T E M A GEOMETRIA AXIOMÁTICA, SEGMENTOS DE RETA

1. T E M A • GEOMETRIA AXIOMÁTICA, SEGMENTOS DE RETA

2. CONTEÚDOS • Axiomática; • As Partes de uma Reta;

3. [ Um pouco de história ] Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa.

4. [Um pouco de história ] Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria. Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides.

5. [ O Método Axiomático] Na matemática, existem conceitos que determinam o modo de organizar o pensamento. São eles:

6. [ Conceitos Primitivos ] Um conceito é dito primitivo quando não necessita de definição, simplesmente é tido como verdade. Um exemplo é o “ponto”. O conceito primitivo deve ser representado por uma palavra (ou um conjunto de palavras) que possa ser de fácil aceitação e intuitivo .

7. [Axiomas ] Os axiomas (ou postulados) são regras simples (ou conjunto de regras) que determinam como os conceitos primitivos devem se comportar, suas propriedades e, além disso, são fatos não demonstráveis.

8. [ Teoremas ] Todas as proposições obtidas devem ser demonstradas, caso sejam verdadeiras, desde que sejam aceitos os axiomas como verdadeiros. Chamaremos estas proposições de teoremas.

9. [ Lemas ] Quando é preciso utilizar uma proposição auxiliar em uma demonstração de um teorema, chamamos esta proposição de lema.

10. [ Corolários ] As conseqüências imediatas dos teoremas são os corolários.

11. [ Geometria Euclidiana ] A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ela é chamada de Geometria Euclidiana, e descreve o mundo real.

12. [ Geometria Não-Euclidiana ] Na tentativa de demonstrar o (famoso) quinto postulado de Euclides, surgiram as Geometrias não-Euclidianas, como, por exemplo, a Geometria Hiperbólica.

13. [ Quinto Postulado de Euclides ] “Por um ponto P exterior a uma reta m, consideradas em um mesmo plano, existe uma única reta s paralela à reta m. m . s P

14. [ Definições, Teoremas e Demonstrações ] Uma definição é um conceito elaborado em função de elementos conhecidos. Por exemplo, a definição de segmento de reta: “parte ou porção da reta limitada por dois pontos”.

15. [ Definições, Teoremas e Demonstrações ] • Um teorema é aceito como uma verdade se ele for provado. • O enunciado de um teorema se divide em: • Hipótese • Tese

16. [ Definições, Teoremas e Demonstrações ] • Hipótese: conjunto de todas as informações iniciais • Tese: resultado ao qual se pretende chegar • Demonstração: conjunto de raciocínios que permite chegar à tese.

17. [ Noções Primitivas em Geometria Plana ] • As noções primitivas da geometria plana são: • Ponto • Reta • Plano A r

18. [ Axiomas de Existência ] • Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. • Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém. • Num plano há infinitos pontos.

19. [ Definições ] • Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. • 2. Duas retas contidas num mesmo plano são paralelas quando não possuem ponto em comum. A B r s

20. [ Definições ] 3. Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Representa-se por . B A

21. [ Definições ] 4. Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta com o conjunto dos pontos X tais que B está entre A e X é a semi-reta AB (indicada por ) . O ponto A é a origem da semi-reta. B A X

22. [ Observação ] Se A está entre B e C, as semi-retas e são ditas semi-retas opostas. B C A

23. [ Definições ] 5. Pontos coplanares são pontos pertencentes a um mesmo plano. A B

24. [ Axiomas de Determinação ] • Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa por eles. • Dados três pontos não colineares, existe um único plano que passa por eles.

25. [ Axiomas de Determinação ] 6. Se uma reta possui dois pontos que pertencem a um plano, então a reta está contida nesse plano.

26. A Geometria Plana estuda figuras planas, ou seja, figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano.

27. [ Classificação de Segmentos de Reta ] • Dois segmentos de reta podem ser classificados em: • Consecutivos • Colineares • Adjacentes

28. [Segmentos Consecutivos] Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é também extremidade do outro: B P R Q C A

29. [Segmentos Colineares] Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. D A B C P R Q

30. [Segmentos Adjacentes] Dois segmentos de reta são adjacentes se são consecutivos e colineares, e não possuem pontos internos em comum. P S R T M N

31. ] [Adição de Segmentos Dados dois segmentos e , tomando-se numa semi-reta qualquer de origem R os segmentos e tais que e , dizemos que o segmento é a soma de com

32. C B A D R T P

33. [Ponto Médio de Um Segmento] Dado um segmento , dizemos que M é ponto médio deste segmento se, e somente se, M está entre A e B e . M B A

34. [Distância entre Dois Pontos] Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é o comprimento do segmento , que será representado por m( ).

35. Por exemplo, se um segmento tem comprimento igual a três unidades de comprimento, então: 1 u.c. 1 u.c. 1 u.c. A B

36. [Exemplo] Observe a figura abaixo e determine sabendo que M é o ponto médio de . 2x - 5 x + 8 A M B

37. [Resolução] Como M é o ponto médio de , temos que , logo,

38. [Resolução] Mas

39. B A C [Proposição] Se em uma semi-reta considerarmos um segmento , com , então o ponto C estará entre A e B (o ponto C é chamado de ponto interno de ).

40. [Demonstração] Hipótese: Tese: C está entre A e B Observemos que, como B e C estão na mesma semi-reta de origem A, então A não pode estar entre B e C. B B A C A C

41. [Demonstração] Não pode acontecer também de termos B entre A e C, pois, caso fosse possível, teríamos que e, consequentemente, . Isto contraria a hipótese. Sendo assim, resta apenas a alternativa onde o ponto C está entre os pontos A e B.

42. [Razão da Secção Interna] Consideremos o segmento de reta e C um ponto interno deste segmento. A razão é chamada razão da seção interna. A C B

43. Vamos pensar um pouco? Se C for o ponto médio de , qual será a razão da seção interna? A C B

44. Certamente todos encontraram a resposta correta: k = 1.

45. [Exemplo] Um segmento de medida 9 cm foi dividido internamente por um ponto C na razão 2. Encontre a medida dos segmentos , e e esboce o segmento com seu respectivo ponto interno.

46. [Resolução] Inicialmente chamemos a medida do segmento de x. Ainda não sabemos exatamente a que distância de A encontra-se o ponto C. Suponhamos que ele esteja na seguinte posição: x A C B

47. [Resolução] Como o segmento mede 9 cm e o segmento mede x cm, então temos que . x 9 - x A C B

48. [Resolução] Sabemos ainda que k = 2, portanto Resolvendo a proporção acima, encontramos x = 6 cm. Desse modo, concluímos que e .

49. [Resolução] Agora podemos ter uma precisão quanto à posição do ponto C: 9cm 3cm B C A

50. [Razão da Seção Externa] Consideremos o segmento de reta e C um ponto fora deste segmento. A razão é chamada razão da seção externa. Qual é a diferença entre esta razão e a razão interna?