Magnetostatica 3 6 giugno 2011

1. Magnetostatica 36 giugno 2011 Momento agente su un ago magnetico Forza agente su una spira Momento di forza agente su una spira Momento magnetico di dipolo Energia potenziale di una spira Teorema di equivalenza di Ampère Flusso del campo B Sorgenti del campo B

2. Momento agente su un ago in un campo B • Abbiamo visto che un ago magnetico in un campo B è soggetto ad una coppia il cui momento può essere misurato • Abbiamo introdotto il momento magnetico m dell’ago • m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la coppia risultante ha momento meccanico • E l’energia dell’ago nel campo esterno è, analogamente al caso elettrico, • Vediamo ora cosa accade per un a spira percorsa da corrente

3. z B n A B q O h x D C b y z B n q y x X Forza agente su una spira in un campo B uniforme • Spira rettangolare (per semplicità) che possa ruotare intorno ad un asse (x) perp. a B, disposto lungo z • Lati perp. all’asse di rotazione: • Sul lato AD (lunghezza h) agisce la forza • Su BC la stessa forza con segno opposto • Le forze sui due lati sono uguali ed opposte • Lati paralleli all’asse: • Sul lato AB (lunghezza b) agisce la forza • Su DC la stessa forza con segno opposto • Le forze sui due lati sono uguali ed opposte

4. z B n A B q O h x D C b y Momento agente su una spira in un campo B uniforme • Lati perpendicolari all’asse di rotazione • Possiamo considerare il momento della forza risultante invece che il risultante dei momenti • Le due forze sui lati AD, BC sono uguali, opposte e hanno la stessa linea d’azione, quindi il momento totale è nullo

5. z B n q y x X Momento agente su una spira in un campo B uniforme • Lati paralleli all’asse di rotazione • Di nuovo possiamo considerare il momento della forza risultante invece che il risultante dei momenti • Le due forze risultanti sui lati AB, DC sono uguali, opposte e hanno braccio • quindi hanno momento

6. Momento magnetico di una spira • Definiamo momento magnetico di una spira piana di forma arbitraria (o momento di dipolo magnetico), il vettore • A: area della spira • I: corrente circolante • n: versore normale alla spira • Il momento meccanico in un campo B può venir espresso nella stessa forma che per un ago magnetico

7. Energia potenziale di una spira • Scegliamo come zero dell’energia • U e` l’opposto del lavoro per andare da a

8. Sorgenti del campo B • Ampère intui’ che il magnetismo di un magnete altro non e` che l’effetto di correnti microscopiche all’interno della materia • Le sorgenti del campo magnetico non sono quindi le cariche magnetiche, ma le correnti elettriche

9. Teorema di equivalenza di Ampère • Questa intuizione e` suffragata dal teorema di equivalenza tra un magnete ed una spira 1) le azioni meccaniche esercitate da un campo B su di un magnete o su di una spira di ugual momento magnetico, sono uguali 2) a grande distanza il campo B di dipolo generato da una spira è uguale a quello di un magnete

10. Teorema di equivalenza di Ampère • Abbiamo dimostrato la prima parte: le azioni di un campo esterno B su un ago e una spira sono uguali, purché tra il momento dell’ago, la corrente e l’area della spira valga la relazione • Procediamo ora con la seconda parte

11. Teorema di equivalenza di Ampère • Calcoliamo il campo magnetico prodotto da una spira (raggio R e corrente i) a grande distanza r0 mediante la formula di Laplace r0 r R

12. Teorema di equivalenza di Ampère r0 dl R  f  Scriviamo le componenti cartesiane dei vettori R,dl, r0 e r 12

13. Teorema di equivalenza di Ampère Calcoliamo il prodotto esterno ed sviluppiamo r al denominatore al primo ordine in R/r0 Posto che l’integrale del campo diviene 13

14. Teorema di equivalenza di Ampère 14

15. Teorema di equivalenza di Ampère Componente x: Similmente per la componente y: 15

16. Teorema di equivalenza di Ampère Componente z: 16

17. Teorema di equivalenza di Ampère Posto m=iR2, momento magnetico della spira, in coordinate cartesiane il campo risulta In coordinate cilindriche 17

18. Teorema di equivalenza di Ampère In coordinate sferiche, infine Che è esattamente uguale al campo magnetico di un magnete, e che è a sua volta uguale al campo elettrico di un dipolo elettrico a grandi distanze 18

19. Flusso del campo B • Per il principio di sovrapposizione il campo B si può pensare come somma dei campi dovuti ai singoli portatori • Il flusso sarà • Basta quindi considerare il flusso di un singolo portatore, il cui campo è

20. Flusso del campo B • Per quanto detto sulla legge di Gauss, possiamo limitarci a calcolare il flusso attraverso una sfera con centro nella carica in moto • Le linee di b sono tangenti alla superficie sferica, quindi il flusso di b, e di conseguenza quello del campo totale B sono nulli • Cioè abbiamo la 3° equazione dell’em

21. Sorgenti del campo B • Se confrontiamo questo risultato con il caso elettrico possiamo affermare che l’annullamento del flusso di B stabilisce la non esistenza di cariche magnetiche

22. Forma differenziale della legge di assenza di carica magnetica • L’annullamento del flusso e della divergenza sono due aspetti della stessa cosa • Applichiamo il teorema della divergenza all’integrale del flusso • Ne segue che l’integrando nell’ultimo membro dev’essere nullo ovunque

23. Potenziale magnetico • Abbiamo visto che ad un campo E si puo` associare un potenziale scalareV • E` possibile fare una cosa analoga per il campo B? • La risposta e` no • E` invece possibile associare un potenziale vettoreA

24. Potenziali e.m. • Questo deriva formalmente dalle diverse proprieta` dei campi • Per il campo E e` sempre verificato • Per cui si puo` scrivere • In quanto la rotazione di un gradiente e` identicamente nulla • Per il campo B abbiamo invece • Non si puo` esprimere B come gradiente di un campo scalare, in quanto la divergenza di un gradiente non e` necessariamente nulla • E` pero` possibile esprimere B come rotazione di un campo vettoriale: • in quanto la divergenza di una rotazione e` identicamente nulla

25. Potenziali e.m. • Verifichiamo questa affermazione