Qu’est ce que les mathématiques ?

1. Qu’est ce que les mathématiques ? • Quels sont les apports positifs des mathématiques? • Quels sont les aspects négatifs de cette matière? • Pourquoi faire des maths ?

2. Qu’est ce que les mathématiques ? Nombres, figures, calcul, géométrie, algèbre, statistiques, probabilité, logique, abstrait, raisonnement, précision, … Beaucoup de mots viennent à l’esprit lorsqu’on évoque les mathématiques. Mais qu’est ce qui caractérise cette discipline au champ aussi vaste ? Qu’est ce que faire des mathématiques ? Et pourquoi en faire ?

3. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Les mathématiques ? Un langage • Définitions

4. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Les mathématiques ? Un langage • Définitions • Axiomes

5. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Les mathématiques ? Un langage • Définitions • Axiomes : Un axiomeest une propriété admise qui semble souvent, dans une certaine mesure, évidente. Elle ne se démontre pas elle constitue une des hypothèses à partir de laquelle on va bâtir une théorie.

6. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Définitions • Axiomes Exemple : 5ème axiome d’Euclide : Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée.

7. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Définitions • Axiomes Exemple : 5ème axiome d’Euclide : Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée.

8. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Définitions Démonstration • Axiomes

9. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • DéfinitionsPropriétés Démonstration • AxiomesThéorèmes

10. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • DéfinitionsPropriétés Démonstration • AxiomesThéorèmes Les énoncés établis visent un caractère universel, général.

11. Remarque :En modifiant les axiomes de départ on obtiendrait une tout autre théorie.

12. Remarque :En modifiant les axiomes de départ on obtiendrait une tout autre théorie. • C’est ainsi que Lobatchevski (1792-1856) a bâti une géométrie non euclidienne. Il a modifié le cinquième axiome d’Euclide de la manière suivante : par un point extérieur à une droite donnée passe plus d'une droite parallèle.

13. Lobatchevski (1792-1856)  : par un point extérieur à une droite donnée passe plus d'une droite parallèle.

14. Géométries non euclidiennes Einstein (1879 – 1955)

15. Géométries non euclidiennes Einstein (1879 – 1955) Théorie de la relativité qui repose sur la courbure de l’espace.

16. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Définitions Propriétés Démonstration • AxiomesThéorèmes Les énoncés établis visent un caractère universel, général.

17. La caractéristique de l’activité mathématiques La démonstration

18. La démonstration • Comprendre comment sont construits les théorèmes. • Cette compétence sera évaluée, notamment lors du bac.

19. Premières démonstrations de l’Histoire

20. Premières démonstrations de l’Histoire • Au 6ème siècle avant J-C les pythagoriciens pensaient que tous les nombres pouvaient s’écrire sous forme de fraction irréductible (c'est-à-dire simplifiée au maximum) • Aujourd’hui cet ensemble de nombres est appelé : ensemble des nombres rationnels • Il est noté .

21. Les nombresréels   ={… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; …} ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

22. Les nombresrationnels  ={… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; …} ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

23. Premières démonstrations de l’Histoire • Le problème qui probablement conduit aux premières démonstrations est le suivant : Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ?

24. 1 1 Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ? • Ce nombre peut être construit géométriquement puisque d’après le théorème de Pythagore c’est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1.

25. Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ? • Ne trouvant pas de nombre rationnel satisfaisant cette condition une question a dû naturellement être posée :

26. Quel est le nombre positif qui élevé au carré donne 2 ? • Ne trouvant pas de nombre rationnel satisfaisant cette condition une question a dû naturellement être posée : • et s’il n’était pas rationnel ?

27. Est-ce que le nombre positif qui élevé au carré donne 2 est rationnel? • On note ce nombre, démontrons qu’il est irrationnel en s’appuyant sur les pré- requis suivants :

28. Pré-requis • Connaissance de la multiplication et de la division. • Propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition. Et les identités remarquables. • Définition d’un nombre rationnel : r est un nombre rationnel s’il existe un entier a et un entier b non nul tels que • et tels que a et b ne possède pas de multiples communs (c'est-à-dire il n’existe pas d’entier n tel que a = n × a’ et b = n × b’ avec a’ et b’ deux entiers)

29. Pré-requis (suite) • Propriété : Si deux nombres sont égaux alors leurs carrés sont égaux. • Propriété : un nombre entier naturel est soit pair, soit impair.

30. Est-ce que le nombre positif qui élevé au carré donne 2 est rationnel? • On note ce nombre • Démontrons qu’il est irrationnel.

31. I. Les mathématiques : une science qui se construit elle-même grâce à la démonstration. • Nous avons vu comment la démonstration tissait des liens entre les différents énoncés qui constituent une certaine théorie mathématique. Nous avons fait apparaître comment elle permettait la construction solide et inébranlable des notions mathématiques, notions universelles qui résisteront à l’épreuve du temps.

32. Qu’est ce que les mathématiques ? • Ainsi les mathématiques peuvent être vu comme un jeu de l’esprit qui développe la logique, la rigueur, l’esprit déductif. D’ailleurs Isocrate (436 av. J.-C. – 338 av. J.-C.) disait • « les mathématiques sont une gymnastique de l’esprit et une préparation à la philosophie. » 

33. Qu’est ce que les mathématiques ? • Cependant c’est aussi un travail qui peut se révéler dur, pénible voir décourageant. • Mais qui est alors, peut être, encore plus gratifiant lorsqu’il est accompli.

34. Le travail des mathématiques • La résolution d’un exercice, la démonstration d’une propriété peut donc être semée d’embûches. Pour atteindre la vérité il faudra, peut être se tromper, opposer des idées dans un débat au sein de la classe par exemple. • Cependant dans cet espace abstrait et rassurant que sont les mathématiques on sait qu’au final on parviendra à s’entendre.

35. Le travail des mathématiques • En mathématiques on s’interroge donc sur la vérité de propositions, d’ailleurs un autre exercice qui peut être proposé au BAC est le vrai - faux.

36. Le travail des mathématiques • En mathématiques on s’interroge donc sur la vérité de propositions, d’ailleurs un autre exercice qui peut être proposé au BAC est le vrai - faux. • Étant donné qu’une propriété mathématique est universelle elle s’applique à tous les cas sans exception. Une méthode pour prouver qu’une proposition est fausse est donc de trouver un cas pour lequel la proposition ne s’applique pas. On dit qu’on a trouvé un contre exemple.

37. Exemple de vrai -faux • Proposition 1 :

38. Exemple de vrai -faux • Proposition 1 : Imprécis, inexploitable • Proposition 2 : Pour tout nombre réel

39. Exemple de vrai -faux • Proposition 1 : Imprécis, inexploitable • Proposition 2 : Pour tout nombre réel FAUX

40. Exemple de vrai -faux • Proposition 3 : • Pour tout nombre réel • Pour tout nombre réel

41. Vrai-faux • En testant des exemples cette proposition ne semble pas être contredite 

42. Vrai-faux • En testant des exemples cette proposition ne semble pas être contredite  • Cependant ces exemples, aussi nombreux soient-ils, ne démontreront jamais la proposition puisqu’elle énonce « pour tout nombre… »

43. Démontrons cette proposition 3 : • Pré requis : • Définition de la racine carré d’un nombre réel positif : Soit un nombre réel positif, la racine carrée de est le nombre positif dont le carré est égal à . On le note • Propriété : le produit de deux nombres réels de même signe (soit deux négatifs, soit deux positifs) est positif.

44. II. Les mathématiques et le réel.1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde.

45. II. Les mathématiques et le réel.1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde. • On notera bien que réel et mathématiquessont deux univers distincts. • le modèle mathématique n’est pas là pour traduire le réel dans son ensemble mais pour en éclairer une partie sous certaines hypothèses.

46. Modèle MATHÉMATIQUE RÉEL 1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde.

47. Modèle MATHÉMATIQUE Modélisation Teste la cohérence du modèle RÉEL 1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde.

48. Modèle MATHÉMATIQUE Modélisation Utilisation du résultat donné par le modèle (à exploiter de façon pertinente par rapport au réel.) Teste la cohérence du modèle RÉEL 1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde.

49. m 1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 1Le problème du pantalon sur un étendage Données : Le pantalon est au milieu et sa masse vaut m’=3Kg = ? Quelle masse m faut-il placer pour que le fil soit tendu?

50. Flèche pour 3kg m=6kg m m=3kg m=1,5kg 1) Les mathématiques : un enrichissement pour une meilleure compréhension du monde : Exemple 1Le problème du pantalon sur un étendage En réalisant l’expérience on observe : m’=3Kg