantico fu chiamato colore. La funzione d’onda dell’adrone diventa ora il prodotto di quattro funzioni d’onda. L’ipotesi del colore è che i tre quarks hanno tutti colore diverso, ciò che rende antisimmetrica la funzione d’onda di colore, e quindi quella complessiva.