1. 第一课题组年度总结报告

2. 课题组成员 负责人：宗传明 成员：程岐，宋春伟，王永晖，翟文广， 宗传明

3. 课题目标 近20年来，格理论在密码学中产生了重要应用。格密码成为一个重要的密码学研究方向。 格理论在密码学中的应用来源于高维格。但是，数学家对低维格还远没有理解。 本课题计划对格理论及数论中的若干基本问题进行深入研究，为格密码理论的进一步发展提供理论支撑。

4. 整体进展状况 自立项以来,本课题组依照《现代密码学中若干关键数学问题研究及其应用》项目《格理论核心问题研究》课题的年度计划深入、系统地开展了研究，对计划书中所列的几个著名数学问题的现状进行了系统的总结和研究并在此基础上做了大量的实验，建立了一些分析模型，取得了一系列初步结果（王永晖教授和翟文广教授还将具体介绍），完成了计划书的年度任务，为进一步开展工作打下了良好的基础。

5. 论文等统计 自立项以来，本课题组共发表论文8篇。 宗传明在世界密码协会亚洲会议Asiacrypt2012作大会特邀报告(共有两位大会特邀报告人，另一位来自斯坦福大学)。 程岐（等）荣获ISSAC2013（唯一）最佳论文奖 。 宗传明入选国家万人计划领军人才。

6. 代表性工作简介 希尔伯特第十八问题的第三部分：确定一个几何 体（例如球或者正四面体）的最大堆积密度。这 是最古老和著名的几何数论问题之一，亚里士多 德和闵可夫斯基都曾在这一问题犯过错误 。 通过引入一种全新的局部密度和异常复杂的论证(论文长50页)，宗传明得到了正四面体平移堆积密度的第一个非平凡上界 已知下界 是由闵可夫斯基等取得的。 这篇论文已被著名数学杂志《Advances in Mathematics》正式接受发表。

7. 该项工作的评述简 报作为封面文章发表在《美国数学会纪要》 J.C. Lagarias and C. Zong, Mysteries in packing regular tetrahedra, Notices Amer Math Soc, 59 (2012), 1540-1549.

8. 判断有限域Fq上单变元稀疏多项式f(x)是否存在解的问题是计算代数中的重要问题之一。判断有限域Fq上单变元稀疏多项式f(x)是否存在解的问题是计算代数中的重要问题之一。 对于三项式根的存在性问题，在ISSAC2003上Erich Kaltofen提出了是否存在一个确定性算法，在O(q^c)时间内判定解的存在性问题。 在q=2^k阶有限域上，Kipnis和Shamir证明了该判定问题是NP-困难的。

9. 毕经国，程岐，Rojas取得了如下成果： • 利用格基约化算法，给出了一个确定性算法，可以在 g(q,t)的时间内判定次数小于 q 的 t 项多项式是否在 Fq 上存在解的问题。 • 当项数 t 固定时，这个算法是第一个关于 q 的亚线性算法，同时也解决了 Erich Kaltofen 提出的在关于 q 的 sub-linear 时间内判定三项式在 Fq 上是否存在根的公开问题。 • 同时，对于任意的 t 项多项式，给出了有限域 Fq 上的所有非零根的结构特性。当 t 不固定时，证明该判定问题在 Fp 上是 NP-困难的，这里 p 是一个素数。

10. 这篇文章获得了ISSAC 2013最佳论文奖

11. 王永晖与Claus Bauer合作在Acta Arith上发表的文章“The binary Goldbach conjecture with primes in arithmetic progressions with large modulus”， 研究了模长为素数的算术级数中的Goldbach例外集问题，将算数级数的模长改进到1/4阶。 Goldbach问题的例外集，属于解析数论的经典问题，他们的文章将素数方程的素变量，考虑在算术级数中，其难度主要在于算术级数的模长超过 log 阶后，就因为Siegel-Walfisz定理的作用，无法再使用原有的方法，算术级数是测量素数性质的一个非常重要的工具，提高算术级数的模长，会使人们对Goldbach问题有更深入的了解。

12. 上世纪50年代，董光昌发展了一套新方法，研究了3维Piltz除数问题(即黎曼zeta函数的立方的Dirichlet系数)的余项平方积分均值。上世纪50年代，董光昌发展了一套新方法，研究了3维Piltz除数问题(即黎曼zeta函数的立方的Dirichlet系数)的余项平方积分均值。 2013年，翟文广和曹晓东、Tanigawa合作，成功地把董光昌的方法推广到一类3维L-函数。特别他们可以证明当 f(n)是一类Selberg函数类的Dirichlet系数，或者是一类一般3维除数函数时，可以得到该问题余项平方积分均值的渐近公式。(文章已投稿)

13. 宋春伟与T.Mansour, M.Shattuck合作研究了一类有理恒等式的组合性质并得到其q-模拟形式。他们通过分析Prodinger证明数字组合恒等式的方法，给出q-形式的相应工具。推论之一是一个调和级数的q-模拟的生成多项式。

14. 刘明洁与王小云课题组合作给出了格中困难问题BDD到uSVP的改进的归约。这个结果部分解决了Lyubashevsky和Micciancio在09年美密会上提出的关于BDD与uSVP关系的公开问题。 另外，她与合作者研究了如下问题：SM2数字签名算法是国家密码管理局于2010年公布的公钥标准算法，安全性基于椭圆曲线离散对数问题。文章将SM2的部分nonce泄露问题归约到格上的最近向量问题，给出了理论攻击和实验结果。对256比特的SM2，已知100个签名的低3比特的nonce，可在普通PC机上，几小时内恢复密钥。同时给出了一个错误攻击，对注入在私钥上的一个字节的随机错误，通过5648个错误以2^32次搜索恢复密钥。

15. 按照课题计划，我们对二维的堆积、覆盖及铺砌理论进行了系统全面的总结，其中包括本课题计划书中所列的堆积-覆盖常数，Mahler问题，整点问题等。按照课题计划，我们对二维的堆积、覆盖及铺砌理论进行了系统全面的总结，其中包括本课题计划书中所列的堆积-覆盖常数，Mahler问题，整点问题等。 宗传明将这些相关的问题放在二维的堆积、覆盖及铺砌理论这个大框架下作了系统的总结和评述，形成了一篇67页长的综述文章Packing, covering and tiling in two-dimensional spaces。 该文章已在线发表在Expositiones Mathematicae

16. 经费执行情况 前两年的经费预算总额：233万元； 收到拨款总额：132万元； 累计支出总额：约41.5万元。