1. GEOGEBRA NA SALA DE AULA Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) e Hugo Leonardo (DM/UFRPE). Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE). Agosto/2014

2. Introdução

3. Geogebra é um aplicativo de matemática que combina conceitos de geometria e álgebra em uma única interface. Sua distribuição é livre(download e uso gratuitos). Como projeto, foi iniciado em 2001 com o objetivo de ser utilizado em ambiente de sala de aula.

4. Ele permite realizar construções geométricas com pontos, retas, segmentos, polígonos, etc., assim como inserir funções e alterar esses objetos dinamicamente. Equações e coordenadas também podem ser diretamente inseridas. Assim, o Geogebra reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

5. Elementos básicos

6. Tela inicial

7. 1. Menus

8. 2. Visualização Aqui o usuário pode visualizar os objetos criados no Geogebra.

9. 2. Visualização Além da janela de visualização inicial, existem outros tipos que podem ser acessados (i) na barra lateral à extrema direita ou (ii) na barra de menus.

10. 3. Barra de ferramentas Grupos de objetos e ações disponíveis.

11. 3. Barra de ferramentas

12. 3. Barra de ferramentas

13. 3. Barra de ferramentas

14. 3. Barra de ferramentas Daremos ênfase aos seguintes recursos:

15. 3. Barra de ferramentas Daremos ênfase aos seguintes recursos:

16. 4. Campo de entrada Aqui podemos definir objetos como funções e pontos, além de realizar comandosalgébricos. Clicando no botão com a letra alfa, é possível inserir símbolos matemáticos.

17. 5. Janela de Álgebra Nessa janela, podem ser visualizadas fórmulas e objetos matemáticos inseridos no campo de visualização.

18. Exercícios

19. Os exercícios a seguir exploram os recursos do Geogebra e foram definidos com base na lista de assuntos de Matemáticanos quais os alunos da Escola Jarbas Passarinho possuem mais dificuldades. Motivação

20. Exercício 1 – definição Demonstração do cálculo da área de um: • Paralelogramo • Triângulo • Losango • Trapézio Assunto: Geometria Plana (apoio para ensino da Geometria Espacial);

21. Exercício 1 – passo a passo • Criar os polígonos. Dica: construir o paralelogramo fracionado em 1 quadrado e 2 triângulos. • Partindo da área do retângulo, fazer as manipulações necessárias para concluir a demonstração.

22. Exercício 1 – resultados b) a) c) d)

23. Exercício 1 – resultados b) a) c) d)

24. Provar o Teorema de Pitágoras através do uso de áreas. Exercício 2 – definição Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo

25. Exercício 2 – passo a passo Prova I • Construir um quadrado composto de outros dois quadrados menores de lados b e c, e quatro triângulos; • Retirar os dois quadrados e alterar a posição dos triângulos. Prova II • Construir um trapézio de altura b + c, de base menor b e base maior c; • Calcular a área do trapézio; • Igualar a área do trapézio à área das figuras que o compõem.

26. Exercício 2 – resultado

27. Provar: a) Lei dos Senos Exercício 3 – definição Assunto: Lei do seno e do cosseno

28. Exercício 3 – passo a passo Lei dos Senos • Definir triângulo inscrito, seno, ângulo inscrito e ângulos que determinam arcos; • Criar um triângulo inscrito. Por um determinado vértice, traçar o diâmetro e projetar outro triângulo como na figura a seguir. Nos outros vértices o processo é semelhante.

29. Exercício 3 – resultado

30. Outras formas de calcular a área de um triângulo: Exercício 4 – definição Em termos de dois de seus lados e o seno do ângulo localizado entre eles; Do semi-perímetro e do raio inscrito. Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).

31. Exercício 4 – passo a passo • Definir seno, lei dos senos, polígono inscrito e circunscrito, área, perímetro e semi-perímetro. • Criar os casos. a) Utilizar altura em termo do seno b) Utilizar definição de área e de semi-perímetro.

32. Exercício 4 – resultado

33. Provar fórmula de ângulos internos de um polígono regular Exercício 5 – definição Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).

34. Exercício 5 – passo a passo • Definir ângulos internos e polígonos regulares. • Criar polígonos regulares • Dividir os polígonos regulares em triângulos isósceles com a base correspondente aos lados dos polígonos regulares.

35. Exercício 5 – resultado

36. Exercício 6 – definição Provar ângulos notáveis. Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo

37. Exercício 6 – passo a passo • Definição de Seno, Cosseno e Tangente. • Definição das propriedades de um triângulo equilátero. • Criação de triângulos especiais. • Triângulo a partir da altura de um triângulo equilátero. • Triângulo a partir da diagonal de um quadrado. • Calculo do Seno, Cosseno e Tangente.

38. Exercício 6 – resultado

39. Exercícios 7 e 8 – tema Razões trigonométricas na circunferência. Assunto: Trigonometria no ciclo

40. Exercícios 7 e 8 – resultado

41. Construção de: Cosseno, Seno e Tangente. Exercício 7 – definição

42. Exercício 7 – passo a passo Cosseno • Criar o círculo trigonométrico • Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo X que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de cosseno.

43. Exercício 7 – resultado

44. Exercício 7 – passo a passo Seno • Criar o círculo trigonométrico • Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de seno.

45. Exercício 7 – resultado

46. Exercício 7 - passo a passo Tangente • Criar o círculo trigonométrico • Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência. • Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(1,0) • Prologar o segmento centro-vértice na circunferência até a reta tangente e nomear o segmento apropriado de tangente.

47. Exercício 7 – resultado

48. Construção de: Cossecante, Secante e Cotangente. Exercício 8 – definição

49. Exercício 8 – passo a passo Secante e Cossecante • Criar o círculo trigonométrico; • Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência; • Criar a reta tangente à circunferência no vértice do triângulo retângulo; • O ponto de intersecção dessa reta tangente com a reta OY nomeamos cossecante e com a reta OX nomeamos secante.

50. Exercício 8 – passo a passo Cotangente • Criar o círculo trigonométrico; • Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência; • Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(0,1); • Prologar o segmento centro - vértice na circunferência até a reta tangente, nomeando o segmento apropriado de cotangente.