Persamaan Kuadrat (1)

Persamaan Kuadrat (1) HADI SUNARTO, SPd mashadisunarto@yahoo.com http://hadisoen.wordpress.com

PENGERTIAN • Persamaankuadratadalahsuatupersamaan yang pangkattertinggidarivariabelnyaadalah 2. • Bentukumumpersamaankuadratadalahax2 + bx + c = 0 dengana,b,c∈ R dimana R adalahhimpunanbilangan real dan a ≠ 0 . • Contoh : x2 + 2x + 1 = 0 2x2 − 4x + 3 = 0 x2 − 9x = 0 , 2x2 − 4 = 0, x2 + 7x = 10dan lain sebagainya.

PenyelesaianPersamaanKuadrat • Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat. • Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar) persamaan kuadrat : • Memfaktorkan • Melengkapkan kuadrat sempurna • Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

Memfaktorkan • Sebelumakandibahasmengenaiaturanfaktor nol. • Aturanfaktornolmenyatakanbahwahasil kali sebarangbilangandenganbilangannoladalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. • Jadijikahasil kali duabilangansamadengannolmakasalah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. • Secara simbolik dinyatakan bahwa jikaab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . • Kataataupada ” a = 0 atau b = 0 ” berartibahwasalahsatudaria atau b samadengannolataubisajadikedua-duanyasamadengan nol.

Denganmenggunakanaturanfaktornol, tentukanlahpenyelesaianpersamaankuadratberikutini. a. 4x2 − 32x = 0 b. 7x2 = −84x c. d. x2 + 5x + 6 = 0

PENYELESAIAN • 4x2 − 32x = 0 • Perhatikan antara suku pertama dan kedua ada faktor yg sama 4x shg • 4x(x -8) = 0 • 4x = 0 atau x-8 = 0 • x =0 atau x= 8 • Jadi HP { 0,8} • x2 + 5x + 6 = 0 • Dari persamaan tsb didapat a=1 ; b=5 ; c= 6 • Cari dua bilangan misal p dan q sehingga • p x q = 1x(6) = 6 • p+ q = 5 • Bilangan yg memenuhi syarat tsb adl 2 dan 3 shg • x2 + 5x + 6 = 0 • (x + 2)(x + 3) = 0 • x + 2 = 0 atau x +3 = 0 • x = -2 atau x = -3 • Jadi HP { -3 , -2 } • 7x2 = −84x • Kumpulkanpadasaturuaskiri • 7x2 + 84x=0 • Perhatikanantarasukupertamadankeduaadafaktorygsama 7x shg • 7x( x + 12) = 0 • 7x = 0 atau x +12 = 0 • x = 0 atau x = -12 • Jadi HP = { -12,0}

Dari persamaan tsb didapat a=2 ; b=5 ; c= -3 • Cari dua bilangan misal p dan q sehingga • p x q = 2x(-3) = -6 • p+ q = 5 • Bilangan yg memenuhi syarat tsb adl - 1 dan 6 shg • 2x2 + 5x – 3 = 0 • (2x – 1)(2x +6) = 0 • Ruas kika bagi dgn 2 maka • (2x- 1)(x + 3) = 0 • 2x – 1 = 0 atau x +3 = 0 • 2x = 1 atau x = -3 • x = ½ atau x = -3 • Jadi HP { -3 , ½ } • Untuk mempersingkat waktu gunakan pemfaktoran langsung • (√5x - √3)(√5x +√3) = 0 • √5x - √3 = 0 atau √5x +√3 = 0 • √5x = √3 atau √5x = -√3 • Jadi HP { - , }

MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA • Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diubah menjadi bentuk kuadrat dengan cara sebagai berikut. • Pastikan koefisien dari x adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1. • Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. • Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, (x + p)2 = q, dengan q  0 sedangkan ruas kanan dimanipulasi, sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana (x + p) = p  , atau x = -p 

x2 – 4x – 5 = 0 x2 – 4x – 5 = 0 • x2 – 4x = 5 • x2 – 4x + (1/2. (-4))2 = 5 + (1/2. (-4))2 • x2 – 4x + (-2)2 = 5 + (-2)2 • (x-2)2 = 5 + 4 • (x-2)2 = 9 • x-2= ±√9 • x =2 ±3 • x = 2+3 atau x = 2-3 • x = 5 atau x = -1 HP ={ -1,5}

2x2 – x – 1 = 0 2x2 – x – 1 = 0 ( kikadibagi 2) • x2 – ½ x - ½ = 0 • x2 – ½ x = ½ • x2 – ½ x + (1/2. (- 1/2))2 = ½ + (1/2. (-1/2))2 • x2 – ½ x + (- ¼ )2 = ½ + (- ¼ )2 • (x- ¼ )2 = ½ + 1/16 • (x- ¼ )2 = 9/16 • x- ¼ = ±√9/16 • x = ¼ ± ¾ • x = ¼ + ¾ atau x = ¼ - ¾ • x = 1 atau x = - ½ HP ={ - ½ , 1}

x2 + 2x = 0 x2 + 2x = 0 • x2 + 2x + ( ½ .2)2 = 0 + ( ½ .2)2 • x2 + 2x + (1)2 = 0 + (1)2 • (x +1)2 = 1 • x + 1= ± 1 • x = ± 1 - 1 • x = 1 -1 atau x = -1 - 1 • x = 0 atau x = - 2 HP ={ -2, 0}

Rumusabc • Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. • Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : (cobalah melengkapi) • ax2 + bx + c = 0  ax2 + bx = - c 

Rumusabc • Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0 • Maka

Persamaan Kuadrat (1)