Matematika a művészetekben

1. Matematika a művészetekben A geometria az a művészet, amely hibás rajzokból helyes következtetéseket von le.(Henri Poincaré)

2. Matematika / Építészet A matematika sajátos tudomány, mely részben a többi tudomány által vizsgált, részben pedig a matematika fejlődéséből létrejött rendszereket, struktúrákat, közösen meglévő tulajdonságait vizsgálja. Régebben a „mennyiség és a tér tudományaként” (vagyis számok és geometriai alakzatok tanaként) határozták meg. A matematikát nehéz pontosan meghatározni még manapság is élő nem lezárt tudományos probléma. Építészet az a tevékenység, amely épületek és építmények létrehozására, tágabb értelemben az épített környezet alakítására irányul. Az embert körülvevő természeti környezet akaratlagos megváltoztatása. Az épületek megépítésén kívül építészetnek nevezzük a belső terek kialakításától kezdve egészen a városi-, esetenként regionális léptékig terjedő építészetet is. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

3. Aranymetszés • Arányosság • Természetben és művészetekben is gyakran előfordul • Egyensúly szimmetria és aszimmetria közt • Ókortól használják épületeken, képzőművészeti alkotásokon • A pitagoreusoka természet egyik alapkövét látták benne: ember, csiga • Aranymetszés arányait tartalmazó formák nagy esztétikai értékkel bírnak • Az aranyarányt numerikusan kifejező irracionális szám Φ ≈ 1,618 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

4. Története • Már az ókorban is tanulmányozták • Ókori Egyiptomban is használták • i. e. 2600 körül épült gízai Nagy-piramis arányaiban is felfedezhető • Ókori görögök: Pitagorasz, Theodórosz, és Eukleidész is foglalkozott vele • Az ókorban isteni számnak nevezték • Több művészeti alkotásban megfigyelhető: a magyar Szent Korona, Bartók Béla bizonyos zeneművei, Dante Alighieri: Isteni színjátéka, Leonardo da Vinci és Michelangelo festményei Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

5. Aranymetszés matematikája • Két rész aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész(a+b) úgy aránylik a nagyobbik(a) részhez ahogy a nagyobbik rész a kisebbikhez(b): • Vagyis a nagyobbik fél hossza egyenlő az összeg és a kisebbik rész hosszának mértani közepével: Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

6. Aranymetszés a geometriában Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

7. Kiszámítása • A definícióból kiszámolható,tehát megkapható az a Φ szám, amelyre teljesül: Definíció szerint: Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuk a megoldó képlettel: Jobboldali törtet b-vel osztva: Ebbe a behelyettesítve kapjuk: Az egyenlet negatív gyöke nem megoldása a problémának, így: Φ-vel szorozva, majd 0-ra rendezve: Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

8. Fibonacci számok • A Fibonacci-számok a matematikában az egyik legismertebb másodrendben rekurzív sorozat elemei. • Az elemeket az előző kettő összegeként kapjuk. Képletben: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … , 144, 233, 377, 610, …) • A Fibonacci-sorozat egymást követő tagjainak hányadosából képzett sorozat (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …) határértéke éppen az aranymetszés aránya, a Φ. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

9. Aranymetszés • Az athéni Pantheon dinamikája is az aranymetszésből ered (A, B, C, D... H pontok). Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

10. Aranymetszés • Az emberi test arányaira az aranymetszetet alkalmazva a testhossz úgy aránylik a köldökmagassághoz, mint ez utóbbi a köldök-fejtető távolsághoz.  • De ezt tovább is felbonthatjuk, a köldök-fejtető aránylik a köldök-váll magassággal. A mell-fejmagasság arányos a váll-fejmagassággal, és így tovább... Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

11. Aranymetszés • Leonardo Da Vinci: Mona Liza-ja is ezekre az arányokra épül fel. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

12. Aranymetszés • A Csendes óceán mélyén él a nautilus, egy a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van. Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés - (AC:DB = FG:EG) arány aranymetszés. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

13. Aranymetszés • A piramis négyzet alapjának az oldalának a fele és az egyik háromszög oldallapjának a magassága az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz. • Pl: a Gízai Nagy-piramis Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

14. Aranymetszés • Millói Vénusz, görög márványszobor • A jól kifejlett emberi alak osztási pontja: a köldök. A test törzse és főbb tagjai szintén az aranymetszés szerint arányulnak. • A korábbi, különösen a görög szoborművek arányai megfelelnek ennek az elméletének. • Ha a test magassága 1000, a test alsó része a köldöktől 618, a test felső része a köldöktől 382, a fej hossza pedig 146. Ezek mind az aranymetszési szabály szerint viszonyulnak egymáshoz. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

15. Források http://www.google.hu http://www.hu.wikipedia.org http://www.termeszetvilaga.hu http://www.mathematika.hu http://blenditak.hu Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

16. Köszönöm a figyelmet! Készítette: Hegedüs Dániel Felkészítő tanára: Kertai Helga