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Análise Combinatória

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  1. AnáliseCombinatória

  2. Introdução Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

  3. ELEMENTOS DA COMBINATÓRIA • Fatorial • Princípio fundamental da contagem - PFC • Permutações simples • Permutações com elementos repetidos • Arranjos simples • Combinações simples

  4. Fatorial Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4 . 3 . 2 . 1 Para n = 0 , teremos : 0! = 1.Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Exemplos:a) 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720b) 4! = 4 .3 . 2 . 1 = 24c) observe que 6! = 6 . 5 . 4!d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7. 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1e) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5!f ) 10! = 10 . 9 . 8!

  5. Princípio fundamental da contagem - PFC Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:T = k1 . K2 . K3 . ... . kn

  6. Aplicação Solução: Questão 1 De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?

  7. Exemplo: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Solução:

  8. Solução: Placa do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 que resulta em 175.760.000

  9. Permutações simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. Obs.: O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é   Pn = n!    onde    n! = n (n-1) (n-2) ... .1 . 

  10. Exemplo: Solução: Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

  11. Anagrama Os possíveis anagramas da palavra DEUS são: DEUS DESU DUES DUSE DSEU DSUE EDUS EDSU EUDS EUSD ESDU ESUD UESD UEDS UDES UDSE USDE USED SEDU SEUD SDEU SDUE SUDE SUED Total: 24 Calculando temos: 4! . 3 . 2 . 1 = 24 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

  12. (a, b, c, ...) n! Pn = a! b! c! ... Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

  13. (a, b, c, ...) 10! Pn = 2! 3! 2! ... (a, b, c, ...) 10 . 9 . 8 . 7 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 Pn = 2 . 1 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 (a, b, c, ...) 3628800 Pn = = 24 Exemplo: Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) 151 200

  14. n! A = (n – k)! n,k ARRANJOSSIMPLES Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

  15. Exemplo: Solução: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10 . 9 . 8 = 720. Observe que 720 = A10,3

  16. Combinações simples Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo: No conjunto E = {a,b.c,d} podemos considerar:a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.c) combinações de taxa 4: abcd.

  17. n! n! k C C = = k !(n – k)! k !(n – k)! n n,k n! k = k !(n – k)! n ou Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k  (taxa k) , temos a seguinte fórmula: o número acima é também conhecido como Número Binomial e indicado por:

  18. n! C = n,k k !(n – k)! 15! 15! C C = = 15,10 15,10 10 !(5)! 10 !(15 – 10)! 15 . 14 . 13 . 12 . 11 . 10! C = 15,10 10 !(5)! 360 360 C = = 15,10 120 Exemplo: Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.  Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 3003 formas

  19. Princípio aditivo de contagem Paulo entrou numa lanchonete com muita sede. Veja quais eram as bebidas disponíveis: 4 opções de refrigerante: R1, R2, R3 e R4; 3 opções de suco: S1, S2 e S3; 2 marcas de água mineral: A1 e A2. De quantas maneiras ele pode escolher uma bebida? Ele tem 9 formas diferentes (4 + 3 + 2 = 9) de escolher a bebida (R1, R2, R3, R4, S1 ,S2, S3, A1, A2). Esse problema ilustra o princípio aditivo de contagem.

  20. Princípio multiplicativo de contagem Ao abrir seu armário, hoje de manhã, Flávia encontrou 3 pares de tênis: T1, T2 e T3; 2 calças jeans: J1 e J2; 4 camisetas: C1, C2, C3 e C4. De quantas formas diferentes ela pode escolher um conjunto tênis-jeans-camiseta para ir à escola?

  21. OBSERVAÇÃO Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios.

  22. Agrupamentos ordenados ou não-ordenados Dependendo dos critérios usados, os agrupamentos podem ser de dois tipos: ordenados ou não-ordenados. É importante saber diferenciá-los.

  23. 5! C = 5,3 3 !(5 – 3)! n! C = n,k k !(n – k)! 5 x 4 x 3! C 10 = = 5,3 3 !x 2! A partir de um grupo que tem 5 estudantes (A, B, C, D, E), obter todas as maneiras de se formar uma comissão de 3 alunos. Analisar se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados. Para formar a comissão, é só escolher 3 entre os 5 estudantes. Veja as alternativas. {A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A,D, E}, {B, C, D}, {B, C, E), {B, D, E}, {C, D, E} São 10 formas diferentes. Nesse total, não consideramos, por exemplo, a comissão {D, C, A}. Ela é a mesma que {A, C, D}, que já foi contada. No caso, temos agrupamentos não-ordenados. Esta questão deve ser respondida usando:

  24. A partir do mesmo grupo de alunos (A, B, C, D, E), obter todas as maneiras de se formar a diretoria do grêmio da escola, composta de presidente (P), vice (V) e tesoureiro (T). Agora, devemos escolher 3 alunos entre os 5 e, em seguida, ordenar os escolhidos, conforme o cargo. É importante a ordem da escolha. Cada solução é uma sequência do tipo (P, V, T). Veja o cálculo através da permutação. Presidente: 5 opções Vice-Presidente: 4 opções Tesoureiro: 3 opções 5 x 4 x 3 = 60 maneiras As várias diretorias são formadas pêlos mesmos estudantes. Em cada uma delas, no entanto, as pessoas ocupam cargos diferentes. Concluímos que há 60 maneiras distintas de se formar a diretoria. São agrupamentos ordenados.

  25. Exercício

  26. 1. Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas diferentes ela pode fazer isso? Solução: O percurso dela se compõe de 2 etapas: entrada e saída. Vamos usar o princípio multiplicativo.Para a 1aetapa, ela tem 4 opções, porque são 4 portas. Escolhida a porta de entrada, ela tem 3 opções de saída, porque ela não usa novamente a porta por onde entrou.Conclusão: ela pode entrar e sair de 4 . 3 = 12 maneiras diferentes.

  27. Solução: 2. Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechadaPara a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem ( PFC ):N = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64  - 1 = 63.Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

  28. 3. Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números naturais podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Solução: Na 1ahipótese, são 3 etapas. Cada uma corresponde à escolha de um algarismo. Em cada etapa, há 7 opções, porque podemos repetir algarismos. Então: 7 x 7 x 7 = 343 números de três algarismos. Na 2a hipótese, o raciocínio é o mesmo, ou seja, são 4 etapas. Cada uma corresponde à escolha de um algarismo. Em cada etapa, há 7 opções, porque podemos repetir algarismos. Então: 7 x 7 x 7 x 7 = 2 401 números de quatro algarismos. Total = 343 + 2 401 = 2 744números.

  29. 4. Utilizando os algarismos 1, 2, 4, 5, 7 e 9, quantos números naturais maiores que 7000 e de 4 algarismos distintos podemos formar? Solução: Para o 1o algarismo (1a etapa), são 2 opções (7 ou 9). Os números formados devem ser maiores que 7 000. Para o 2o algarismo (2a etapa), são 5 opções. Um dos seis algarismos dados já foi usado na 1a posição. Para o 3o algarismo (3a etapa), há 4 opções. Dois dos seis algarismos já foram usados na 1a e 2a posições. Pelo mesmo raciocínio, há 3 opções para o 4o algarismo (4a etapa). Pelo princípio multiplicativo, podemos formar, no total, 2 x 5 x 4 x 3 = 120 números nas condições dadas.

  30. 4! C = 4,2 2 !(4 – 2)! n! C = n,k k !(n – k)! 4 . 3 . 2 . 1 C = 4,2 2 !(2)! 4 . 3 . 2 . 1 C 6 = = 4,2 2 . 1 . 2 . 1 5. A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? Solução: 6 comissões

  31. 6. Uma fábrica produz 3 modelos de automóveis, com 5 opções de cores. Cada um deles está disponível em 2 versões: duas portas e quatro portas. Quantas alternativas diferentes tem um comprador para adquirir um automóvel, levando-se em conta essas três variáveis? Solução: 3 opções de modelos 5 opções de cores 2 opções de versão (duas ou quatro portas) 3 x 5 x 2 = 30 alternativas diferentes

  32. 7. Normalmente, o uniforme de um clube de futebol é constituído por uma camisa, um calção e um par de meias. Um clube tem 3 opções de camisa, 2 de calção e 2 de meias. Quantas partidas ele pode jogar, no máximo, sem repetir o uniforme? Solução: 3 opções de camisa 2 opções de calção 2 opções de meias 3 x 2 x 2 = 12 partidas

  33. Solução: a) um comestível? O cliente pode escolher entre salgado ou sanduíche. Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem 8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De quantas formas diferentes um cliente pode escolher a) um comestível? b) uma bebida? c) um salgado e um refrigerante? d) um sanduíche e uma bebida? e) um comestível e uma bebida? 5 opções de salgado + 3 opções de sanduíche = 8 formas b) uma bebida? O cliente pode escolher entre suco ou refrigerante. Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem 2 opções de suco + 4 opções de refrigerante = 6 formas

  34. Solução: O cliente pode escolher entre um salgado e um refrigerante. Este “e” caracteriza o Princípio multiplicativo de contagem 8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De quantas formas diferentes um cliente pode escolher c) um salgado e um refrigerante? 5 opções de salgado x 4 opções de refrigerante = 20 formas

  35. Solução: O cliente pode escolher entre um sanduíche e uma bebida. Este “e” caracteriza o Princípio multiplicativo de contagem. Na escolha da bebida, o cliente pode optar por suco ou refrigerante. Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem. 8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De quantas formas diferentes um cliente pode escolher d) um sanduíche e uma bebida? 3 opções de sanduíche x (2 opções de suco + 4 opções de refrigerante) = 18 formas

  36. Solução: Para o comestível, o cliente pode escolher entre salgado ou sanduíche. Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem O cliente pode escolher entre um comestível e uma bebida. Este “e” caracteriza o Princípio multiplicativo de contagem. Na escolha da bebida, o cliente pode optar por suco ou refrigerante. Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem. 8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De quantas formas diferentes um cliente pode escolher e) um comestível e uma bebida? (5 opções de salgados + 3 opções de sanduíche) x (2 opções de suco + 4 opções de refrigerante) = 8 x 6 = 48 formas

  37. Solução: Para cada sentença temos V ou F, ou seja, 2 opções. Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem O aluno deve responder 8 sentenças. 28 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256 maneiras 9.Numa prova de matemática, foram dadas 8 sentenças. Em cada uma delas, o aluno deveria marcar uma das letras: V (verdadeira) ou F (falsa). De quantas maneiras diferentes as 8 marcações podem ser feitas?

  38. Solução: a) Qual é o total de números formados? 10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. a) Qual é o total de números formados? b) Quantos não têm algarismo repetido? c) Quantos têm pelo menos um algarismo repetido? d) Quantos são pares? e) Quantos são maiores que 6 000 e não têm algarismo repetido? São 4 etapas. Cada uma corresponde à escolha de um algarismo. Em cada etapa, há 5 opções, porque podemos repetir algarismos. Então: 5 x 5 x 5 x 5 = 625 números de quatro algarismos.

  39. Solução: Para o 1o algarismo (1a etapa), são 5 opções. Para o 2o algarismo (2a etapa), são 4 opções. Um dos cinco algarismos dados já foi usado na 1a posição. Para o 3o algarismo (3a etapa), há 3 opções. Dois dos cinco algarismos já foram usados na 1a e 2a posições. Pelo mesmo raciocínio, há 2 opções para o 4o algarismo (4a etapa). Pelo princípio multiplicativo, podemos formar, no total, 5 x 4 x 3 x 2 = 120 números na condição dada. 10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. b) Quantos não têm algarismo repetido?

  40. Solução: 625 números de quatro algarismos com a possibilidade de ocorrer repetição. 120 números de quatro algarismos com a possibilidade de não ocorrer repetição. 10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. c) Quantos têm pelo menos um algarismo repetido? 625 - 120 = 505 números de quatro algarismos com a possibilidade de pelo menos um algarismo repetido.

  41. Solução: São 4 etapas. Cada uma corresponde à escolha de um algarismo. Nas 3 primeiras etapas, há 5 opções (cada uma), porque podemos repetir algarismos. No entanto, na quarta etapa (para ocupar a quarta posição) temos apenas 4 opções, com os algarismos pares (2, 4, 6 e 8) 5 x 5 x 5 x 4 = 500 números de quatro algarismos. 10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. d) Quantos são pares?

  42. Solução: São 4 etapas. Para a 1a etapa temos 2 opção (Com os algarismos 6 e 8) Para a 2a etapa temos 4 opções (Com os algarismos 1, 2, 4 e 6 ou 8) 10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. e) Quantos são maiores que 6 000 e não têm algarismo repetido? Para a 3a etapa temos 3 opções (dois algarismos já foram utilizados na 1a e 2a etapa) Para a 4a etapa temos 2 opções (três algarismos já foram utilizados na 1a, 2a e 3aetapa) 2 x 4 x 3 x 2 = 48 números

  43. Solução: 11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas com quatro zeros (0000). a) Quantas placas diferentes podem ser feitas? b) Quantas têm as 3 letras e os 4 algarismos diferentes? c) Quantas só têm vogais e algarismos maiores que 6? d) Quantas têm 3 vogais diferentes e o primeiro e o último algarismos iguais? a) Quantas placas diferentes podem ser feitas? Para a 1a letra, 26 opções, para a 2a letra, 26 opções e para a 3a letra, 26 opções. Para o 1o número, 10 opções, para o 2o número, 10 opções, para o 3o número, 10 opções e para o 4o número, 10 opções. 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175 760 000 placas

  44. Solução: Para a 1a letra, 26 opções, para a 2a letra, 25 opções e para a 3a letra, 24 opções. 11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas com quatro zeros (0000). b) Quantas têm as 3 letras e os 4 algarismos diferentes? Para o 1o número, 10 opções, para o 2o número, 9 opções, para o 3o número, 8 opções e para o 4o número, 7 opções. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78 624 000 placas

  45. Solução: Para a 1a letra, 5 opções, para a 2a letra, 5 opções e para a 3a letra, 5 opções (temos apenas 5 vogais no alfabeto). 11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas com quatro zeros (0000). c) Quantas só têm vogais e algarismos maiores que 6? Para o 1o número, 3 opções, para o 2o número, 3 opções, para o 3o número, 3 opções e para o 4o número, 3 opções (temos apenas 3 algarismos maiores que 6, os algarismos 7, 8 e 9). 5 x 5 x 5 x 3 x 3 x 3 x 3 = 10 125 placas

  46. Solução: Para a 1a letra, 5 opções, para a 2a letra, 4 opções e para a 3a letra, 3 opções (temos apenas 5 vogais no alfabeto). Para o 1o número, 10 opções, para o 10o número, 10 opções, para o 3o número, 10 opções e para o 4o número, 1 opção (temos o primeiro e o último algarismo sendo iguais). 11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas com quatro zeros (0000). d) Quantas têm 3 vogais diferentes e o primeiro e o último algarismos iguais? 5 x 4 x 3 x 10 x 10 x 10 x 1 = 60 000 placas

  47. 12. Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra" (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra AMOR: AMOR, OMAR, MORA, MARO Formam-se todos os anagramas de CARINHO. a) Qual é o total de anagramas? b) Quantos começam por vogal? c) Quantos terminam em CA, nesta ordem? d) Quantos têm o C e o A juntos, nesta ordem? Solução: a) Qual é o total de anagramas? Existem 7 letras diferentes, portanto temos 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040 anagramas

  48. Solução: Existem 7 letras diferentes, portanto temos: Existem 3 vogais diferentes, formando 3 opções para a 1a letra do anagrama (1ª posição),sobrando seis posições (para as demais letras), ocasionando uma permutação de 6 letras. 3 . 6! = 3 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 2 160 anagramas 12. Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra" (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra AMOR: AMOR, OMAR, MORA, MARO Formam-se todos os anagramas de CARINHO. b) Quantos começam por vogal?

  49. Solução: Existem 7 letras diferentes (sete posições), sendo que nas duas últimas não pode acontecer permutações, sobrando 5 letras para serem permutadas (trocadas de posição) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 anagramas 12 . Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra" (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra AMOR: AMOR, OMAR, MORA, MARO Formam-se todos os anagramas de CARINHO. c) Quantos terminam em CA, nesta ordem?

  50. Solução: Este caso ocorre como se C e A fosse uma única letra. Portanto teríamos 6 letras CA, R, I, N, H e O. 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 anagramas 12. Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra" (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra AMOR: AMOR, OMAR, MORA, MARO Formam-se todos os anagramas de CARINHO. d) Quantos têm o C e o A juntos, nesta ordem?