TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 9 : Maksimum - Minimum

1. TBF 121 - Genel Matematik IDERS – 9 :Maksimum - Minimum Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. Kritik Değerler(Critical Values). Önceki dersimizde tanımlandığı üzere bir fonksiyonun bir yerel maksimum değeri belli bir aralık üzerinde fonksiyonun aldığı en büyük değer, yerel minimum değeri de belli bir aralık üzerinde fonksiyonun aldığı en küçük değerdir. Dolayısıyla, bir fonksiyonun birden çok yerel maksimum veya yerel minimum değerleri bulunabilir. Bu değerler fonksiyonun tanım kümesinin iç noktalarında ortaya çıkabileceği gibi, varsa uç noktalarında da ortaya çıkabilir. y y =f(x) c1 c3 x c2 c4 c6 c5 Yukarıda grafiği verilen fonksiyonu için f(c2),f(c4),ve f(c6) değerleri yerel maksimum, f(c1),f(c3),ve f(c5) değerleri de yerel minimum değerleridir. Yerel Ekstremum Teoremi. Birf fonksiyonu için f (c), fnin iç nokta yerel maksimum veya yerel minimum değeri ise, ya f '(c) = 0 veyaf '(c) tanımsızdır. f(x)in tanımlı olduğu; ancak, f '(x)in tanımsız olduğu veya f '(x) =0 olanx değerleri ile f nin tanım kümesinin, varsa, uç noktalarına ffonksiyonunun kritik değerleri veya kritik noktalarıdenir.

3. y x Örnek.f(x) = x3 – 3x2 +4un kritik noktaları: y f´(x) = 3x2 - 6x = 0  x=0 veya x=2. 0 x 2 Örnek.f(x) = x3ün kritik değeri: f ´(x) = 3x2 = 0  x=0. 0 y Örnek. nin kritik değerleri: 1 –1 1 x 0 Ayrıca, uç noktalar x=-1 vex=1 dekritik noktalar.

4. y x Örnek. y f´(1)tanımsızolduğundanx = 1 kritik değerdir, başka kritik değer yok. 1 x Örnek. fonksiyonunun kritik değerleri: y f´(x) = 0x = 1veya x = 3 x = 1ve x = 3kritik. 2 x 3 1 Örnek. f(2)vef´(2)tanımsızkritik değer yok. 2

5. y y y y x x x x m m m m c c c c n n n n x x x x c c c c c , fnin kritik değeri ise, f (c)nin yerel ekstremum durumu f ´(x)inccivarında işareti incelenerek belirlenebilir. Ortaya çıkabilecek durumlar aşağıda gösterilmiştir: - - - - f ´(x) + + + + yerel maksimum - - - - f ´(x) + + + + yerel minimum f ´(c)tanımsız; yerel maks. veya yerel min. yok - - - - f ´(x) - - - - f ´(c) = 0 yerel maks. veya yerel min. yok + + + + f ´(x) + + + + BİRİNCİ TÜREV TESTİ

6. f(x)= 3x4 - 4x3 + 6x2 -12x + 15 in yerel ekstremum değerleri. Örnek. 1 x – + + + + + + + - - - - - - - - -  0 f(1)= 8 yerel minimum. in yerel ekstremum değerleri. Örnek.  x = 0 ve x = 1 kritik. y 1 0 x –  + + - - - - - - 0 - - - - - - - x 0 1 5/2 f(0) = 0 yerel minimum, f(1) = 3 yerel maksimum.

7. f(x)= |x + 2| + 1 in yerel ekstremum değerleri. Örnek.  x = -2 kritik. y f(-2) = 1 yerel minimum. (–2,1) x 0 f(x)= x4 - 12x3 + 30x2 - 28x + 45 in yerel ekstremum değerleri. Örnek. 7 1 x –  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + 0 x =7’de yerel minimum (f(7) = -396 ), x =1’dene yerel maksimum ne de yerel minimum ( f(1) = 36).

8. Birinci türev testi, türevin mevcut olması koşuluyla uç nokta kritik değerleri için de kullanılabilir. Örneğin, c,ffonksiyonunun tanım kümesinde bir sol uç nokta ve • (c,d) gibi bir aralıktaki herxiçin f’(x) < 0ise,f(c) değeri bir uç nokta yerel maksimu-mudur. • (c,d) gibi bir aralıktaki her xiçin f’(x) > 0ise,f(c) değeri bir uç nokta yerel minimu-mudur.  Benzer şekilde, c,ffonksiyonunun tanım kümesinde bir sağ uç nokta ve • (b,c) gibi bir aralıktaki her xiçin f’(x) < 0ise,f(c) değeri bir uç nokta yerel minimu-mudur. • (b,c) gibi bir aralıktaki herxiçin f’(x) > 0ise,f(c) değeri bir uç nokta yerel maksimu-mudur. Örnek. ün tanım kümesi [0,∞) 1 x 0  + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - 0 f(0) = 4 bir uç nokta yerel maksimumu, f(1) = 2bir iç nokta yerel minimumu.

9. Bir kritik değerin yerel maksimum durumu ikinci türevin o değerdeki işaretiyle de belirlenir: c, f nin kritik değeri ve f´(c) = 0 ise, • f ´´(c) < 0  f (c) yerel maksimum • f ´´(c) > 0  f (c) yerel minimum İKİNCİ TÜREV TESTİ • f ´´(c) = 0 test çalışmaz Örnek. in kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. f´(x) = 3x2-12x + 9 = 0 x = 1veya x = 3. f ´´(x) = 6x-12 f ´´(1) = -6ve f ´´(3) = 6 O halde, f (1) = 5yerel maksimum ve f (3) = 1yerel minimumdur.

10. in kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. Örnek. f´(x) = ex+xex = ex(x+1) = 0 x = -1 f ´´(x) = ex(x+1) + ex= ex(x+2) f ´´(-1) = = e-1 O halde, f (-1) = -e-1 yerel minimumdur. Örnek. rasyonel fonksiyonunun tanım kümesi ℝ\{–1} dir.  f(0) = 0 yerel minimum.  f(-2) = -4 yerel maksimum. Uyarı. Bir kritik noktada birinci türev testi, o noktada türev mevcut olmasa da fonksiyon sürekli olmak koşuluyla uygulanabilir. İkinci türev testinin uygulanabilmesi için ise, fonksiyonun o noktada hem birinci türevinin hem de ikinci türevinin mevcut olması ve ikinci türevin sıfırdan farklı olması gerekir.

11. in kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. Örnek. tanımsız, ikinci türev testi uygulanamaz. Birinci türev testi ile, f(0) = 0 yerel minimum. in kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. Örnek. , ikinci türev testi uygulanamaz. Birinci türev testi ile, f(0) = 0 ne yerel maksimum ne de yerel minimum. in kritik değerlerine ikinci türev testini uygulayalım. Örnek. , ikinci türev testi uygulanamaz. Birinci türev testi ile, f(0) = 0 ne yerel minimum.

12. y y x x Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum.Bir fonksiyonun tanım kümesinde aldığı değerlerden en büyüğü varsa, o en büyük değere fonksiyonun mutlak maksimumdeğeri denir. Eğer fonksiyonun tanım kümesinde aldığı değerlerden en küçüğü varsa, o en küçük değere fonksiyonun mutlak minimumdeğeri denir. Diğer bir deyişle, ffonksiyonux = c’de tanımlı ve • fnin tanım kümesindeki her xiçin f(x) < f(c) ise,f(c) yefninmutlak maksimumdeğeri denir. • fnin tanım kümesindeki her xiçin f(x) > f(c) ise,f(c) yefninmutlak minimumdeğeri denir. Örnek.f(x) = 1-x2 fonksiyonunun mutlak maksimum değeri f(0) = 1 dir. Bu fonksi-yonun mutlak minimum değeri yoktur. Örnek.f(x) = 1+x2 fonksiyonunun mutlak minimum değerif(0) = 1 dir. Bu fonksi-yonun mutlak maksimum değeri yoktur.

13. Bir fonksiyonun bir aralık üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinden söz edilebileceği açıktır. Bir fonksiyon, belli bir aralık üzerinde sürekli, hatta türevli olsa dahi mutlak maksimum veya mutlak minimum değere sahip olmayabilir. Ancak şunu söyleyebiliriz: • Bir sürekli fonksiyon mutlak maksimum veya mutlak minimum değerlerini sadece kritik noktalarında alabilir. Eğer sürekli ffonksiyonunun tanım kümesi [a,), (b,), (–,a], (–,c), (–,) gibi bir sınırsız aralık ise, fnin yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulduktan sonra, duruma göre, xb+, x c–, x , x – iken fnin nasıl davrandığına bakılması gerekir. Eğer bu durumlardan herhangi birinde f fonksiyonu sınırsız olarak artan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak maksimum değeri yoktur; sınırsız olarak azalan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak minimum değeri yoktur. fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini Örnek. Şimdi, daha önce belirlemiştik: f(0) = 4 ve f(2) = 0. x –ikenf(x)  –vexikenf(x)  bu fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak minimum değeri yoktur.

14. y 1 x 0 fonksiyonu (-∞, ∞ ) aralığında tanımlıdır ve Örnek. f(0) = 0 yerel minimumdur. x – iken f(x)  1 vexikenf(x)  1 f(0) = 0 mutlak minimumdur. Mutlak maksimum yoktur.

15. y 3 x 1 0 fonksiyonu [0, ∞ ) aralığında tanımlıdır ve Örnek. f(0) = 0 yerel minimumu (uç nokta), f(1) = 2 yerel maksimum(iç nokta)dur. x iken f(1) = 2 mutlak maksimumdur. Mutlak minimum yoktur.

16. y 1 –1 0 x Eğer sürekli ffonksiyonunun tanım kümesi [a,b), (a,b], (a,b) gibi bir sınırlı aralık ise, fnin yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulduktan sonra, duruma göre, xb-, x a+ iken fnin nasıl davrandığına bakılması gerekir. Eğer bu durumlardan herhangi birinde f fonksiyonu sınırsız olarak artan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak maksimum değeri yoktur; sınırsız olarak azalan değerler alıyorsa, fonksiyonun mutlak minimum değeri yoktur. fonksiyonu (-1,1) aralığında tanımlıdır. Örnek. f(0) = 0 yerel maksimum. f(0) = 0 mutlak maksimum. Mutlak minimum yok.

17. y y= f (x) x a b f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ise, f bu aralıkta mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlere sahiptir. Şekilden de görüldüğü üzere, teoremde ifade edilen sonuç sağduyusal olarak aşikârdır. [a , b] aralığında sürekli olan f fonksiyonunun grafiği olan eğrinin en aşağıda ve en yukaerıda noktaları vardır. [a,b] aralığında sürekli bir f fonksiyonunun bu aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri ya f nin (a,b) aralığındaki kritik noktalarında ya da [a,b] aralığının uç noktalarında (x = a ve x = b de) ortaya çıkar.

18. denklemi ile verilen fonksiyonunun aşağıdaki aralıklardan Örnek. her birinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulalım: a) [-2,2] b) [0,2] c) [-2,5] f nin kritik değerleri Çözüm. olduğundan, x = -1ve x = 3tür. Her bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri şöyle belirlenir. a) [-2,2] aralığında sadece x = -1 kritik noktası vardır ve değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri , değerlerinden değeri de mutlak maksimum değeridir. b) [0,2] aralığında hiç kritik değer yoktur. değeri fnin bu aralıktaki mutlak maksimum değeri, değerlerinden değeri de mutlak minimum değeridir.

19. c) [ -2, 5] aralığında x = -1 ve x = 3 kritik noktaları vardır ve değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri , değerlerinden değeri de mutlak maksimum değeridir. Sürekli fonksiyonlar için maksimum–minimum teoremindeffonksiyonunun [a,b] aralığı üzerinde sürekli olması koşulu gerekli bir koşuldur. Bu koşulu sağlamayan bir fonksiyon [a,b] aralığı üzerinde mutlak maksimum veya mutlak minimum değere sahip olmayabilir. Örnek . parçalı tanımlı fonksiyonu x=1’de süreksizdir. Bu fonksiyonun kritik noktaları uç noktalar olan –3, 3; ve türevinin sıfır olduğu 0 ile tanımsız olduğu 1 dir. x 1– iken f(x)  – ve x 1+ iken f(x)  olduğundan bu fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlere sahip olmadığı görülür.

20. Problem. Tükenmez kalem üreten bir firmanın haftada xkalem üretmesi durumunda toplam gideri M(x) = 5000 + 2x bir kalemin satış fiyatı ise p(x) = 10 – (0.001) x, 0  x  10000 TL olarak veriliyor . a) Haftalık maksimum geliri bulunuz. b)Haftalık maksimum kârı, bu kârın gerçekleşmesi için haftada üretilmesi gereken kalem sayısını ve kalem başına fiyatı bulunuz. c) Eğer firma her bir kalem için 2TL vergi ödemek durumunda kalırsa, maksimum kâr ne olur ve bunun için haftada kaç kalem üretilmelidir? Bu durumda maksimum kâr için bir kalemin satış fiyatı ne olur? Çözüm. a) Gelir fonksiyonu G (x) = (10 – 0.001 x) x = 10 x – (0.001)x2 , 0  x  10 000 G (x) = 10 – (0.002) x = 0  x = 5000. G (0) = 0 , G (5000) = 25000 , G (10000) = 0 . Maksimum gelir: 25000TL.

21. b) Kâr fonksiyonu K (x)= G (x) – M(x) = 10 x – (0.001)x2 - (5000 + 2x) = -5000 + 8x - (0.001)x2. K (x) = 8 – (0.002) x = 0  x = 4000. K (0) = -5000 , K(10 000) = -25000 , K(4000) = 11000. Maksimum kâr:11000TL, 4000 kalem üretilince gerçekleşir. Bir kalemin satış fiyatı: p(4000) = 10 – (0.001)(4000) = 6TL. c)Kalem başına 2TL vergi ödenince gider fonksiyonu M(x) = 5000 + 2x + 2x = 5000 + 4x K (x) = G(x) – M(x) = 10 x – (0.001)x2 - (5000 + 4x) = -5000 + 6x - (0.001)x2 . K (x) = 6 – (0.002) x = 0  x = 3000. K(0)=.-5000 , K (3000) = 4 000 , K (10000) = -45000 Maksimum kâr:4000TL, 3000kalem üretilince gerçekleşir. Bir kalemin satış fiyatı: p(3000)= 10 – (0.001)(3000) =7TL.

22. Problem. Bir yüzme havuzu zararlı bakterilerin yok edilmesi için periyodik olarak ilaçlanıyor. İlaçlama yapıldıktan t gün sonra havuz suyunun her cm3 ünde C(t)= 30 t2 – 240 t + 500 , 0  t  8 bakteri görülüyor . Havuzdaki bakteri sayısı ilaçlamadan kaç gün sonra minimum olur? Çözüm. C(t) = 30 t2– 240 t + 500 , 0  t  8 C (t) = 60 t – 240 = 0  t = 4. C (0) =500 , C(4) = 20 , C(8) = 500. Havuzdaki bakteri sayısı ilaçlama yapıldıktan 4 gün sonra minimum olur ve minimum sayı C (4) = 20dir.

23. Şimdi günlük hayatta karşılaşılabilecek diğer bir maksimizasyon problemi örneği veriyoruz. Örnek Problem. Şekilde görül-düğü gibi, uzun bir duvarın önün-de bir tarafı duvar ve diğer üç ta-rafı tel-örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan oluşturulmak isteniyor. Bu iş için kullanılacak tel-örgü 24 metre olduğuna göre, oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? Maksimum alan ne olur? 24 m.

24. Problemin çözümü için dikdörtgenin duvara dik gelen kenarının uzunluğunu xile gösterelim. O zaman duvara paralel olan kenarın uzunluğu 24-2xmetreolur. Dik dörtgenin alanı x A (x) = x (24- 2x ) = 24 x – 2x2, 0 x 12 24 –2x olacağından A‘ (x) = 24 - 4x = 0 x = 6 A (0) = 0 , A (12) = 0 , A (6) = 72 Maksimum alan: A(6) = 6.12 = 72 m2 Maksimum alan için boyutlar : en6 m , boy12 m.

25. Problem. Bir ceviz üreticisi, geçmiş deneyimlerinden, dönüm başına 20 ağaç dikerse, her bir ağacın yılda ortalama 60 kg. ceviz vereceğini tahmin ediyor. Dönüm başına 20 ağaçtan sonra dikilecek her ağaç, ağaç başına yıllık verimi 2 kg. düşürüyor. Bir dönüme en çok 45 ağaç dikilebildiğine göre, maksimum verim için dönüm başına kaç ağaç dikilmelidir? 100 dönümlük bir toprağa ceviz ekilirse alınabilecek yıllık maksimum verim ne olur? Bir dönüme ekilecek ağaç sayısı: Çözüm. N(x) = 20 + x , 0 x  25 Dönüm başına yıllık verim: V(x) = (20 + x) (60 - 2 x) = 1200 +20x – 2x2 , 0 x  25 Dönüm başına 20 + 5 = 25 ağaç dikilirse yıllık verim maksimum olur: V(5) = 1250 kg. 100 dönümlük topraktan yıllık maksimum verim : 100.1250 = 125000 kg. V’ (x) = 20 –4x = 0 x = 5 V(0)= 1200 , V(25)= 450 , V(5)= 1250

26. Problem.Masa lambası imal edip satan bir imalatçı, haftada xadet lamba imal etmesi durumunda haftalık giderininM(x) = (0.2)x2 + 15x + 500 TL olacağını ve bir masa lambasını p TL den satışa sunarsa, fiyat talep denkleminin x = 75 – (0.6)p lamba olacağını tespit ediyor. İmalatçı, maksimum kâr için haftada kaç lamba imal etmelidir? Maksimum kâr ne olur? Bir lambanın satış fiyatı ve haftalık gelir: Çözüm. p(x) = -(5/3)x+ 125 , G(x) = -(5/3)x2+ 125x TL olur. Haftalık kâr K(x) = -(5/3)x2+ 125x -(0.2)x2 - 15x - 500 = -500 +110x – (5/3 +1/5)x2= -500 +110x – (28/15)x2 K’ (x) = 110 –(56/15)x = 0 x = (1650/56) = için K’ (x) > 0, için K’ (x) < 0. den küçük ve ona en yakın tamsayı olan Dolayısıyla, maksimum kâr için TL olur. 29 adet lamba imal edilip satılmalıdır. Maksimum kâr

27. Problem.Bir kiralık araç şirketi 50 veya daha az müşteriye hizmet verirse, müşteri başına net kârı 12 TL oluyor. 50 den fazla müşteriye hizmet vermesi durumunda 51’inciden itibaren her müşteri ortalama kârı 6 Kr düşürüyor. Hangi müşteri sayısı kârı maksimum yapar? 50’den x fazla müşteri alsın. O zaman kâr Çözüm. K(x) = (50 + x)(12 – 0.06x) , 0  x  200 TL olur. Kâr fonksiyonu için kritik noktalar K’(x) = (12 – 0.06x) – 0.06(50 + x) = -0.12x + 9 = 0  x = 75 ve uç noktalar olan x = 0, x = 200. K(0) = 600, K(75) = 125.(7.5) = 937.5, K(200 ) = 0 Dolayısıyla, maksimum kâr için müşteri sayısı 125 olmalıdır. Maksimum kâr 937.5 TL olur.

28. Problem.Çok katlı bir iş yerinde inşaat giderleri, birinci kat için 1 milyon TL, ikinci kat için 1.1 milyon TL, üçüncü kat için 1.2 milyon TL ve böylece her katta bir önceki kata göre 0.1 milyon TL artarak devam ediyor. Bina için yapılacak diğer giderler 5 milyon TL olacağı ve iş yerinin her katının yıllık getirisinin 0.2 milyon TL olacağı tahmin ediliyor. Tahminlerin doğru olduğu kabul edilirse, yıllık toplam getirinin bina için yapılan toplam yatırıma oranının maksimum olması için binanın kat sayısı kaç olmalıdır? Çözüm. Binanın kat sayısı x olsun. Bu takdirde toplam yatırım TL ve binanın yıllık getirisi TL olacaktır. Yıllık getirinin toplam yatırıma oranı 0 < x < 10 için, r’(x) > 0 ve x > 10 için r’(x) < 0 olduğundan r(x) mutlak maksimum değerine x = 10 olunca ulaşır, yıllık getirinin toplam yatırıma oranının maksimum olması için binanın kat sayısı 10 olmalıdır.

29. Problem.Geniş bir ırmağın kenarındaki bir elektrik fabrikasından ırmağın içindeki bir adaya bir kısmı toprak altından bir kısmı ırmak tabanından elektrik kablosu döşenecek-tir. Ada, fabrikanın bulunduğu noktadan 4 kmuzaklıktaki iskelenin tam karşısında ve iskeleden 1 kmuzaklıktadır. 1 km kablonun döşenmesinin maliyeti, toprak altından 30000 TL, ırmak tabanından ise 50000 TL olduğuna göre bu işin minimum maliyetle gerçekleştirilebilmesi için toprak altından ve ırmak tabanından kaçar km kablo döşenmesi gerekir? Minimum maliyet nedir? Çözüm. Durumu bir şekil üzerinde görelim. K İ F 1 x A M nin mutlak minimum değerinin M (1.25)=160000 TL. Minimum maliyet için 1.25 km kablo su altından, km kablo toprak altından.