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Algoritmos Crescimento de Funções

Algoritmos Crescimento de Funções. Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva. Algoritmos. Um conjunto finito de instruções precisas para que um computador realize uma computação e resolva um problema. Algoritmos.

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Algoritmos Crescimento de Funções

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Presentation Transcript

  1. AlgoritmosCrescimento de Funções Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

  2. Algoritmos • Um conjunto finito de instruções precisas para que um computador realize uma computação e resolva um problema. Prof. Anselmo Paiva

  3. Algoritmos • Exemplo: encontrar o maior elemento de uma sequência Procedure max(a1, a2, …, an: integers) max := a1 for i := 2 to n if max < ai then max := ai {max is the largest element} Prof. Anselmo Paiva

  4. Complexidade • Em geral nao estamos preocupados com o tempo e/ou a memória que um algoritmo utiliza para pequenas entradas de dados. • Por exemplo: • Enquanto a diferença em complexidade de tempo entre a busca linear e a busca binária para uma sequência com n=10 números é insgnificante, ela é gigante para n = 230. Prof. Anselmo Paiva

  5. Complexidade • Sejam A e B dois algoritmos que resolvem a mesma classe de problemas. • A complexidade de tempo de A é 5.000n, e a de B é 1.1n para uma entrada com n elementos. • Para n = 10 • A requer 50,000 passos • B requer somente 3 • B parece ser superior a A. • Para n = 1000 • A requer 5,000,000 passos • B requer 2.51041 Prof. Anselmo Paiva

  6. Complexidade • Assim, algoritmo B não pode ser usado em grandes conjuntos de dados • O que é importante é o crescimento da função de complexidade. • O crescimento do tempo e espaço(memória) em relação ao crescimento do tamanho da entrada n é um bom mecanismo para comparar algoritmos. Prof. Anselmo Paiva

  7. Complexidade • Comparação: complexidade de tempo dos algoritmos A e B Entrada Algoritmo A Algoritmo B n 5,000n 1.1n 10 50,000 3 100 500,000 13,781 1,000 5,000,000 2.51041 1,000,000 5109 4.81041392 Prof. Anselmo Paiva

  8. Crescimento de Funções • Em geral é descrito usando a notação big-O. • Definição: Seja f e g funções de inteiros em reais. • Dizemos que f(x) é O(g(x)) se existem constantes C e k tais que |f(x)|  C|g(x)| sempre que x > k. Prof. Anselmo Paiva

  9. Crescimento de Funções • Quando analizamos o crescimento de funções de complexidade, f(x) e g(x) são sempre positivas. • Podemos então simplificar a notação big-O para: f(x)  Cg(x) sempre que x > k. • Para mostrar que f(x) é O(g(x)), temos somente que encontrar um par (C, k) (o qual nunca é único unique). Prof. Anselmo Paiva

  10. Crescimento de Funções • A Idéia por trás da notação big-O é estabelecer um limite superior (upper boundary) para o crescimento da função f(x) para grandes valores de x. • Este limite é definido pela função g(x) que é usualmente mais simples que f(x). • Aceitamos a constante C no requisito f(x)  Cg(x) whenever x > k, • porque C não cresce com x. • Estamos somente interessados em valores grandes de x, assim está OK sef(x) > Cg(x) for x  k. Prof. Anselmo Paiva

  11. Crescimento de Funções • Exemplo: • Mostre que f(x) = x2 + 2x + 1 é O(x2). • Para x > 1 temos: • x2 + 2x + 1  x2 + 2x2 + x2 •  x2 + 2x + 1  4x2 • Assim, para C = 4 e k = 1: f(x)  Cx2 whenever x > k. •  f(x) is O(x2). Prof. Anselmo Paiva

  12. Crescimento de Funções • Se f(x) é O(x2), tambem é O(x3)? • Sim. x3 cresce mais rápido que x2, assim x3 cresce mais rápido que f(x). • Mas estamos interessados sempre na menor função g(x) que cresce mais rápido que f(x). Prof. Anselmo Paiva

  13. Crescimento de Funções • Funções g(n) “Populare” n log n, 1, 2n, n2, n!, n, n3, log n Prof. Anselmo Paiva

  14. Crescimento de Funções • Um problema que pode ser resolvido em tempo polinomial é denominado tratável. • Problemas com complexidade maior são denominados intratáveis. • Problemas que não possuem um algoritmo que o resolvam são denominados não computáveis • Mais sobre isso é uma disciplina de Teoria da Computação ou Computabilidade. Prof. Anselmo Paiva

  15. Regras Úteis para Big-O • Para qualquer polinômio f(x)= anxn + an-1xn-1 + … + a0, onde a0, a1, …, an são números reais, f(x) is O(xn). • Se f1(x) é O(g1(x)) e f2(x) é O(g2(x)), então (f1 + f2)(x) é O(max(g1(x), g2(x))) • Se f1(x) é O(g(x)) e f2(x) é O(g(x)), então (f1 + f2)(x) é O(g(x)). • Se f1(x) é O(g1(x)) e f2(x) é O(g2(x)), então (f1f2)(x) é O(g1(x) g2(x)). Prof. Anselmo Paiva

  16. Exemplos de Complexidade • O que o seguinte algoritmo computa? • proc who_knows(a1, a2, …, an: integers) • m := 0 • for i := 1 to n-1 • for j := i + 1 to n • if |ai – aj| > m then m := |ai – aj| • {m é a maior diferença entre dois números na sequência de entrada} • Comparações: n-1 + n-2 + n-3 + … + 1 • = (n – 1)n/2 = 0.5n2 – 0.5n • Complexidade de Tempo é O(n2). Prof. Anselmo Paiva

  17. Complexity Examples • Outro algoritmo para o mesmo problema: • proc max_diff(a1, a2, …, an: integers) • min := a1 • max := a1 • for i := 2 to n • if ai < min then min := ai • else if ai > max then max := ai • m := max - min • Comparações: 2n - 2 • Complexidade de tempo é O(n). Prof. Anselmo Paiva

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