Estimación de Parámetros en tiempo real

1. Estimación de Parámetros en tiempo real

2. Estimación de Parámetros en tiempo real • La estimación de parámetros de un proceso es un elemento clave en el Control Adaptativo. César Martínez

3. Estructuras presentes en el Control Adaptativo • Una forma de estructura de estimación de parámetros se realiza implícitamente, típicamente encontrado en los modelos de referencia de sistemas adaptativos (MRAS). Éstos intentan alcanzar para una señal de entrada definida, un comportamiento en lazo cerrado dado por un modelo de referencia. César Martínez

4. Estructuras presentes en el Control Adaptativo • La otra forma de estructura de estimación de parámetros de un proceso es un bloque explícito (bloque de estimación), típicamente encontrado en los reguladores auto-entonados (STR). Éstos tratan de alcanzar un control óptimo, sujeto a un tipo de controlador y a obtener información del proceso y sus señales. César Martínez

5. Elementos para la Identificación de Sistemas • Los elementos clave para la identificación de los parámetros de un sistema son: • Estudio experimental (adquisición de datos). • Formulación de un criterio. • Seleccionar la estructura del modelo. • La estimación de parámetros. • La validación de estos parámetros estimados. César Martínez

6. Estimación de Parámetros en tiempo real • Seleccionar una señal de entrada requiere experiencia y conocimiento del tipo de proceso a controlar. • En el Control Adaptativo los parámetros del proceso cambian continuamente, por ello es necesario que los métodos de estimación actualicen los parámetros recursivamente. César Martínez

7. Método de Mínimos Cuadrados para la Estimación de Parámetros • Este método es particularmente sencillo si el modelo posee la propiedad de ser “lineal en los parámetros”. • Formulado por Karl Friedrich Gauss a finales del siglo XVIII. Su principio se basaba en que los parámetros de un modelo matemático deben ser escogidos de manera tal que la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores actuales observados y calculados del modelo, multiplicados por coeficientes que miden el grado de precisión, sea un mínimo. César Martínez

8. Método de Mínimos Cuadrados para la Estimación de Parámetros • La forma general del modelo matemático (modelo de regresión) en tiempo discreto al cual se le aplicará el método de mínimos cuadrados es: • : Variable de salida calculada según el modelo de regresión. • : Parámetros del modelo a ser estimados. • : Funciones conocidas, que también a su vez pueden depender de otras variables conocidas, denominadas variables de regresión o regresores. • : Típicamente denota tiempo. César Martínez

9. Método de Mínimos Cuadrados para la Estimación de Parámetros • Esta ecuación puede verse también como el producto escalar de dos vectores, de la forma: César Martínez

10. Método de Mínimos Cuadrados para la Estimación de Parámetros • A través de un experimento se pueden obtener pares ordenados de la variable observada y de regresores, de la forma: • El objetivo es determinar los parámetros del vector de manera que las salidas calculadas en el modelo de regresión concuerden lo más cerca posible con las variables de salida medidas y así minimizar la función de mínimos cuadrados. para César Martínez

11. Método de Mínimos Cuadrados para la Estimación de Parámetros • La función de Mínimos Cuadrados se puede expresar de la forma: • Introduciendo las notaciones: César Martínez

12. Método de Mínimos Cuadrados para la Estimación de Parámetros • Según el Teorema de estimación de los mínimos cuadrados, la función de mínimos cuadrados , es mínima para los parámetros si se cumple que: • Si la matriz es no-singular, el mínimo es único está dado por la ecuación: César Martínez

13. Interpretación geométrica del Método de Mínimos Cuadrados • Los vectores generan un subespacio de dimensión , un hiperplano en • La salida predecida se encuentra en este hiperplano formado por los vectores • Entonces el error es el más pequeño cuando es ortogonal a este hiperplano. César Martínez

14. Ejemplo de aplicación del Método de Mínimos Cuadrados • Considerando el sistema: • Donde es un ruido Gaussiano con desviación estándar de 0.1 • El sistema se puede escribir de la forma: • La salida se mide 4 veces para 7 diferentes entradas y se obtienen: César Martínez

15. Ejemplo de aplicación del Método de Mínimos Cuadrados César Martínez

16. Ejemplo de aplicación del Método de Mínimos Cuadrados • El usuario debe decidir el modelo apropiado a utilizar: César Martínez

17. Ejemplo de aplicación del Método de Mínimos Cuadrados • Se obtuvieron los siguiente resultados: • En conclusión, con pocos parámetros en el modelo no es posible obtener un buen ajuste de los datos. Si por el contrario, se usan demasiados parámetros el ajuste será muy bueno pero para otro conjunto de datos puede ser muy pobre, es lo que se denomina “Sobreajuste”. César Martínez

18. Método de Mínimos Cuadrados en tiempo continuo • En muchas aplicaciones es necesario realizar observaciones en tiempo continuo. • La ecuación del modelo de regresión nuevamente se utiliza pero ahora asumiendo una variable real continua. • La novedad se presenta al introducir en la nueva función de Mínimos Cuadrados en tiempo continuo un factor exponencial con un “parámetro de olvido”. • La ecuación es de la forma: César Martínez

19. Método de Mínimos Cuadrados en tiempo continuo • Se utiliza el mismo principio, es decir, determinar los parámetros del vector de manera que las salidas calculadas en el modelo de regresión concuerden lo más cerca posible con las variables de salida medidas y así minimizar la función de mínimos cuadrados. • El estimado en único si la matriz es invertible, con: César Martínez

20. Método de Mínimos Cuadrados en tiempo continuo • Según el Teorema de estimación de los mínimos cuadrados, asumiendo que la matriz es invertible para todo t, se debe satisfacer: • Con la matriz: César Martínez

21. Estimación de Parámetros en tiempo real usando Matlab • El Toolbox de Identificación de Sistemas de Matlab posee una interfaz gráfica que contiene la mayoría de las funciones de esta Toolbox, tipeando “ident” se inicia esta interfaz. César Martínez

22. Estimación de Parámetros en tiempo real usando Matlab • El comando de estimación general en Matlab es: MODEL = PEM(DATA,MODELSTRUCTURE) César Martínez

23. Estimación de Parámetros en tiempo real usando Matlab • DATA: Es la información o datos estimados en el formato de objeto IDDATA. DATA = IDDATA(Outputs,Inputs,SamplingInterval) • Se pueden seleccionar porciones de esta DATA, por ejemplo: DATA(1:200). • Outputs e Inputs son matrices de NxNy, con N siendo el número de datos y Ny el número de canales de salida. César Martínez

24. Estimación de Parámetros en tiempo real usando Matlab • MODELSTRUCTURE: Es una variable que define la estructura del modelo. • IOBB: Para modelos entrada/salida discretos de una sola salida. • SSBB: Para modelos en espacio de estados multisalida en tiempo discreto. • SSCT: Para modelos en tiempo continuo. • SSSTRUC: Para modelos en espacio de estados con estructura interna definida por el usuario, tanto en tiempo discreto como tiempo continuo. César Martínez

25. Estimación de Parámetros en tiempo real usando Matlab • Los modelos estimados son evaluados con el comando: • COMPARE(DATA,MODEL) • Este comando compara la salida del modelo medido en DATA con la respuesta del modelo. • STEP(MODEL), IMPULSE(MODEL): Grafican la respuesta ante un escalón o un impulso del modelo. • BODE(MODEL), NYQUIST(MODEL): Grafican el diagrama de Bode o de Nyquist. • PZMAP(MODEL): Grafica los polos y ceros del modelo. César Martínez

26. Estimación de Parámetros en tiempo real usando Matlab • present (MODEL): Muestra detalles del modelo. • get (MODEL): Muestra una lista completa de las propiedades del modelo. • MODEL = arx(Data,[na nb nk]): Estima los parámetros y del modelo ARX, el cual es de la forma: • Más explícitamente: César Martínez

27. Estimación de Parámetros en tiempo real usando Matlab • Donde na, nb, nk, corresponden a los órdenes y retardos que definen la estructura exacta del modelo. • MODEL = ar(t,na): Estima los parámetros del modelo AR, el cual es de la forma: • El cual se utiliza para una señal de salida sencilla César Martínez