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A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense. 2. . ESTUDO DA RETA. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense. 3. REALIZA

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    1. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 1

    2. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 2

    3. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 3 REALIZAO COLGIO CASCAVELENSE SRIE : LEVE O PROFESSOR PR CASA DIREO PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)

    4. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 4 Condio de alinhamento de trs pontos por determinante Teorema Trs pontos A(xA;yA), B(xB;yB) e C(xC;yC) so colineares se, e somente se: xA yA 1 det. = xB yB 1 = 0 xC yC 1

    5. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 5 OBS: Dois pontos esto sempre alinhados Trs pontos distintos podem: a) Estar alinhados (det = 0). Nesse caso dizemos que os pontos esto colineares. b) Determinar um tringulo. (det. ? 0)

    6. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 6 Ex:01 Verifique se os pontos A, B e C esto alinhados: a) A(3, 2), B(4, 1) e C(1, 4). Sol: Vamos calcular o determinante: 3 2 1 D = 4 1 1 = 3 + 2 + 16 - 1 1 4 1 - 12 - 21 = 0 Resp: Como D = 0, os pontos so colineares. b) A(2, 3);B(-2,-5) e C(-1,-3) c) A(-2, 0), B(1, 3) e C(2, 4) d) A(1, 2), B(3, 4) e C(3, -1) e) A(1, 0), B(3, 1) e C(-7, 0) Resp: a) e b) sim; c) e d) no

    7. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 7 Ex:02 Determinar os valores de a de modo que os pontos A(a;7),B(2,-3) e C(a,1) sejam vrtices de um tringulo. Sol: Pontos vrtices de um tringulo ? Det.? 0 a 7 1 Det. = 2 -3 1 ? 0 ? -3 a +7 a +2 + 3 a -a -14 ? 0 a 1 1 ? 6 a 12 ? 0 ? a ? 2. Resp: a ? 2.

    8. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 8 Ex:03 Determinar m para que os pontos A(-1,m); B(2, -3) e C(-4, 5): A) estejam alinhados Sol: Pontos alinhados ? Det. = 0 (resolva e confira que ?) m = 1. b) Sejam vrtices de um tringulo Sol: Trs pontos vrtices de um tringulo ? Det. ? 0 (resolva e confira que ?) m ? 1.

    9. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 9 Ex:04 Os pontos A(-3,a), B(9, b) e C(1, -2) so colineares. Determine o valor de 2 a + b. Sol: Pontos colineares ? Det. = 0. (Armando e resolvendo o determinante, encontramos que: 2 a + b = -6).

    10. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 10

    11. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 11 Equao Geral da reta Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um ponto genrico P(x, y).Para que A, B e C sejam alinhados, devemos ter: (Faa grfico no PC) x y 1 Det = 0 ? 2 1 1 = 0. 1 -1 1 Desenvolvendo esse det, temos como resultado final: 2x y 3 = 0. Essa equao representa todos os pontos P(x,y) que esto alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, chamada de Equao Geral da Reta.

    12. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 12 Equao Geral da reta (Cont.) Representao: ax + by + c = 0 Dados: A(xA; yA), B(xB; yB) e P(x; y).

    13. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 13 Ex: Determinar os coeficientes a, b e c de cada equao de reta abaixo : A) 3x 2y 7 = 0 => (a = ;b = ;c = ) B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = ) C) 3x 2 = 0 => (a = ; b= ; c = ) D) 5 2y = 0 => (a = ; b= ; c = ) E) x = 0 => (a = ; b= ; c = ) F) y = 0 => (a = ; b= ; c = )

    14. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 14 Ex: 06 Determine a equao geral da reta que passa pelos pontos: A(3, 1) e B(6, 3) Sol: Considere um ponto genrico P(x,y) pertencente a reta r que passa pelos pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento: x y 1 Det = 0 ? 3 1 1 = 0. Desenvolvendo o 6 3 1 determinante, temos: (r) : 2x 3y 3 = 0.

    15. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 15 Continuao: b) A (3, 2 ) e B (2, 1) c) A(-1, 2) e B(-3, -2) d) A(0, 2) e B(6, 0) e) A(-3, 2) e B(1, 4) Em todos itens aplicar e desenvolver det. = 0 . Resp: a) (s): x y 1 = 0 b) (t): 2x y + 4 = 0 c) (w): x + 3y 6 = 0 d) (k): x 2y + 7 = 0

    16. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 16 Ex:07 Determinar a equao geral da reta r em cada caso: a)

    17. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 17 Equao Reduzida da reta Para se encontrar a equao reduzida de uma reta basta se tirar o valor de y na equao geral ax + by + c = 0 (b ? 0), ou seja: by = - ax c => y = - a/b. x + (-c/a) => y = m.x + q Onde : m = - a/b => (Coeficiente angular da reta) e q = - c/b => (Coeficiente linear da reta a ordenada do ponto interseo com o eixo y).

    18. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 18 Ex:08 Determinar a eq. reduzida e os coeficientes angular e linear das retas: A) 3x + 4y 12 = 0 B) 2x 3y 7 = 0 C) ax + by + c = 0 D) 2x y + 3 = 0 E) que passa pelos pontos A(-1, 2) e B(1, 3). Resp: a) y = -3/4 x + 3; m = -3/4 e q = 3 b) y = 2/3 x 7/3; m = 2/3 e q = - 7/3 c) y = -a/b.x c/a; m=-a/b e q = - c/a d) y = 2x + 3; m = 2 e q = 3 e) y = x +5/2; m = e q = 5/2

    19. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 19 O que inclinao(?) de uma reta? o menor ngulo entre uma reta e o eixo dos x, orientado no sentido anti-horrio do eixo dos x para a reta ( 0? < 180).

    20. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 20 O que inclinao(?) de uma reta? (cont.) .

    21. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 21 O que Coeficiente Angular? Definio: Chama-se coeficiente Angular (ou declividade) de uma reta no vertical, tangente trigonomtrica da sua inclinao. Representa-se por m.Ou seja: m = tg ?

    22. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 22 Determinao do Coeficiente Angular dados dois pontos. Seja r uma reta no vertical onde A(xA,yA), B(xB,yB) so dois de seus pontos.

    23. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 23 Observaes importantes do Coeficiente Angular. 1) ? = 0 ? tg ? = tg 0 ? m = 0 2) 0 < ? < 90 ? tg ? > 0 ? m > 0 3) 90 < ? < 180 ? tg ? < 0 ? m < 0 4) ? = 90 ? tg ? = tg 90 ? ? m

    24. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 24 Ex:09 Determinar a inclinao(?),os coeficientes Angular/Linear das retas: A)

    25. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 25 Continuao do Ex: 09 C)

    26. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 26 Ex:10 Assinale as afirmativas verdadeiras: 01. Toda reta tem coeficiente angular; 02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo; 04. Se a inclinao de uma reta um ngulo obtuso o seu coef.angular negativo; 08. Se o coef. Angular de uma reta positivo, a sua inclinao ser um ngulo positivo; 16. Uma reta perpendicular ao eixo das abscissas no tem coeficiente angular . Soma: 30

    27. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 27 Ex:11 Ache o coef. Angular da reta que passa pelos pontos e comente a sua inclinao. a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7) Sol: m = yB yA = -7 - (-5) => m=2/5 (? agudo) xB xA -9 (-4) b) A(1, -3) e B(-3, 0) c) A(5, -2) e B(1, -2) d) A(4, -5) e B(4, -8) Resp: b) m = -3/4 (obtuso); c) m = 0 (nulo) d) m ? (? = 90)

    28. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 28 Condio de alinhamento de trs pontos por coeficiente angular. Teorema: Trs pontos A(xA,yA),B(xB,yB) e C(xC,yC) so colineares se, e somente se m AB = m BC, ou no existem m AB e m BC.

    29. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 29 Ex:12 Verificar se os pontos esto alinhados: A(4, 5), B(6,10) e C(0. -5). Sol: Vamos usar a condio dos coeficiente angulares, ou seja: m AB = m BC. m AB = y B y A = 10 5 = 5 / 2 x B x A 6 4 m BC = y C y B = -5 10 = -15 = 5 / 2 x C - x B 0 - 6 - 6 Resp: Como m AB = m BC = 5/2=> (Alinhados) A(2, 3), B(2 +4t, 3 5t) e C(2 +4n, 3 5n). Sol: (Pra voc RESOLVER) Resp: (Alinhados)

    30. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 30 Ex:13 Determinar eq. geral e reduzida das retas dados dois pontos A(-3, -5) e B(-7, -8). Sol:Considerando um ponto genrico P(x, y) da reta AB, e a igualdade de coeficientes angulares m PA = m AB, temos: y P y A = y B y A => y (-5) = -8 (-5) => x P x A x B x A x (-3) x + 3 => 3x - 4y 1 = 0 (Geral) e y = x (reduzida) b) A(2, -1) e B(-3, 2) Sol: (Pra voc) Resp: 3x + 5y 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5

    31. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 31 Clculo de equao de reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular. Dados: ponto A(x A, y A) e Coef. Ang. (m). Para clculo da equao, usa-se um ponto genrico P(x, y) da reta, e ento: m = tg ? = y y A ou seja: y y A = m x x A x x A ou ainda : y y A = m(x x A)

    32. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 32 Ex:14 Ache a equao da reta (r) nos seguintes casos: Passando por A(3, -4) e m = - 5/2. Sol: Usando P(x, y) ? r e tg ? = m => => y (-4) = - 5/2 => (r) 5x + 2y 7 = 0 x - 3 b) Passa pelo ponto P(-2, 1) e tem m= -3. Sol: (pra voc) Resp: 3x + y + 5 = 0

    33. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 33 Clculo de equao de reta dados um ponto e a Inclinao (? ? 90). Dados: ponto A(x A, y A) e a Inclinao (?). I) Determinamos o coef.Angular: m = tg ?. II) Usa-se agora o processo do clculo da reta da qual tem-se um ponto e m, ou seja: y y A = m ( x x A)

    34. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 34 Ex:14 Obtenha a eq. da reta(r) que passa pelo ponto A(7, 1) e tem inclinao 45. Sol: Inicialmente precisamos determinar o coef. Angular: m = t g ? = t g 45 = 1. A reta procurada possui m = 1 e passa pelo ponto A(7, 1). Assim: y y A = m (x x A) => y 1 = 1.(x 7) => (r) x y 6 = 0. Ex: Idem para; A(0,1) e ? = 150. Sol: (Pra voc) Resp: (r) ?3 x + 3y 3 = 0

    35. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 35 Ex:15 Determine as equaes das retas r e s mostradas na figura. Sol: (pra voc) Resp: (r):y = ?3/3 x 2 e (s): y =-x + 4

    36. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 36 Equao da 1Bissetriz ou bissetriz dos quadrantes mpares(b13) Determinao da equao: Temos que ? = 45 => m= tg ? = 1. O ponto origem O(0,0) ? b13. Assim: y y o = m ( x x o) => y 0 = 1(x-0) => y = x (Todo ponto que pertence a b13 tem coordenadas iguais).

    37. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 37 Equao da 2Bissetriz ou bissetriz dos quadrantes pares(b24) Determinao da equao: Temos que ? = 135 => m= tg ? = - 1. O ponto origem O(0,0) ? b24. Assim: y y o = m ( x x o) => y 0 = 1(x - 0) => y = - x (Todo ponto que pertence a b24 tem coordenadas opostas (ou simtricas) ).

    38. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 38 Interseo de duas retas Todo ponto de interseo de duas (ou mais) retas tem de satisfazer(pertencer) as equaes das duas (ou mais) retas.Este ponto comum P(x o,y o) determinado resolvendo o sistema formado pelas equaes.

    39. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 39 Ex:16 Obter a interseo das retas:(r) x y + 1 = 0 e (s) 2x + y 2 = 0 Sol: Vamos resolver o sistema pelo mtodo da adio: x y + 1 = 0 ( I ) 2x + y 2 = 0 ( II ) 3x 1 = 0 => x = 1/3. Substituindo em (I), temos: 1/3 y + 1 = 0 => y = 4/3. Logo, a interseo de r com s P(1/3; 4/3)

    40. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 40 Ex:17 Determinar o ponto I de interseo entre as retas: A) r: 2x + 5y 3 = 0 e s: x y + 2 = 0. Sol: Pra voc Resp: I(-1, 1) B) r: y = 2x 3 e s: y = 3x 5. Sol: Pra voc Resp: I(2, 1) C)

    41. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 41 ATENO: Concorrncia de 3 retas em um mesmo ponto Dadas as equaes de 3 retas para verificar se elas concorrem num mesmo ponto, basta que se determine o ponto de interseo de duas, em seguida verifique se o ponto encontrado pertence a terceira reta, caso pertena, ento as retas so concorrentes em um mesmo ponto.

    42. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 42 Ex:18 Provar que as retas 2x + 3y 1 = 0, x + y =0 e 3x + 4y 1 = 0 concorrem no mesmo ponto. Sol: 1) Determinemos P, interseo da 1 com a 2reta ; 2x + 3y 1 = 0 => x = -1 e y = 1 x + y = 0 =>P(-1,1) 2) Provemos que P pertence a 3 reta; 3xp + 4yp 1 = 3.(-1)+ 4.1-1 =-3 + 4 1 = 0. Fica provado ento que as retas concorrem no mesmo ponto.

    43. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 43 Sol: Pra voc Resp: No. Ex:20(UFC) Encontre o nmero real m de modo que as retas: x + y = 8; 2x 3y = 6 e 5x + my = 3 passem por um mesmo ponto. Resp: m = -27 / 2.

    44. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 44 Equao Segmentria da Reta Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos entre si e localizados sobre os eixos. Aplicando o det. nos pontos,encontramos a equao: x y 1 p 0 1 = 0 => pq = qx + py 0 q 1 (dividindo por pq) => X/P + Y/q = 1

    45. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 45 Ex:21 Obter a equao segmentria da reta nos casos: A) passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, -5). Sol: Usando x + y = 1 => x + y = 1 a b 2 -5 b)

    46. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 46 Ex:22 Obter a equao segmentria da reta cuja equao geral 2x 3y + 4 = 0 Sol: 2x 3y + 4 = 0 => 2x 3y = - 4 (dividindo a equao por -4) => 2x + (-3y) = -4 => -4 -4 -4 x + y = 1 -2 4/3 Ex: 23 Idem para 4x + 3y 2 = 0. Sol: Pr voc Resp: x/(1/2) + y/(2/3) = 1

    47. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 47 Equaes Paramtricas So as equaes que no relacionam diretamente as coordenadas x e y. Tais equaes so dadas em funo de uma terceira varivel, t, chamada parmetro: x = f(t) y = g(t), f e g so funes afins OBS: A partir das equaes paramtricas, obtm-se a equao geral, eliminando-se o parmetro t.

    48. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 48 Ex:24 Determinar a equao geral da reta r dadas as paramtricas: A) x = 2t + 4 y = t 3 Sol: Vamos isolar t na segunda equao: y + 3 = t => t = y + 3. Substituindo t por y + 3 na 1 equao,temos: x = 2(y + 3) + 4 => x 2y 10 = 0 a equao geral de r. B) x = 3t e y = 3 t. Sol: Pr voc Resp: (r) x + 3y 9 = 0

    49. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 49

    50. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 50 Exerccios de Reviso Ex:26 Determinar: a) a equao geral b) a equao reduzida; c) a equao segmentria; d) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2). Resp: a)5x - 6y 8 = 0; b) y = 5/6 x 4/3 c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6 Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentria das paramtricas: 2x = t + 1 e y = 3t 2. Resp: a) 6x y 5 = 0; b) y = 6x 5; c) x / (5/6) + y / -5 = 1

    51. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 51 RETAS PARALELAS:(//) Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s)a2x + b2y + c2 = 0,distintas e no verticais, so paralelas se, e somente se, tm coeficientes angulares iguais. Dem: r // s ? ? = ? ? tg ? = tg ? ? m r = m s

    52. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 52 RETAS CONCORRENTES:(X) Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s)a2x + b2y + c2 = 0, elas sero concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes (r ? s = { P }). r X s => m r ? m s => - a1/ b1 ? -a2 / b2 => a1 / a2 ? b1 / b2

    53. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 53 RETAS PERPENDICULARES(?) Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0,distintas e no verticais, so perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares igual a - 1. Dem: Se r ? s, ento: ? = 90+ ? => tg ? = tg (90+ ?) => tg ? = sen (90+ ?) = cos ? => tg ? = - cotg ? =-1 / tg ? cos (90+ ?) -sen ? => tg ? . tg ? = -1 => m s . m r = - 1

    54. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 54 Ex:28Dadas as eq.de retas; (r) y = 3x + 5; (s) y = 3x- 2; (t) 6x- 2y+10= 0 e (u) y = 5x. Determinar a posio relativa entre: A) r e s b) r e t c) s e u. Sol: Temos que: i) m r = 3 e q r = 5; ii) m s = 3 e q s = -2; iii) a eq. reduzida de t y = 3x + 5 => m t = 3 e q t = 5; iv) m u = 5 e q u = 0. Assim, temos: a) m r = m s e q r ? q s =>r e s so paralelas distintas; b) m r = m t e q r ? q t => r e t so paralelas coincidentes; c) m s ? m u => s e u so concorrentes.

    55. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 55 Ex:29 Para que valores de a as retas r:3x + 2y 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 so paralelas? Sol: Escrevendo as eq. em forma reduzida temos: r: y = -3/2 x+ =>mr=-3/2 e qr=1/2 s: y = - ax/5 3/5=> ms =-a/5 e qs=-3/5. Para r // s => m r = m s => - 3/2 = - a/5 => a = 15 / 2. Nota: Observe que as retas so paralelas distintas, pois q r ? q s (1/2 ?- 3/5).

    56. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 56 Ex:30 Para que valores de a as retas r:(a-10)x y 4 = 0 e s:3ax + y + 1 = 0 so concorrentes? Sol: Retas concorrentes: r X s => m r ? m s => -a r / b r = -a s / b s NOTA: Sendo r:a x + b y + c = 0 (b ? 0) => m r = - a/b e q r = -c/b (Coeficientes angular e linear respectivamente). Ento: a - 10 ? -3 a ? a + 3 a - 10 ? 0 => a ? - 5 e a ? 2.

    57. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 57 Grfico Sol:Como r // s => m r = m s = tg ?= tg 135=> m r = -1. Temos que P(5, 2) ? r. Usando a equao fundamental da reta, assim: y y p = m r( x x p) =>y 2 = -1(x 5) => r: x + y 7 = 0

    58. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 58 Ex: 32 Determinar a eq. geral e reduzida da reta r que passa pelo ponto P(-1, 6) e paralela reta s: 4x +2y 1 = 0 Sol: Como r // s => m r = m s =-a/b = -4/2 => m r = -2. Temos que P(-1, 6) ? r. Pela equao fundamental da reta, temos: y y p = m r( x x p) =>y 6 = - 2 (x+1) => r: 2x+ y 4 = 0(ger.) e y = -2x + 4 (red)

    59. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 59 Ex:33 Obter a eq. reduzida da reta r que passa por P(4, 6) e perpendicular reta do grfico. . Sol: Se r ? s => m r.m s = -1. Temos que: m s = tg 120= tg (180- 60) = - tg 60= - ?3 ? m r = - 1/ m s = -1/-?3 = ?3/3. Pela equao fundamental da reta, temos: y y p = m r ( x x p) => y 6 = ?3/3 (x- 4) => y = ?3/3 x 4. ?3 / 3 + 6

    60. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 60 Ex:34 Obter a eq.geral da reta s que passa por P(2, -3) e perpendicular reta r: x + 2y + 5 = 0 Sol: Clculo de m r: m r = -a / b = -1/2. Como r ? s => m r. m s = -1 ? m s = 2. Temos que P(2, -3) ? r. Pela equao fundamental da reta, temos: y y p = m s. ( x x p) => y (-3) = 2 (x- 2) => (s): 2x y 7 = 0

    61. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 61 35: Ache a eq. da mediatriz do segmento AB, dados A(3,9) e B(1, 5) Sol: Esquema: O ponto mdio de AB M((3+1)/2 ;(9+5)/2)=> M(2,7) O coeficiente angular da reta AB: m AB=(9-5)/(3-1)= 2 A mediatriz r ? reta AB => m r. m AB = - 1 ? m r=-1/2 Pela equao fundamental da reta, temos: y y M = m s. ( x x M) => y 7 = -1/2 (x- 2) => a eq. da mediatriz (r): x +2 y -16 = 0

    62. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 62 Ex:36 Resolver o problema anterior usando Lugar Geomtrico. Sol: Lugar Geomtrico: O L.G. dos pontos que tm uma determinada propriedade o conjunto de pontos que contm todos esses pontos exclusivamente. A MEDIATRIZ de AB o L.G. dos pontos P(x,y) tal que (distncia) d(P, A) = d(P, B), isto , dos pontos eqidistantes de A e B. Vamos resolver o problema anterior. Dados os pontos A(3, 2), B(-2, -4) e o genrico P(x, y), temos: (quadrando a equao) d (P,A) = d (P,B) => (x 3)+(y +2) = (x + 2) + (y + 4) => Operando os quadrados e os termos semelhantes, temos: x + 2y 16 = 0

    63. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 63 37: Determine as coordenadas da projeo ortogonal do ponto A(3, -2) sobre a reta (r) 2x 3y + 14 = 0 Sol: Esquema Denominando a projeo de A(x,y) = r ? s i)Clculo de: m r = -a / b = -2 / -3= 2 / 3 ii)Clculo de m s: Como r ? s => m s = - 3 / 2 iii)Clculo de s: Usando y y A=m s(x x A) => s: 3x + 2y 5 = 0. iv) Clculo de A:A(x,y) = r ? s (armando sistema com as equaes das retas r e s, temos como soluo): x = -1 e y = 4 => A (-1, 4)

    64. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 64 38: Determine as coordenadas do ponto P, simtrico de P(-1,6) em relao reta (r) 3x-4y +2 =0 Sol: Esquema P(x,y) simtrico de P em relao reta r; a reta s perpendicular a reta r, logo: Coef. angular de r: m r = -a / b = 3 / 4 => m s = - 4/3. Equao da reta s: y y p = m s(x x p) => y 6 = -4/3 (x + 1) => (s): 4x + 3y 14 = 0. Coordenadas de M: M = r ? s (sistema) => M(2,2) Coord. P: x m = (x p+x p)/2=> 2=(-1+x p)/2=> x p= 5 ;y m = (y p+y p) / 2=>2 = (6+y p) / 2=>y p= -2. Logo P(5, -2)

    65. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 65 39: Considere o tringulo ABC, em que a reta AB tem por equao x 12y +6 = 0, e o vrtice C(1, 1). Ache a equao da altura relativa lado AB. Sol: Clculo de m AB: m AB = -a / b = -1 / -12 = 1/12. Clculo de m DC: Como AB ? DC => m DC = -12 Clculo da equao da altura DC : Usando a Eq.Fundamental: y y C = m DC(x = x C ) => y 1 = -12(x 1) => 12x + y 13 = 0

    66. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 66 NGULO ENTRE DUAS RETASSejam as retas r e s, e ? o ngulo agudo entre elas a)Retas no verticais b) Uma reta no possui coef.angular

    67. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 67 NOTAS: 1) Se no clculo da tg ? obtivermos tg ? = 0, isso significa que as retas r e s so paralelas. 2) Se o denominador da expresso m r m s 1 + m r .m s for igual a zero, ento o ngulo formado por r e s 90.

    68. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 68 Ex:40 Determinar os ngulos formados pelas retas. a) r: 2x + y -5 = 0 e s: 3x y 5 = 0 Sol: i) Clculo dos coef. Angulares das retas: m r = -a / b = -2 / -1= 2 => m r = 2 m s = -a / b = -3 /-1 = 3 => m s = 3 ii) Aplicando a frmula do ngulo agudo: tg ? = m r m s = - 2 3 = - 5 = 1 1 + mr.ms 1 +(-2).3 -5 => ? = arc tg 1 => ? = 45 (ngulo agudo). O ng. obtuso entre r e s o suplemento de ?, ou seja: ? = 180 - 45= 135

    69. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 69 Ex:41 Dados os pontos A(3, -1), B(1, 3) e C(4, 5), determinar ngulo agudo formada pelas retas AB e BC. Sol: i) Cal. dos coeficientes angulares: m AB = y B y A = 3 (-1) = 4 = - 2 x B - x A 1 3 -2 m BC = y c y B = 5 3 = 2 x c - x B 4 1 3 ii) Cal. do ngulo agudo: tg ? = mAB mBC = - 2 2/3 = - 8/3 = 8 1 + mAB. mBC 1 + (-2).2/3 -1/3 Resp: ? = arc. tg 8 (Consultando uma tabela: ? ?83)

    70. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 70 Ex:42 Determine o ngulo agudo formado pelas retas r: x = 3 e s: ?3 x + y + 5 = 0. Sol: i) Cal. dos coef. Angulares: m r = -a / b = -1 / 0 ? => r vertical. m s = -a / b = - ?3 / 1 = - ?3 . ii) Cl de ?: tg ? = 1 / l m s l = 1 / l - ?3 l = 1 / ?3 = ?3 / 3 ? ? = arc. tg ?3 / 3 => ? = 30

    71. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 71 Ex: 43 Determine a eq da reta r que passa por P(-1, 4) e forma ngulo de 45 com a reta s:4x +y +2 =0. Sol: i) Cal do m s: m s = - a/b = - 4/1= - 4. ii) Cal do m r: tg ? = m r m s => tg 45 = mr (-4) => 1+ mr.ms 1- 4mr m r + 4 = ?1 => a) m r + 4 = -1 => m r = 5 / 3 1 4mr 1 4mr b) m r + 4 = 1 => m r = - 5 / 3 1 4mr iii) Cl da eq da reta r que passa por P(-1,4) e: mr = 5/3 => y yp = mr(x xp) =>y 4 = 5/3 (x + 1) => 5x- 3y+17=0 b) mr = -5/3 =>y yp = mr(x xp) =>y 4 = -5/3 (x + 1) => 3x+5y+17=0

    72. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 72 DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P(xp; yp) e uma reta r de equao (r): ax + by + c = 0, a distncia entre P e r dada por: d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l ?a + b

    73. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 73 Ex:44 Calcular a distncia do ponto P(2,1) reta r: 3x 4y + 8 = 0. Sol: A d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l ?a + b onde: a = 3; b = -4; c = 8; x p = 2 e y p = 1. Logo: d(P,r) = l 3.2 + (-4).1 + 8 l = 10 = 2. ?3 + (-4) 5 Resp: d(P,r) = 2

    74. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 74 Ex:45 Calcular a distncia entre as retas r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0. Sol: i) r // s pois m r = m s = -12 / 5. ii) A distncia entre duas retas paralelas a distncia de um ponto P, pertencente a uma delas, at a outra.Para obter P(x,y)?r, atribuindo x p = 1 => 12.1+5y+25=0=>y p =-10 ? P(1; -10). iii) Calculando d(P,s) = l 12.1 + 5.(-10)+25l = 1 ?12 + 5 Logo a d (r,s) = d(P,s) = 1 Resp: d(r,s) = 1

    75. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 75 Ex:46 Calcular a medida da altura relativa ao vrtice A do tringulo ABC, onde A(-3;0), B(0; 0) e C(6; 8). Sol: A medida h da altura relativa do ponto A reta BC: h = d(A,BC). Uma equao da reta BC: x y 1 6 8 1 = 0 => 8x 6y = 0 0 0 1 4x 3y = 0 Cl. de h: h = d(A,BC) = l 4.(-3) + (-3).0 l = l -12 l = 12 / 5 ?4 + (-3) 5 Resp: h = 12 / 5

    76. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 76 Ex:47 Determinar o(s) ponto(s) do eixo y que dista(m) 2 unidades da reta r: 15x + 8y + 2 = 0. Sol: i) P ? 0y => P(0, a). ii) Temos que: d(P,r) = 2, assim: l 15.0 + 8 a + 2 l = 2 ? l 8 a + 2 l = 34 ?15 + 8 a) 8 a + 2 = 34 => a = 4 b) 8 a + 2 = -34 => a = -9/2 Resp: P(0; 4) e P(0; -9/2)

    77. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 77 Ex:48 Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0 estejam localizada a trs unidades de P(5,2). Sol: Usando a frmula distncia ponto/reta: d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l ?a + b 3 = l3.5 + 4.2 + k ?3 + 4 => l k + 23 l = 15 Logo: i) k + 23 = 15 => k = - 8 ii) k + 23 = - 23 => k = -38 Resp: k = -8 ou k = - 38.

    78. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 78 REA DE UM TRINGULO Dados trs pontos no colineares A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC), a rea S do tringulo formada por esses pontos dada por: S = . l D l onde: D = xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1

    79. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 79 Ex:49 Determinar a rea do tringulo de vrtices A(2,5(, B(0,1) e C(3,6). Sol: 2 5 1 i) Cal. de D: D = 0 1 1 = 2 3 6 1 Cal. da rea: A = lDl = .l2l = 1 Resp: A = 1 u.a.

    80. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 80 Ex:50 Calcule a rea do quadriltero de vrtices A(1,0) B(5,0), C(4,2) e D(0,3). Sol: Representa-se os pontos no plano. ii) Forma-se um det. com as coordenadas 1 0 D = 5 0 = 19 ? rea = .lDl = .l19l 4 2 0 3 rea = 19 / 2 u.a. 1 0

    81. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 81 Ex:51 Determinar a rea do tringulo limitado pelas retas r: y = 2x; s: y = 4x-8 e t: y = -2x+ 4. Sol: Os vrtices do tringulo so os pontos: {E} = r ? s; {F} = r ? t e {G} = s ? t .Todos os vrtices so determinados formando sistemas com os pares de retas:onde: E = (4, 8); F = (1, 2) e G(2, 0). Da ento a rea = . lDl = l12l = 6 Resp: rea = 6 u.a. Nota: D o determinante dos vrtices E, F e G

    82. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 82 Retas Bissetrizes (b1 e b2) dos ngulos entre duas Retas Concorrentes (r e s)

    83. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 83 Ex:52 Obter as equaes das bissetrizes dos ngulos formados pelas retas (r) 3x + 4y -1= 0 e (s) 12x 5y = 0. Sol: Pela teoria, temos: 3x + 4y -1 ? 12x 5y = 0 => 3x + 4y -1 ? 12x 5y = 0 ?3 + 4 ?12+5 5 13 => 13 ( 3x + 4y -1 ) ? 5 (12x 5y ) = 0, de onde Obtemos: 99x + 27y 13 = 0 ou -21x + 77y 13 = 0 NOTA: Observe que as bissetrizes so perpendiculares,pois; m1 = - 99 / 27 = - 11 / 3 e m2 = -21 / 77 = 3 / 11 => => m1 . m2 = -1 => b1 ? b2 .

    84. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 84 Ex:53 Qual a bissetriz do ngulo agudo formado pelas retas r: 2x + 3y -1 =0 e s: 3x +2y + 1 = 0? Sol: i) Obtemos as duas bissetrizes: 2x + 3y - 1 ? 3x +2y + 1 = 0 ?2 + 3 ?3 + 2 => (2x + 3y - 1 ) ? (3x +2y + 1) = 0 de onde temos: (b1) 2x + 3y - 1 + 3x +2y + 1 = 0 => x + y = 0 (b2) 2x + 3y - 1 - 3x -2y - 1 = 0 => x y + 2 = 0 ii) Qual delas a bissetriz do ngulo agudo? Tomamos um ponto qualquer P ? r e calculamos dPb1 e dPb2. A menor distncia corresponde a bissetriz do ngulo agudo. Na equao r, se x p = 2 => y p = -1, logo: P(2; -1). Da ento: d Pb1 = 1 / ?2 e d Pb2 = 5/ ?2 => d Pb1 < d Pb2 => Resp: (b1) x + y = 0

    85. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 85 EQUAO DO FEIXE DE RETAS PARALELAS Definio: Dada uma reta (r) a x + b y + c = 0, uma equao do feixe de retas paralelas a r (r): a x + b y + k = 0, onde k varia em ?.

    86. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 86 Ex:54 Dada a reta r: 3x + 4y + 1 = 0, determinar: a) uma equao do feixe de retas paralelas a r b) Obter uma equao do feixe,que dista 6 unidades do ponto P(-2;7). Sol: a) Uma reta do feixe de paralelas a r : ( r): 3x +4y +k = 0. b) Para obter k de modo que o ponto P diste 6 unidades de uma reta do feixe, resolve-se a equao: d (Pr) = 6 => l 3(-2) +4.7 +k l = 6 ? l22 + k l = 6 ?3 + 4 5 ? l 22 + k l = 30. Logo obtemos: i) 22 + k = 30 => k = 8 ou ii) 22 + k = - 30 => k = - 52. Resp: Temos ento duas retas do feixe distante 6 u de r: (r): 3x + 4y + 8 = 0 e (r): 3x + 4y 52 = 0

    87. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 87 FEIXE DE RETAS CONCORRENTES NUM PONTO Def. Feixe de retas concorrentes num ponto um conjunto de infinitas retas concorrentes num mesmo ponto C(x o,y o).

    88. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 88 Equao Cartesiana de um Feixe de Retas de Centro C(xo,yo). Seja C(xo,yo) o ponto comum (centro) a todas a retas do feixe e P(x,y) um ponto genrico de uma das retas do feixe (no perpendicular a 0x). Sendo m o coeficiente angular da reta tomada, teremos: m = (y yo) / (x xo) => y y o = m (x x o), que a medida que se atribua valores m ? ?, obtm-se a eq. de todas as retas que passam por C, com exceo da reta vertical do feixe, que tem como equao x = x o.

    89. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 89 FEIXE DE RETAS CONHECIDAS DUAS RETAS Sejam as retas (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0, concorrentes, que definem o feixe de retas de centro C(x o,y o). Afirmamos que: A equao do feixe de retas concorrentes em C(x o,y o) : ? (a1x + b1y + c1)+ ? (a2x + b2y + c2)= 0 (? ? ? e ? ? ? ).

    90. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 90 Ex:55 Determinar uma equao do feixe de retas concorrentes de centro C(4,6). Sol: i) Iniciamos obtendo as eq de duas retas distintas deste feixe. As mais simples so a vertical x = 4 ? x 4 = 0(I) e a horizontal y = 6 ? y 6 = 0 (II). Multiplicando ambos os membros de (I) por um parmetro real ? , as de (II) por ? e adicionando membro a membro estas duas equaes, obtemos uma equao do feixe: ?(x 4) + ?(y 6) = 0.

    91. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 91 Ex:56 Obter uma equao do feixe de retas concorrentes que contm as retas r: 2x y + 3 = 0 e s: x + 4y = 0. Sol: Sendo 2x y + 3 = 0 (i) e x + 4y = 0 (ii) ; Multiplicando ambos membros de (i) por ? e por ? ambos membros de (ii), onde ? e ? so reais e no simultaneamente nulos, obtm-se: ?(2x y + 3 ) = 0 e ?(x + 4y ) = 0. Adicionando membro a membro essas equaes, obtemos uma equao do feixe: ?(2x y + 3 ) + ?(x + 4y ) = 0.

    92. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 92 Ex:57 Obter o centro do feixe de retas concorrentes ?(2x + y 3) +?(x y + 6)=0, em que ? e ? so reais no simultaneamente nulos. Sol: Para obter as equaes de duas retas distintas desse feixe, basta atribuir valores a ? e ? no simultaneamente nulos. Por exemplo: ? = 1 e ? = 0 => 2x + y 3 = 0 ( i ) ? = 0 e ? = 1 => x y + 6 =0 ( ii ). As equaes (i) e (ii) representam duas eq do feixe. Resolvendo o sistema formado com as duas equaes encontramos o centro do feixe, ou seja: x = -1 e y = 5. Logo C(-1, 5)

    93. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 93 Inequaes do 1 grau com duas variveis Uma inequao do 1 grau com duas variveis admite infinitas solues, que podem ser representadas apenas graficamente. Ex: 2x y ? 0; x - 2y > 0;8y 1/3 x ? 0.

    94. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 94 Ex:58 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequaes: a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4 Sol: a)abscissas menores que 4; b) abscissas= 4; c) abscissas>4 a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4

    95. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 95

    96. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 96 Ex:60 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequaes: a) y < 2x + 4 b) y ? 2x + 4 Sol: a) Semiplano dos pontos abaixo (< ) da reta origem (y = 2x + 4). b) Semiplano da unio dos pontos dar reta origem com o conjunto dos pontos acima (?) dessa reta.

    97. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 97 Ex:61 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela inequao y ? -3x + 6. Sol: Iniciamos representando a reta origem do semiplano y = -3x + 6 (atribumos dois valores a x) no PC. O semiplano determinado pela inequao y ? -3x + 6 a unio da reta origem (=) com o conjunto dos pontos acima (>) dessa reta. Veja o grfico abaixo.

    98. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 98 Ex:62 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela inequao: 2x y 5 > 0. Sol: Isolamos a varivel y na inequao: 2x y 5 > 0 => y > -2x + 5 => y < 2x 5. Procedemos a seguir, da mesma forma do ex. 61, considerando os pontos abaixo (<) da equao origem (y = 2x 5). Veja grfico:

    99. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 99 Ex:63 Representar no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfaam o seguinte sistema de inequaes: x y + 1 > 0 y 2 ? 0 Sol: Isolando a varivel y nas inequaes, temos: y < x + 1 (i); e y ? 2 (ii). Representamos as inequaes no mesmo PC e verificamos os pontos da interseo dos semiplanos. Veja figura.

    100. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense 100 Contedo Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Produo e Diagramao Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Reviso Final Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Realizao Colgio Cascavelense

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