Sistemas de Controle de Aeronaves II

1. Sistemas de Controle de Aeronaves II IntroduçãoaoMatlab e Equacionamento longitudinal de umaaeronave Eduardo Morgado Belo Mateus Moreira de Souza 2012

2. Parte 1 Introdução ao MATLAB Manipulação de Matrizes Manipulação de Gráficos

3. MATLAB Current Directory Workspace Command Window Command History

4. Manipulação de Matrizes no MATLAB • Criando uma matriz • Envolva os elementos da matriz com [ ]. • Separe os elementos de uma linha usando espaços ou vírgula (,). • Use o ponto e vírgula (;) para indicar o final de uma linha. • A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] • A = [16,3,2,13;5,10,11,8;9,6,7,12;4,15,14,1]

5. Manipulação de Matrizes no MATLAB • Utilizando elementos de uma matriz. • Matriz (linha ,coluna ) • A( 2 , 1 ) • Para selecionar mais de um elemento da matriz. • Matriz ( [ linhas ],[ colunas ]) • A( [1 2] , [1 3 4] )

6. Manipulação de Matrizes no MATLAB • Usando os dois pontos ( : ). • Pode gerar vários elementos com passo unitário. • Valor inicial : Valor final • 1:10 • Pode gerar vários elementos com passo escolhido. • Valor inicial : Passo : Valor final • 1:2:10

7. Manipulação de Matrizes no MATLAB • Usando os dois pontos com matrizes • Pode ser utilizado para selecionar vários elementos de uma matriz. • A ( 1 : 3 , 1) • A ( 3 , 2 : 2 : 4 ) • A ( 2 : 4 , 1 : 2 : 3 ) • Pode ser utilizado para selecionar uma linha ou coluna de uma matriz • A ( : , 1 ) • A ( 2 , : ) • A ( : , : )

8. Manipulação de Matrizes no MATLAB • Operadores • + Soma • - Subtração • * Multiplicação • / Divisão • ^ Potenciação • ‘ Transposta de matriz e conjugado de número imaginário • ( ) Índice

9. Manipulação de Matrizes no MATLAB • Comandos para matrizes • zeros (a,b) = Cria uma matriz a x b de 0. • ones (a,b) = Cria uma matriz a x b de 1. • eye (n) = Cria a matriz identidade de ordem n • A (end, : ) = Apresenta a ultima linha de A. • sum (A) = Soma dos valores de cada coluna de A. • diag(A) = Cria um vetor com os elementos da diagonal de A. • transpose(A) = Cria a matriz transposta de A. • det (A) = Retorna o determinante de A. • rank(A) = Retorna o número de linhas independentes de A. • inv(A) = Cria a matriz inversa de A. • eig(A) = Cria um vetor com os autovalores de A. • [V,D]=eig(A) = Cria uma matriz D com os autovalores de A e uma matriz V com os respectivos autovetores. • poly(A) = Cria um vetor com os elementos da equação característica de A.

10. Exemplo • Usar os comando para a matriz A: • A=[15 12 4 1; 4 2 9 0; 5 1 0 0; 3 0 0 0]; • Comandos: • A (end, : ) , A (: , end ) , sum (A) , diag(A), transpose(A) , det (A) , rank(A) , inv(A) , [V,D]=eig(A) , poly(A).

11. Manipulação de Gráficos no MATLAB • Criando um gráfico • O comando plot (x,y) cria um gráfico 2D. • t=0:0.1:2*pi ; • y=sin(t) ; • plot(t,y) • O comando plot(x,y,’prop’) cria um gráfico com as propriedades atribuídas à linha. • plot(t,y,’r--+’)

12. Manipulação de Gráficos no MATLAB

13. Manipulação de Gráficos no MATLAB • Múltiplos gráficos • Usando apenas um comando plot. • plot(x1,y1,’prop1’,x2,y2,’prop2’) • Usando holdon , hold off. • plot(x1,y1,’prop1’); holdon ; plot(x2,y2,’prop2’); hold off. • Usando subplot. • subplot(2,1,1); plot(x1,y1,’prop1’); • subplot(2,1,2); plot(x2,y2,’prop2’); • Usando figure. • figure(1); plot(x1,y1,’prop1’) • figure(2); plot(x2,y2,’prop2’)

14. Manipulação de Gráficos no MATLAB • Utilizando t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t); subplot(1,2,1) ; plot(t,x,’b’) subplot(1,2,2) ; plot(t,y,’r’) plot(t,x,’b’,t,y,’r’) figure(1) plot(t,x,’b’) figure(2) plot(t,y,’r’) plot(t,x,’g’) ; holdon plot(t,x,’k’) ; hold off

15. Manipulação de Gráficos no MATLAB • Comandos de edição do gráfico • legend(‘x1’, ‘x2’ , ...) = Insere a legenda de x1, x2, ... • title(‘texto’) = Insere o título no gráfico. • xlabel(‘x’) , ylabel(‘y’) , zlabel(‘z’) = Nomeia os eixos x, y e z respectivamente. • axis([xminxmaxyminymax]) = Limita a área apresentada pelo gráfico. • axisequal = o incremento nos eixos x e y ficam iguais. • gridon = cria uma malha no gráfico.

16. Exemplo • t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t); • plot(t,x,'r',t,y,'b') • title('Funções seno e cosseno') • xlabel('t') • ylabel('sin(t) e cos(t)') • axis([0 2*pi -1 1]) • axisequal • gridon • legend('sin(t)','cos(t)')

17. Parte 2 Sistemas Dinâmicos

18. Sistemas dinâmicos • Sistema massa, mola, amortecedor. • Forma diferencial. • Transformada de Laplace.

19. Sistemas dinâmicos • Sistema massa, mola, amortecedor. • Espaço de Estados • Função transferência

20. Sistemas dinâmicos • Comandos de MATLAB para sistemas dinâmicos • SYS = ss(A,B,C,D) = Cria um sistema no espaço de estados. • set(SYSEE, 'inputname', {‘u‘ }, 'outputname', {‘y'},... 'statename', {'x‘ }); = Configura o nome das entradas e saídas do sistema. • [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) = Gera o numerador e denominador da função transferência do sistema no espaço de estados. • SYS=tf(num,den) = Cria a função transferência do sistema. • roots(den) = Retorna as raízes do polinômio den. • step(SYS) = Cria gráficos com a resposta degrau de todas as entradas para todas as saídas do sistema SYS. • impulse(SYS) = Cria gráficos com a resposta impulso de todas as entradas para todas as saídas do sistema SYS.

21. Sistemas dinâmicos • Exemplo • Escrever o sistema no espaço de estados • M=2Kg;B=16Ns/m;K=8N/m; • Obter a função transferência. • Obter a equação característica. • Obter as raízes da equação característica • Resposta a entrada degrau • Resposta ao impulso

22. Trabalho • Escrever um M.file contendo: • A equações da dinâmica de vôo do Boeing 747 no espaço de estados. • A função transferência θ/δE. • A equação característica. • As raízes da equação característica. • A resposta de θ à entrada degrau de δE. • A resposta de θ à entrada impulso de δE.

23. Equações do vôo longitudinal

24. Condição de vôo B747 M=0.8 Altitude=40000 ft

25. Referências • Help MATLAB • Etkin, B. . ’Dynamics offlight : stabilityandcontrol’, 3ª ed.. Wiley.