Differentialligninger før og nu

1. Differentialligninger før og nu

2. 1976 Løs differentialligningen Tegn den integralkurve, der indeholder punktet A(1,1) Tegn den integralkurve, der indeholder punktet B(2,0) 2004 En funktion f er løsning til differentialligningen og grafen for f går gennem punktet P(-1,4). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. Bestem forskrift og definitionsmængde for f. Eksamensopgaver

3. Kort historisk gennemgang 1958 (grengymnasiet): • eksempler på simple differentialligninger • valgfrit emne • fortrolige med anvendelser af matematikken inden for andre fagområder 1971 (den lille gymnasiereform): • forståelse af og evne til kritisk at analysere den måde, hvorpå matematikken anvendes inden for forskellige fagområder 1978: • lommeregner indføres

4. Eksamensopgave 1982: Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen og at f(0)=2. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0,2). Bestem en forskrift for f.

5. Eksamensopgave 1983: (5c) I en beholder med vand er vanddybden 0,5 m. Der åbnes for en bundventil for at tømme beholderen. Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder. Under tømningen aftager vandhøjden på en sådan måde, at den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig, til ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af vandhøjden. Med de valgte enheder er proportiona-litetsfaktorens værdi –0,04. Vandhøjden som funktion af tiden er således fastlagt ved en differentialligning. Opskriv denne differentialligning, og bestem den tid, det tager at tømme beholderen.

6. 1984 (standardforsøg i matematik): • differentiallignerne y’=g(x), y’=ky, y’=y(b-ay), y’=f(x)g(x) samt y’’=ky • modelaspektet - kendskab til opbygningen af matematiske modeller - indtryk af matematiske modellers anvendelsesmuligheder og begrænsninger 1987 (valggymnasiet) • differentialligninger som matematiske modeller skal omtales • hvordan anvendelse af infinitesimale betragtninger fører til opstilling af differentialligninger

7. Eksamensopgave 1991: En plante vokser i en potte. Plantens vægt y (målt i kg) er en funktion af tiden t (målt i uger). I en model for plantens vægt går man ud fra, at y opfylder differentialligningen Til tiden t = 0 er plantens vægt 1,0 kg. Bestem en forskrift for y som funktion af t. Bestem den øvre grænse for plantens vægt. Hvor mange uger skal planten vokse, for at dens vægt øges fra 1,0 kg til 90% af den øvre grænse?

8. 2002 (standardforsøg): • alle hjælpemidler tilladt • kendskab til opstilling af differentialligninger • opnå indsigt i, hvorledes en forelagt differentialligning kan give information om karakteristiske egenskaber ved en løsning

9. 2005 (studieretningsgymnasiet): • lineære differentialligninger af 1. orden og logistiske differentialligninger, kvalitativ analyse af givne differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger (kernestof) • differentialligningsmodeller, herunder både opstilling, anvendelse og løsning af differentialligninger (supplerende stof) • anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer (faglige mål)

10. Modeller i Derive • Forord • 1. Introduktion til differentialligninger Hældningsfelt Eulers metode Fjerde ordens Runge-Kutta • 2. Opstilling af modeller Populationsmodeller Modeller for blandinger af stoffer Differentialligningssystemer i Derive Hvordan opstiller man modeller? • 3. Analytiske løsninger til differentialligninger af 1. orden

11. 4. Projekter. 1. Kemiske reaktioner 2. Matematiske fiskerimodeller 3. Eksplosiv befolkningsvækst 4. Skarvbestanden i Danmark 5. Logistisk model med høst 6. Vækst af mug på brød 7. Mikroorganismers vækst 8. Kolesterolniveauet i mennesker 9. Radioaktivt henfald • 5. Opgaver