Hipotez Testleri

1. Hipotez Testleri Uygulamada çoğu zaman örneklem istatistikleri yardımıyla ana kütle parametreleri hakkında bir karara varmaya da çalışılmaktadır. Meselâ bir makine üzerinde yapılan bir ayarlamanın kusurlu mamul oranını düşürüp düşürmediği, yeni geliştirilen bir ilacın hastalığın tedavisinde etkin olup olmadığı, Üretim prosesinde yapılan bir değişikliğin mamul kalitesini yükseltip yükseltmediği, makine ayarında yapılan bir değişikliğin varyansı değiştirip değiştirmediği veya geliştirilen bir öğretim sisteminin eskisine göre bir farklılık gösterip göstermediği gibi konularda karar verilmesi gibi. İşletmelerde bu tür kararların verilebilmesi için istatistik karar verme tekniği olarak hipotez testlerinden faydalanılır.

2. Hipotez Testleri • Elbette ki üretim prosesinde yapılan bir değişiklikten sonra elde edilen ölçüm sonuçları ile önceki ölçüm sonuçları arasında farklılıklar çıkacaktır. Bu farklılık iki sebepten kaynaklanmış olabilir. Birincisi rassal sebeplerden kaynaklanan farklılıklar, ikincisi ise yapılan ayarlamadan kaynaklanan farklılıklardır. Üretim prosesinde yapılan değişikliğin kaliteyi yükselttiğine karar verebilmek için bu farkın rassal sebeplerden ileri gelmeyecek kadar önemli bir fark olması gerekir. Bu farkın belirlenebilmesi için bazı istatistik testlerden faydalanılır. İşte bu testlere hipotez testleri adı verilir.

3. Hipotez Testleri • Genel anlamda hipotez belli bir konu hakkında ileri sürülen iddia dır. İstatistik hipotez testleri ise belli bir kütle parametresinin (µ,  vs.) değeri hakkında ileri sürülen ve geçerliliği istatistik testlerle ortaya konabilen varsayımlardır. • Mesela belli bir mamulün üretim süresinin ortalaması için 15 dakika olduğu şeklindeki varsayım bir hipotezdir. Bu hipotezin doğru ya da yanlış olması mümkündür. Bunun doğruluğunu test etmek için kullanılabilecek en basit yaklaşım ana kütle için tam sayım yapmaktır. Yani üretilen bütün mamullerin gözlemlenmesidir.

4. Hipotez Testleri • Üretilen bütün mamullerin gözlemlenmesi çoğu zaman imkansızdır. Öte yandan böyle bir yöntem yüksek maliyetli ve zaman alıcıdır. Bunun yerine bu mamulün üretimi esnasında rastgele gözlemler yaparak yani örnekleme yaparak mamulün ortalama üretim süresi hakkında ileri sürülen iddia belli bir risk düzeyinde test edilebilir. Bunun için söz konusu parametrenin (burada ortalama) örnekleme dağılımının bilinmesi gerekir. Önceki bölümde ortalamaların, oranların, farkların, varyansların ve varyans oranlarının dağılımı incelenmiştir. İşte bu dağılımlar dikkate alınarak hipotezler test edilir.

5. Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez • İstatistik hipotezlerin testinde bir hipotezle onun karşıtı olan diğer bir hipotezden hangisinin örneklemden elde edilen sonuçla daha iyi bağdaştığı araştırılmaktadır. Karşılaştırılan iki hipotezden birine ‘‘Sıfır Hipotezi (H0)’’ diğerine ‘‘Alternatif Hipotez (H1 veya Ha)’’ adı verilir. • Hipotezlerin daima örnekleme yapılmadan önce oluşturulması gerekir. Çünkü örnekleme yapıldıktan sonra bu sonuçlara göre mutlaka reddedilecek veya kabul edilecek hipotezler oluşturulabilir. Bu durum bilimsel araştırmadaki objektiflik kriterine aykırıdır.

6. Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez • Bir problemin çözümüne başlamadan önce oluşturulan hipoteze göre, ana kütlenin bilinen değeri ile örnekten elde edilen değeri arasında “önemli bir fark olmadığı’’ kabul edilir, ki buna H0 hipotezi denir. Söz konusu iki değer arasında ‘‘önemli bir farkın olduğunu” ileri süren diğer hipotez ise H1 alternatif hipotez olur. • H0 hipotezi daima bir kütlenin parametresinin belli bir değere eşitliği şeklinde oluşturulurken, alternatif hipotez parametrenin bu değerden büyük, bu değerden küçük ya da bu değerden farklı olduğu şeklinde teşkil edilir. Alternatif hipotezin yönüne göre hipotez testi tek taraflı ya da çift taraflı olarak yapılır.

7. Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez • Örnek:bir işletmede geçmiş kayıtlara göre belli bir mamulün üretim süresinin 25 dk olduğu bildiriliyor. Bu departmanda çalışan üretim sorumlusu mamulün daha uzun sürede üretildiğini düşünmektedir. Bu düşünceyi test etmek için hipotezler şöyle oluşturulur. H0: µ = 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakikadır.) H1:µ > 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dk’dan fazladır.) Burada hipotez tek taraflıdır ( alternatif hipotez tek yönlüdür.), Test işlemi dağılımın sağ tarafı dikkate alınarak yapılmalıdır.

8. Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez • Üretim mühendisi mamulün üretim süresinin 25 dakikadan daha az sürede yapıldığını düşünüyorsa, bu durumda hipotezler şöyle oluşturulur. H0: µ = 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakikadır.) H1:µ < 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dk’dan azdır.) Böyle bir durumda yine hipotez testi tek taraflı olarak yapılacaktır. Test işlemi için dağılımın sol tarafı dikkate alınacaktır. Çünkü alternatif hipotezin yönü küçüklük şeklindedir.

9. Sıfır hipotezi ve alternatif hipotez • Mühendis üretim süresinin 25 dakika olmadığını düşünüyorsa, yani 25 ten az ya da çok olabileceğini düşünüyorsa, bu durumda hipotezler şöyle oluşturulur. H0: µ = 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakikadır.) H1:µ ≠ 25 dk. ( Mamulün üretim süresi 25 dakika değildir.) • Böyle bir durumda hipotez testi çift taraflı olacaktır.Test işlemi için dağılımın hem sağ, hem de sol tarafı dikkate alınacaktır. Çünkü alternatif hipotezde her iki taraftaki farklılıklar dikkate alınmaktadır.

10. Hipotez testlerinde yapılan hatalar • Belli bir ana kütle parametresini test etmek amacıyla kurulan bir Ho hipotezi ya doğru olacak ya da yanlış olacaktır. • H0 hipotezi doğru da olsa yanlış ta olsa yapılan test sonucunda ya kabul edilecek, ya da reddedilecektir. Bu işlem sonucunda karar doğru olabileceği gibi yanlış ta olabilir. Bu durum aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

11. Hipotez testlerinde yapılan hatalar • Yukarıdaki tablo incelendiğinde hipotez testlerinde yapılan iki hatanın neler olduğu anlaşılmaktadır. • Ho Hipotezi doğru olduğu halde reddedilirse bir hata işlenmiş olur ki buna 1. tip hata ya da () hatası adı verilir. Bu hataya üretici riski de denmektedir. •  = P(H0 red / H0 doğru) • Diğer bir hata ise H0 yanlış olduğu halde kabul edilmesidir. Buna da 2. tip hata ya da (β) hatası adı verilir. Bu hataya tüketici riski de denmektedir. • β= P(H0 kabul/ H0 yanlış)

12. Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar • Test istatistiği:Kütle parametresini testi için elde edilen örnek istatistiğine denir. Örnekten elde edilen ortalama oran ve varyans gibi değerler test istatistiği olarak adlandırılır. • Kritik değer:H0 hipotezinin kabul ve red bölgelerini ayıran ilgili dağılıma ait sınır değere denir. Bu değerler normal, t,ki-kare ve F dağılımından elde edilir. • Kabul bölgesi:H0 hipotezinin kabul edildiği sonuçlar kümesi. • Red bölgesi:H0 hipotezinin reddedildiği sonuçlar kümesi.

13. Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar • Anlam düzeyi:Doğru hipotezin reddi (I. Tip hata) riski olup, test işlemlerine geçmeden önce belirlenen bir olasılık düzeyidir.  için genellikle 0,01, 0,05 gibi olasılıklar seçilir. Birinci tip hata yapma riskini azaltmak için ’ nın küçük seçilmesi gerekir. Ancak ’nın küçük seçilmesi II. Tip hata (yanlış hipotezin kabulü) (β) riskiniartırır. Yani ’yı küçük tutmak ana kütle parametresinden daha uzak olan örnek istatistiklerini de kabul bölgesi içine dahil etmek demektir. • Testin Gücü:H0 hipotezi yanlış olduğunda H0 hipotezini reddetme olasılığına testin gücü denir. Testin gücü 1-’ya eşittir.

14. Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar • : anlam düzeyi (I. Tip hata riski) • 1- : Güven düzeyi (Doğru hipotezin kabul olasılığı) • β: II. Tip hata riski ( yanlış hipotezin kabul olasılığı) • 1- β: Testin gücü ( Yanlış hipotezin reddi olasılığı) • Aşağıdaki şekilde yukarıdaki ifadelerin dağılım üzerindeki yerleri gösterilmiştir. Şekil hipotezlerin aşağıdaki gibi olması durumuna göre dizayn edilmiştir. • H0: µ = µa • H1: µ = µb

15. Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar • Örnek hacmi sabit kalırken, olasılığının azalması  olasılığının artmasına sebep olurken, aksine  olasılığının artması  olasılığının azalmasına sebep olmaktadır. Hem I. tip hatanın hem de II. tip hatanın birlikte azaltılması isteniyorsa,örnek hacminin arttırılması yoluna gidilir. Ancak bu çoğu zaman pahalı, bazen de imkansızdır. Dolayısıyla böyle durumlarda I. tip ve II. tip hatalardan hangisinin daha önemli olduğuna karar vermek suretiyle  ve  değerleri uygun şekilde belirlenmelidir.

16. Hipotez testi ile ilgili bazı kavramlar • Tek yönlü hipotez testi: Hipotezin red bölgesinin dağılımın sadece bir bölgesi olması durumudur. Yani alternatif hipotezin büyüklük ya da küçüklük şeklinde oluşturulmasıdır. • Çift yönlü hipotez testi: Hipotezin red bölgesinin dağılımın her iki bölgesinde de bulunması durumudur. Yani alternatif hipotezin farklılık şeklinde oluşturulması durumudur.

17. Hipotez testlerinin aşamaları • 1. Aşama Hipotezlerin teşkil edilmesi: Bilindiği gibi araştırmanın başlangıcında H0 ve H1 hipotezlerinin belirlenmesi gerekir. H0 hipotezi ana kütle parametresinin belli bir değere eşitliği şeklinde oluşturulurken alternatifi kütle parametresinin bu değerden büyük, küçük ya da farklı olduğu şeklinde oluşturulur. Alternatif hipotezin tek taraflı, ya da çift taraflı olması araştırma sonucunda nasıl bir karara ulaşmak istediğimize bağlıdır. Mesela: Bir makinenin kusurlu oranının belli bir değerden büyük olup olmadığı büyüklük hipotezi ile test edilirken, Üretilen bir parçanın mukavemetinin belli bir değerden küçük olup olmadığı küçüklük hipotezi ile test edilir. Eğer araştırılan şey bir tartım makinesinin doğru çalışıp çalışmaması ile ilgili ise hipotez çift taraflı test edilmelidir. Burada makinenin yüksek ya da düşük tartma eğiliminde olup olmadığı araştırılacak, dolayısıyla hipotez testi her iki yöndeki farklılıkları da göz önüne almalıdır.

18. Hipotez testlerinin aşamaları • 2. Aşama anlam düzeyinin seçilmesi:Bilindiği gibi anlam düzeyi  ile gösterilmekte ve doğru hipotezin reddi (I. Tip hata) riskini ifade etmektedir.  ve β hatalarının önemine göre bir anlam düzeyi seçilir. Genel olarak anlam düzeyi olarak 0,01 ve 0,05 olasılıkları seçilmektedir. • 3. Aşama olasılık dağılımının belirlenmesi: Hipotezin testi için kullanılan örnek istatistiğinin hangi olasılık dağılımına sahip olduğunun belirlenmesi gerekir. Zira test işlemi bu dağılım kullanılarak yapılır. Ortalamaların, oranların,ve farkların dağılımı büyük örnek hacimlerinde normale yaklaşırken, küçük örneklerde t dağılımına yaklaşmaktadır. Varyansların dağılımı Ki-kare dağılımına uyarken, varyansların karşılaştırılması için kullanılan varyans oranlarının dağılımı F dağılımına uymaktadır.

19. Hipotez testlerinin aşamaları • 4. Aşama hipotezin kabul red sınırı için kritik değerin bulunması • 2. aşamada belirlenmiş olan anlam düzeyine ve 3. aşamada belirlenmiş olan olasılık dağılımına bağlı olarak alternatif hipotezin yönü de dikkate alınarak örnek istatistiğinin uygun olduğu dağılımdan kritik dağılım değeri belirlenir. Belirlenmiş olan bu kritik değerin ötesi hipotezin red bölgesi olurken, diğer tarafı kabul bölgesi olarak kabul edilir. • 5. Aşama test istatistiğinin hesaplanması: Örnek istatistiği ile sıfır hipotezinde belirlenmiş olan ana kütle parametresi arasındaki farkı standart hata birimleriyle ifade eden ölçüye test istatistiği ya da deneysel dağılım değeri denir. Bu istatistik ile kritik dağılım değeri karşılaştırılarak hipotezler hakkında karar verilir. Test istatistiği kritik değerin ötesinde olursa H0 hipotezi reddedilirken, gerisinde kalıyorsa hipotez kabul edilmektedir. • 6. Aşama istatistik karar: Kritik dağılım değeri ve test istatistiğinin karşılaştırılması ile H0 hipotezi konusunda karar verilmesi aşamasıdır.

20. Örnekler Bir işletmenin günlük elektrik enerjisi talebinin ortalamasının 5000 Kwh olduğu bildirilmiştir. İşletme teknik müdürü talebin 5000 Kwh’dan daha fazla olduğunu düşünmektedir. Bu durumu araştırmak amacıyla bir örnekleme yapılıyor. Araştırmada sıfır ve alternatif hipotezler ne olur? Yazınız. Çözüm: H0 : =5000Kwh ( Ortalama günlük talep 5000 Kwh dır. H1 : >5000Kwh (Ortalama günlük talep 5000 Kwh’dan büyüktür.)

21. Örnekler Bir mamulün ortalama ömrünün 100 saat olduğu iddia edilmektedir. Bu mamulün tedarikçisi bir firma mamulün ömrünün 100 saatten az olduğu konusunda şüphe duymaktadır. Bu amaçla yapılacak bir araştırmada sıfır ve alternatif hipotezler ne olur? Çözüm: H0 :  = 100 (Mamulün ortalama ömrü 100 saattir.) H1 :  < 100 (Mamulün ortalama ömrü 100 saaten az dır.)