Algorithme des différences

1. Division euclidienne PGCD PGCD de 12 et 18 PGCD de 20 et 35 Algorithme des différences PGCD de 210 et 126 PGCD de 192 et 120 Algorithme d'Euclide Fraction irréductible Nombres premiers entre eux

2. Est-ce que 2 est un diviseur de 18 ? Oui Que signifie "2 est un diviseur de 18" ? Cela veut dire que si on divise 18 par 2, le quotient est entier et le reste est zéro. On dit aussi : 18 est un multiple de 2

3. Définition a et d désignent deux entiers tels que d  0. On dit que d est un diviseur de a si le restede la division euclidienne de a pard est égal à 0.

4. Dans le cas de la division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.

5. 12 et 18

6. Diviseurs de 12 : 1 ;   2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 Diviseurs de 18: 1 ;   2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Diviseurs communs à12et18 : 1 ;   2 ; 3 ; 6  Quel est le plus grand ? 6  On écrit PGCD (12 ; 18) = 6

7. On écrit PGCD (12 ; 18) = 6 Que signifie PGCD (12 ; 18) ? Plus Grand Commun Diviseur

8. Parmi les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b, l’un deux est plus grand que les autres : on l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur à a et b et on le note PGCD (a ; b).

9. Chercher PGCD (20 ; 35) Diviseurs de 20 : 1 ;   2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 Diviseurs de 35: 1 ;   5 ; 7 ; 35  Diviseurs communs à20et35 : 1 ;   5 PGCD (20 ; 35) = 5

10. Chercher le PGCD va être parfois un peu long en écrivant tous les diviseurs, mais il existe des méthodes plus rapides. On appelle ces méthodes des algorithmes. Un algorithme est une méthode de calcul où on répète le même procédé jusqu'au résultat trouvé.

11. Recherche du PGCD par la méthode des soustractions successives ou algorithme des différences

12. Propriété admise : Si a et b sont deux nombres entiers tels que a > b alors PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b) Le plus petit La différence

13. PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b) Le plus petit La différence Chercher le PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 12 24 On soustrait les deux nombres donnés : 36 – 24 = 12

14. Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 On garde les deux plus petits 24 et 12 et on recommence ;

15. Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 12 12 0 On s’arrête lorsque la différence est nulle.

16. Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 12 12 0 12 Donc PGCD (36 ; 24) =

17. Recherche du PGCD de 36 et 24 a - b Plus grand a Plus petit b 36 24 12 24 12 12 12 12 0 Propriété Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers est la dernière différence non nulle dans la succession des soustractions.

18. Recherche du PGCD de 210 et 126 a - b Plus grand a Plus petit b 210 126 84 126 84 42 84 42 42 42 42 0 42 Donc PGCD (210 ; 126) =

19. Recherche du PGCD de 192 et 120 a - b Plus grand a Plus petit b 192 120 72 120 72 48 72 48 24 48 24 24 24 0 24 24 Donc PGCD (192 ; 120) =

20. Au lieu de faire les calculs à la main, on peut utiliser un logiciel. C'est un tableur. Nous allons calculer PGCD (45;18) avec un tableur

21. Recherche du PGCD par la méthode des divisions successives ou algorithme d’Euclide Euclide d'Alexandrie vers 325 av JC - vers 265 av JC

22. Propriété admise : a b r q Si a et b sont deux nombres entiers tels que a > b alors PGCD (a ; b) = PGCD(b ; r) Le plus petit Reste de la division euclidienne de a par b

23. 2. Par divisions successives Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 On divisele plus grand nombre 18 par le plus petit4 ;

24. 2. Par divisions successives Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 4 2 0 On gardele plus petit4 et le reste2 de la division et on recommence ; On s’arrête lorsque le reste est nul.

25. 2. Par divisions successives Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 4 2 0 Donc PGCD (18 ; 4) = 2

26. 2. Par divisions successives Recherche du PGCD de 18 et 4 Reste Plus grand a Plus petit b 18 4 2 4 2 0 Propriété Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers est le dernier reste non nuldans la succession des divisions euclidiennes.

27. Recherche du PGCD de 88 et 14 Reste Plus grand a Plus petit b 4 88 14 2 14 4 0 4 2 2 Donc PGCD (88 ; 14) =

28. Fraction irréductible

29. On dit qu’une fractionest irréductible lorsque 132 77 on ne peut plus la simplifier. Rendre irréductible la fraction On peut procéder par tâtonnement, mais il y a plus simple : trouver le Plus Grand CommunDiviseur à 132 et 77.

30. Recherche du PGCD de 132 et 77 Méthode des soustractions successives ou algorithme des différences Méthode des divisions successives ou algorithme d’Euclide

31. Recherche du PGCD de 132 et 77 a - b Plus grand a Plus petit b 132 77 55 77 55 22 55 22 33 33 22 11 22 11 11 0 11 11 11 Donc PGCD (132 ; 77) =

32. Recherche du PGCD de 132 et 77 Reste Plus grand a Plus petit b 132 77 55 77 55 22 55 22 11 22 0 11 11 Donc PGCD (132 ; 77) =

33. 132 77 132 77 132 77 Rendre irréductible la fraction 11 PGCD (132 ; 77) = par On simplifie 11 1112 12 = = 117 7

34. Propriété Lorsque l’on simplifie une fraction par le Plus Grand CommunDiviseur à son numérateur a et son dénominateur b la fraction obtenue est irréductible.

35. Nombres premiers entre eux

36. Définition : On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur Plus Grand Commun Diviseur est égal à 1 ; c’est à dire PGCD (a ; b) = 1 Cherchez deux nombres simples premiers entre eux

37. Définition : On dit qu’une fractionest irréductible lorsque son numérateur a et son dénominateur b sont premiers entre eux.

38. Fin

39. Alexandrie