Teoria de Grafos

1. Teoria de Grafos Trabalho realizado por: Cátia Cardoso Filipe Silva Sandra Cunha

2. Um pouco da história de Teoria de Grafos • Tudo começou no século XVIII, na cidade medieval de Königsberg, situada no leste europeu. • Königsberg é banhada pelo rio Pregel, que a divide em quatro áreas de terra ligadas umas às outras por sete pontes, as famosas “sete pontes de Königsberg”.

3. Durante muito tempo, os habitantes daquela cidade perguntavam-se se era possível cruzar as sete pontes numa caminhada contínua, sem que se passasse duas vezes por qualquer uma delas. • Leonhard Euler estudou este problema em 1736 (como veremos, mais adiante) e a partir daí, desenvolveu toda a teoria que é hoje utilizada nas mais diversas áreas que envolvem tarefas: a Teoria de Grafos.

4. Conceitos básicos • Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos não vazios V e A, onde: V- conjunto dos vértices do grafo; A- conjunto de pares ordenados a= (v,w), v e w  V: as arestas do grafo. • Vértices adjacentes: são aqueles que estão ligados por uma mesma aresta. • Aresta incidente: é aquela que liga dois vértices distintos.

5. Exemplo: Encontre o caminho até ao centro representado por *, e a respectiva saída. Resolução:

6. Grau de um vértice é igual ao número de arestas nele incidentes. • Grafo Regular é aquele em que todos os vértices têm o mesmo grau. • Grafo Completo é aquele em que todos os vértices são adjacentes. • Um grafo G diz-se um Grafo Bipartido se o conjunto dos seus vértices admitir uma partição {V1, V2 } de tal forma, que toda a aresta de G une um vértice de V1 e um vértice de V2. • Um grafo planar é um grafo que pode ser desenhado no plano de forma a que as arestas não se cruzem.

7. Exemplo 2: Pretendemos ligar três casas A, B e C a três utilitários, gás (g), água (a) e electricidade (e). Por razões de segurança convém que as ligações não se cruzem. Será possível?

8. Representação do grafo: Trata-se de um grafo regular: todos os vértices têm grau 3; É bipartido, basta considerar a partição V1= {A,B,C} e V2={g, a, e}; Não é possível fazer as ligações sem estas se cruzarem. O que pretendíamos era um grafo planar, mas pelo teorema de Kuratowsky, um grafo K3,3 nunca é planar.

9. Um grafo G’ diz-se um subgrafo de um grafo G, se o conjunto dos vértices e das arestas de G’ são subconjuntos do conjunto de vértices e do conjunto de arestas, respectivamente, de G. • Dois grafos G1, G 2, dizem-se isomorfos se existe uma bijecção entre os conjuntos dos vértices dos dois grafos, preservando a adjacência desses vértices, ou seja, se dois vértices são adjacentes em G1, as suas imagens pela referida bijecção são adjacentes em G2. • Um grafo dirigido é um grafo em cujas arestas é definido um sentido.

10. Exemplo 3: Regule com semáforos a circulação automóvel de modo a evitar colisões num cruzamento com dois sentidos e possibilidade de virar à esquerda e à direita. Não é permitido fazer uma volta de 180º.

11. Resolução: Quando os semáforos da rua 1 estão verdes: Quando os semáforos da rua 2 estão verdes:

12. Quando o semáforo da rua 3 está verde: Quando o semáforo da rua 4 está verde: • Cada situação é um subgrafo da situação global que representa todas as possibilidades de deslocamento no cruzamento em causa; • Em cada situação os grafos subjacentes aos grafos dirigidos são isomorfos aos restantes;

13. Caminho é uma sucessão de vértices e arestas tal que cada aresta liga o vértice que a precede ao vértice que a segue, não repetindo arestas. • Passeio é um caminho onde pode haver repetição de arestas e de vértices. • Ciclo ou circuito é um caminho fechado. • Grafo conexo é aquele onde entre qualquer par de vértices existe sempre um caminho que os une.

14. Grafos Eulerianos Leonhard Euler 1707-1783

15. O que é um circuito de Euler? É um caminho fechado em que cada aresta é percorrida uma só vez. Exemplo: u1, u2, u3, u4, u5, u3, u1, u6, u2, u7, u3, u6, u7, u1

16. Trilho (caminho) euleriano É aquele que passa por todas as arestas uma única vez. Grafo euleriano É um grafo que possui pelo menos um circuito de Euler. Teorema de Euler Um grafo G é euleriano se e somente se G é conexo e cada vértice de G tem grau par.  Se um grafo tiver um vértice qualquer de grau ímpar então é impossível encontrar um circuito de Euler.

17. Mais alguns teoremas relevantes... Teorema: Um grafo conexo G, é um grafo euleriano se e somente se ele pode ser decomposto em ciclos. Teorema: Se um grafo G tiver mais de dois vértices de grau ímpar então não existe nenhum trilho euleriano. Teorema: Se G for um grafo conexo e tiver apenas dois vértices de grau ímpar então ele tem pelo menos um trilho euleriano (às vezes mais).Qualquer trilho tem de começar num dos vértices de grau ímpar e terminar no outro.

18. Quando sabemos que um grafo admite circuito de Euler, como fazemos para o encontrar? Podemos fazê-lo por:  tentativa-erro;  Método de Fleury. Método de Fleury: • Verificar se o grafo é conexo e se todos os vértices têm grau par; • Começar em qualquer vértice; • Percorrer uma aresta se: a) Não é uma ponte; b) Não houver outra alternativa; • Numerar as arestas pela ordem que são percorridas; • Quando não houver mais arestas a percorrer o processo termina.

19. Eulerizar um grafo • Quando não temos um caminho, nem um ciclo euleriano e pretendemos percorrer o grafo repetindo o menor número de arestas possíveis, o melhor é eulerizar o grafo. • Eulerizar um grafo é acrescentar as arestas necessárias de forma a que todos os vértices de grau ímpar se tornem vértices de grau par. Nota: É de salientar, que não se pode acrescentar arestas não existentes, apenas podemos duplicar as arestas já existentes.

20. Exemplo:  Ainda uma melhor eulerização: Grafo inicial: Grafo eulerizado:

21. Aplicações: Problema do desenho da casa No desenho ao lado, uma criança diz ter posto a ponta do lápis numa das bolinhas e sem levantar o lápis traçou as linhas que formam o desenho da casa, traçando cada linha uma única vez e voltando ao ponto de partida. A mãe da criança acha que ela a enganou, pois não foi capaz de achar nenhuma sequência que pudesse produzir tal resultado. Quem terá razão a criança ou a mãe?

22. Resolução: Este problema, consiste simplesmente, em verificar se o grafo admite um circuito de Euler. A resposta é negativa (e assim, a criança enganou a mãe). No entanto, é possível encontrar um caminho de Euler: ADCBFDECFAB.

23. O problema das 7 pontes de Königsberg Como já vimos anteriormente, os habitantes de Königsberg pretendiam arranjar uma forma de cruzar as sete pontes numa caminhada contínua sem que passassem duas vezes por qualquer uma delas e regressando ao ponto de partida.

24. Resolução: Vamos substituir o desenho, por um grafo: Matematicamente, o que pretendemos é um caminho que passe por todas as arestas uma única vez, regressando ao ponto de partida, portanto um circuito de Euler.  Atendendo ao Teorema de Euler (que nos diz que para um grafo ser euleriano é necessário que todos os vértices tenham grau par), verificamos de imediato que o grafo em causa não possui circuitos de Euler, logo o problema não tem solução.

25. O problema do controle dos parquímetros Precisamos de organizar um giro de um agente para o controle dos parquímetros de uma determinada zona, de modo a verificar violações das regras de estacionamento, evitar o vandalismo e roubo. O agente terá de gastar o mínimo de tempo possível no seu giro, para poder repeti-lo com mais frequência. A nossa zona de estudo: tem ruas, um bloco residencial e uma zona verde.

26. Problema: Pretende-se procurar o percurso mais eficiente para um agente, que anda a pé e tem a missão de vigiar os parquímetros da área.Tendo duas finalidades em mente:  o agente tem que cobrir todos os passeios que têm parquímetros, sem dar mais passos do que os necessários;  o percurso deve acabar no mesmo ponto onde começa - o local onde estaciona o carro patrulha.

27. Resolução: Para começar, consideremos que só há dois blocos que têm parquímetros: Suponhamos que o agente começa e acaba o seu giro no canto superior esquerdo do bloco da esquerda. Como esquema do nosso problema temos o seguinte grafo:

28. Um possível circuito a percorrer, supondo que o agente parte de A e volta a A, é o seguinte: Observações: É de salientar, que o que pretendíamos era um percurso óptimo, isto é, um circuito de Euler (circuito em que cada aresta é percorrida uma só vez); Logo à partida, podíamos inferir que este grafo possuía um circuito de Euler, já que todos os vértices são de valência par (Teorema de Euler);

29. O estudo em causa pode assim ser alargado a uma área com mais ruas e outras condições, as respostas seriam dadas por um estudo análogo ao realizado. Existem outras profissões/tarefas em que se pode enquadrar este tipo de problema:  Distribuição do jornal;  Vendedor ambulante;  Leitura dos contadores da luz.

30. Grafos Hamiltonianos Sir William Rowan Hamilton 1805-1865

31. No caso dos circuitos de Euler, o nosso problema consistia em encontrar caminhos, a começar e a acabar no mesmo vértice, que passassem por todas as arestas apenas uma vez. Mas podíamos visitar os vértices tantas vezes quantas quiséssemos. O que acontece se trocarmos os papéis das arestas e dos vértices? • Caminho hamiltoniano é um caminho que passa exactamente uma vez por cada vértice de um grafo, não sendo necessário percorrer todas as arestas. • Ciclo hamiltoniano é um caminho hamiltoniano que começa e termina no mesmo vértice. • Um grafo G é dito hamiltoniano se contém um ciclo hamiltoniano.

32. Quais são as condições necessárias e suficientes para determinar se um grafo é hamiltoniano? • Infelizmente, não conhecemos um método para determinar se um grafo qualquer tem ou não um circuito hamiltoniano.

33. Teorema de Ore: Uma condição suficiente (mas não necessária) para que um grafo G seja hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n, onde n é o número de vértices. Teorema de Dirac: Uma condição suficiente (mas não necessária) para que um grafo G seja hamiltoniano é que o grau de todo vértice de G seja no mínimo n/2. Exemplo: • Não são muito informativos, pois o que eles dizem intuitivamente, é que se um grafo contém muitas arestas e estas são bem distribuídas, ele é hamiltoniano.

34. Ciclos hamiltonianos em grafos completos • Grafo completo com n vértices tem n(n-1)/2 arestas. • Todo o grafo completo que contém mais de dois vértices é um grafo hamiltoniano. Teorema: Num grafo completo com n vértices podem ser escolhidos (n-1)! Circuitos de Hamilton. Agora o problema não é saber se há um circuito de Hamilton, mas sim, como vamos lidar com tantos!

35. Problema do Caixeiro Viajante (PCV) Determinação da viagem do custo mínimo, partindo e regressando ao mesmo local; Principais aplicações: - entrega de encomendas; - recolha de objectos; - planificação de viagens; - leitura de contadores…

36. Métodos para resolver PCV Método 1: Algoritmo da Força Bruta • Lista de todos os circuitos possíveis; • Calcula-se o custo total de cada circuito; • Escolhemos um circuito com o custo total mínimo (Circuito Óptimo de Hamilton).

38. Método 2:Algoritmo do Vizinho mais Próximo - Escolhemos um ponto de partida (casa); - De entre as arestas adjacentes escolhemos a que tem menor peso, e partimos para o vértice correspondente (vizinho mais próximo); - Continuamos a construir o circuito, indo sempre para o vizinho mais próximo, a não ser que a aresta que o liga feche um circuito e havendo ainda vértices por visitar. E prosseguimos até que todos os vértices sejam visitados; -Chegando ao último vértice, regressamos a “casa”. A, C, E, D, B, A 773 EUROS

39. Os resultados são diferentes; • O Algoritmo da Força Bruta é conhecido como um algoritmo ineficiente. Restringe-se a pequenos problemas. • O Algoritmo do Vizinho mais Próximo é um exemplo de algoritmo eficiente. Contudo o resultado pode estar longe de ser um circuito óptimo. • Surgem então os Algoritmos Aproximados, para tentar solucionar os problemas atrás mencionados: - lentidão; - solução rápida mas apenas aproximada; O Algoritmo Repetitivo do Vizinho mais Próximo O Algoritmo da Ligação mais Económica

40. Método 3: O Algoritmo Repetitivo do Vizinho mais Próximo -Seja X um vértice qualquer. Apliquemos o algoritmo do vizinho mais próximo, sendo X o ponto de partida. E calculemos o custo total do circuito; -Repetimos o processo usando os outros vértices como “casa”; -Dos circuitos hamiltonianos obtidos escolhemos o que tem custo mínimo. Se à partida estiver estabelecido o vértice de partida e não coincidir com aquele do qual partimos, basta reescrever o circuito tomando como ponto de partida o que estava pré-estabelecido.

41. Pelo Algoritmo do Vizinho mais Próximo tínhamos obtido A, D, B, C, E, A com custo total de 773 euros; • Repetindo o processo para os outros vértices obtemos: - para o vértice B temos: B, C, A, E, D, B com custo total = 722; - para o vértice C temos: C, A, E, D, B, C com custo total = 722; - para o vértice D temos: D, B, C, A, E, D com custo total = 722; - para o vértice E temos: E, C, A, D, B, E com custo total = 741; • Os vértices com circuitos óptimos têm como vértice inicial B, C ou D. Portanto pode-se escolher qualquer um deles. • Escolhemos o que tem como vértice inicial o B. Mas tem que começar em A, logo reordenando temos: A, E, D, B, C, A.

42. Método 4:Algoritmo da Ligação mais Económica - Escolher a aresta com menor peso. Marcar a aresta correspondente com uma cor, por exemplo vermelho; - Escolher a ligação mais económica que se segue, e assinalar a vermelho; - Continuar a escolher a ligação mais económica disponível. Marcar a aresta correspondente a vermelho excepto quando: a)esta aresta fecha um circuito; b)esta aresta parte de um vértice ao qual já estão ligadas duas outras arestas anteriormente escolhidas; -Quando não existirem mais vértices para ligar, fecha-se o circuito que temos vindo a assinalar a vermelho.

43. Colorir um grafo • O número cromático de um grafo é o número mínimo necessário para colorir os seus vértices de forma a que dois vértices adjacentes não possam ter a mesma cor. • O número cromático das arestas de um grafo é o número mínimo de cores necessárias para colorir as arestas de G, de forma a que as arestas incidentes num mesmo vértice não possam ter a mesma cor. • Snark é um grafo cujo número cromático para as arestas é igual a quatro.

44. Exemplo: Uma companhia industrial deseja armazenar sete diferentes produtos farmacêuticos C1, C2, ..., C7, mas alguns não podem ser armazenados juntos por motivos de segurança. A tabela seguinte mostra os produtos que não podem estar no mesmo local. Encontre o número mínimo de localizações necessárias para colocar estes produtos.

45. Primeira forma de resolver (coloração dos vértices) Resposta: O número cromático deste grafo é 4. Precisamos de quatro gavetas para colocar os medicamentos. Uma combinação possível dos medicamentos compatíveis é: C2C5, C3C6, C4C7, C1. Esta combinação não é única, pois a disposição dos produtos compatíveis pode variar consoante a coloração do grafo.

46. Segunda forma de resolver (coloração das arestas) Observação: O número cromático das arestas deste grafo é 4, contudo, a definição de número cromático das arestas diz-nos, que para colorir um grafo devemos usar o número mínimo de cores. Neste caso, a aresta preta devia ser verde. Logo o número cromático das arestas será 3. Resposta: Preciso de quatro gavetas para colocar os produtos, temos três combinações possíveis para arrumar os medicamentos compatíveis. Por exemplo, a combinação dada pela cor verde: C1C3, C2C5, C4C7, C6.

47. Teorema das quatro cores Qualquer mapa de regiões, desenhado num plano pode ser colorido com quatro cores de modo a que as regiões adjacentes (arestas comuns ou parcialmente comuns) fiquem com cores diferentes. Exemplo: Mapa da Europa

48. Se a cada aresta de um grafo se associar um número natural, chamado peso, ficamos com um grafo “pesado”. • Árvore é um grafo conexo e sem ciclos. • Dado um grafo G, uma árvore geradora de G é um subgrafo G’ de G, tal que G’ é uma árvore e possui todos os vértices de G. • Num grafo “pesado” G, a árvore geradora mínima é uma árvore geradora de G, para a qual é mínima a soma dos pesos das arestas envolvidas.

49. Exemplo: O concelho de uma cidade, que possui um orçamento muito limitado, quer pavimentar algumas estradas de forma a que se possa ir de qualquer cidade para qualquer cidade só por estrada pavimentada. Directa ou indirectamente. A autarquia quer minimizar o número total de quilómetros a pavimentar. Procure a rede de estradas a pavimentar que preencherá todos estes requisitos.

50. Algoritmo de Kruskal • Escolher a aresta menos pesada: AB • Das restantes arestas escolher a aresta menos pesada: BD • Continuar sucessivamente mas sem nunca escolher uma aresta que feche um ciclo. Peso total: 88Km