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Ensino Superior. Matemática Básica. Unidade 1.1 – Teoria dos Conjuntos. Amintas Paiva Afonso. INDICE. CONJUNTOS. Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.

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Presentation Transcript

  1. Ensino Superior Matemática Básica Unidade 1.1 – Teoria dos Conjuntos Amintas Paiva Afonso

  2. INDICE

  3. CONJUNTOS Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.

  4. Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto. Exemplo: Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas

  5. NOTAÇÃO Todo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante ponto e vírgula. Exemplo: O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim: L = {a; b; c; ...; x; y; z}

  6. Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo: O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }. Ao número de elementos que tem um conjunto Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(Q). Exemplo: A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) = B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) = 5 3 ÍNDICE

  7. RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10} ... se lê 2 pertenece ao conjunto M ... se lê 5 não pertenece ao conjunto M ÍNDICE

  8. DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento. I) POR EXTENSÃO É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto. Exemplos: • O conjunto dos números pares maiores que • 5 e menores que 20. A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 } ÍNDICE

  9. B) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10. B = {-9; -7; -5; -3; -1 } II) POR ENTENDIMENTO É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto. Exemplo: P = {os números dígitos } Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

  10. Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”. Exemplo: Expressar por extensão e por entendimento o conjunto de dias da semana. Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado; domingo } Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana } ÍNDICE

  11. DIAGRAMAS DE VENN Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada. T M 7 6 (5;8) A (2;4) o 8 4 e a (7;6) i 5 (1;3) 1 u 3 9 2 ÍNDICE

  12. CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “ Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } P = { x / }

  13. CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um só elemento. Exemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = ; CONJUNTO FINITO É o conjunto com limitado número de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x2 = 4 }

  14. CONJUNTO INFINITO É o conjunto com ilimitado número de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par } ; CONJUNTO UNIVERSAL É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U O universo ou conjunto universal Exemplo: de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS. ÍNDICE

  15. RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS INCLUSÃO Um conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B. NOTAÇÃO : Se lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA : B A

  16. PROPRIEDADES: I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer que B contém A ( ) IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( ) V) Simbolicamente:

  17. CONJUNTOS COMPARÁVEIS Um conjunto A é COMPARÁVEL com outro conjunto B se entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão. A é comparável com B se A U B = B U A Exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 } A Observe que B está incluso em A, portanto, A e B são COMPARÁVEIS 5 1 4 3 2 B

  18. IGUALDADE DE CONJUNTOS Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos. Exemplo: A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 } Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B Simbolicamente :

  19. CONJUNTOS DISJUNTOS Dois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos comuns. REPRESENTACÃO GRÁFICA : Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISJUNTOS  B A 7 4 9  6 5 3 2 1 8 

  20. CONJUNTO DE CONJUNTOS É um conjunto cujos elementos são conjuntos. Exemplo: F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} } Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos. {a} é um elemento do conjunto F então {a} F É correto dizer que {b} F ? NÃO Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F

  21. CONJUNTO POTÊNCIA O conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Exemplo:Seja A = { m; n; p } Os subconjuntos de A são: {m}, {n}, {p}, {m;n}, {m;p}, {n;p}, {m;n;p}, Φ Então o conjunto potência de A é: P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ } QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?

  22. Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potência ou seja P(A) tem 8 elementos. Se 5 < x < 15 e é um número par então B = { 6; 8; 10; 12; 14 } PROPRIEDADE: Observe que o conjunto B tem 5 elementos então: Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n. Card P(B) = 2n P(B) = 25 = 32 Exemplo: Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e 5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B). RESPOSTA ÍNDICE

  23. CONJUNTOS NUMÉRICOS

  24. CONJUNTOS NUMÉRICOS C R Q I Z N

  25. CONJUNTOS NUMÉRICOS P={3} EXEMPLOS: Expressar por extensão os seguintes conjuntos: Q={-3;3} A ) F = { } B ) C ) D ) E ) RESPOSTAS INDICE

  26. UNIÃO DE CONJUNTOS O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos. Exemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

  27. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO DE CONJUNTOS Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis U U A B B A AUB AUB U A B Se A e B são conjuntos disjuntos

  28. PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS 1. A U A = A 2. A U B = B U A 3. A UΦ= A 4. A U U = U 5. (AUB)UC = AU(BUC) 6. Se A U B = Φ A = Φ e B = Φ ÍNDICE

  29. INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B. Exemplo: A B 2 8 1 7 7 6 6 3 5 5 9 4

  30. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Se A e B são comparáveis Se A e B são não comparáveis U U A B B A A B = B A B U A B Se A e B são conjuntos disjuntos A B = Φ

  31. PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 1. A  A = A 2. A  B = B  A 3. A Φ= Φ 4. A  U = A 5. (A  B)  C =A (B  C) 6. A U (B  C) =(A U B)  (A U C) A  (B U C) =(A B) U (A C) ÍNDICE

  32. DIFERENÇA DE CONJUNTOS O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Exemplo: A B 2 8 1 7 7 6 6 3 5 5 9 4

  33. A - B = B - A ? O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Exemplo: A B 2 8 1 7 7 6 6 3 5 5 9 4

  34. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA DIFERENÇA DE CONJUNTOS Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis U U A B B A A - B A - B U A B Se A e B são conjuntos disjuntos A – B = A ÍNDICE

  35. DIFERENÇA SIMÉTRICA O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa é el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a (A - B) ou (B - A). Exemplo: A B 2 8 1 7 7 6 6 3 5 5 9 4

  36. Também é correto afirmar que: A B A - B B - A B A

  37. COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A. Notacão: A’ ou AC Simbolicamente: A’ = U - A Exemplo: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {1; 3; 5; 7; 9} e

  38. U A A 8 2 3 1 7 A’ = {2; 4; 6; 8} 5 9 6 4 PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO 1. (A’)’ = A 4. U’ = Φ 5. Φ’ = U 2. A U A’ = U 3. A  A’ = Φ ÍNDICE

  39. PROBLEMA 1 • PROBLEMA 2 • PROBLEMA 3 • PROBLEMA 4 • PROBLEMA 5 • FIM

  40. Dados os conjuntos: A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34} B = { 2; 4; 6; ...; 26} C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31} a) Expressar B e C por entendimento b) Calcular: n(B) + n(A) c) Achar: A B , C – A 1 SOLUÇÃO

  41. ... ... Primeiro analisemos cada conjunto Os elementos de A são: A = { 1+3n / nZ / 0  n  11} n(A) = 12 Os elementos de B são: B = { 2n / nZ / 1  n  13} n(B) = 13

  42. ... Os elementos de C são: C = { 3 + 4n / nZ / 0  n  7 } n(C) = 8 a) Expressar B e C por entendimento B = { 2n / nZ / 1  n  18} C = { 3+4n / nZ / 0  n  7 } b) Calcular: n(B) + n(A) n(B) + n(A) = 13 +12 = 25

  43. c) Achar: A B , C – A A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26} C = {3;7;11;15;19;23;27;31} Sabemos que A  B é formado pelos elementos comuns de A e B, então: A  B = { 4; 10; 16; 22 } Sabemos que C - A é formado pelos elementos de C que não pertencem a A, então: C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }

  44. Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 } Determinar se é verdadeiro ou falso: a) Φ G b) {3}  G c) {{7}; 10}  G d) {{3}; 1}  G e) {1; 5; 11}  G 2 SOLUÇÃO

  45. Observe que os elementos de A são: 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 Então: é VERDADEIRO porque Φ está incluso em todos os conjuntos a) Φ G .... b) {3}  G ... é VERDADEIRO porque {3} é um elemento de G é FALSO porque {{7};10} não é elemento de G c) {{7}; 10}  G ... d) {{3}; 1}  G ... é FALSO e) {1; 5; 11}  G ... esVERDADERO

  46. 3 Dados os conjuntos: P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 } M = { x/4N / -4 < x < 21 } T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 } a) Calcular: M - ( T – P ) b) Calcular: Pot(M – T ) c) Calcular: (M U T) – P SOLUÇÃO

  47. – 1 2x  x + 3  Analisemos cada conjunto: P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 } 2x2 + 5x – 3 = 0 2x - 1 = 0  x = 1/2 x + 3 = 0  x = -3 Observe que xZ , então: (2x-1)(x+3)=0 P = { -3 } M = { x/4N / -4 < x < 21 } Como x/4  N então os valores de x são: 4; 8; 12; 16; 20 porém os elementos de M se obtêm dividindo x entre 4, portanto : M = {1; 2; 3; 4; 5 }

  48. T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 } Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de x x – 4 = 0  x = 4 x2 – 9 = 0  x2 = 9  x = 3 ou x = -3 Portanto: T = { -3; 3; 4 } a) Calcular: M - ( T – P ) T – P={ -3; 3; 4 } - { -3 }T – P= {3; 4 } M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 } M - (T – P)= {1; 2; 5 }

  49. b) Calcular: Pot( M – T ) M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } M – T = {1; 2; 5 } Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5}; {1;2}; {1;5}; {2;5}; Φ } {1;2;5}; c) Calcular: (M U T) – P M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U{ -3; 3; 4 } M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 } (M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 } (M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }

  50. B B A A C C Expressar a região sombreada em termos de operações entre os conjuntos A, B e C. 4 SOLUÇÃO

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