Ημερομηνία: 13/12/2006 Τμήμα: Πληροφορικής του Ιονίου Πανεπιστημίου

1. Ημερομηνία: 13/12/2006 • Τμήμα: Πληροφορικής του Ιονίου Πανεπιστημίου • Ακαδημ. Έτος: Α΄ MATHEMATICA

2. 2η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ MATHEMATICA ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΡΟΖΟΥ ΑΡΓΥΡΩ ΚΟΥΓΚΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΟΥΛΟΥΚΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ

3. Να θυμηθούμε: • Οι 5 βασικές αριθμητικές λειτουργίες στο MATHEMATICA ορίζονται ως εξής:

4. ΣΥΜΒΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA

6. Ακόμη,για να βρούμε το αποτέλεσμα που επιθυμούμε πληκτρολογούμε την κάθε εντολή και μετά κρατώντας το πλήκτρο SHIFT πατάμε το πλήκτρο ENTER.

7. ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙDo • Σύνταξη της εντολής Do: Do[έκφραση,{i,imin,imax,istep}] • a[0]=1;Do[a[n+1]=f[n,a[n]],{n,0,N}] • Παράδειγμα a[0]=1;Do[a[n=1]=(n+1)=(n+1)a[n],{n,0,10}];Table[a[n],{n,0,10}] Out[1]={a[0],11 a[10],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9],a[10]}

8. Άσκηση: xn+1=xn- Με g(x)=x-cosx • Λύση στο MATHEMATICA: x[0]=1.0;Do[x[n+1]=x[n]-(x[n]-Cos[x[n]])/(1+Sin[x[n]]),{n,0,10}];Table[x[n],{n,0,10}] Out[2]={1.,0.750364,0.739113,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085}

9. Λύση εξίσωσης x=f(x) • x=x0;Do[x=f[x],{N}];x • Παράδειγμα: x=0.1;Do[x=Cos[x],{20}];x Out[3]=0.73894

10. Λογισμός ΠινάκωνDet[A], Inverse[A], Eigensystem[A], MatrixPower[A,n], MatrixExp[A]

11. Παράδειγμα σύνταξης ενός πίνακα Α n×n: A={{a11,…,a1n},{a21,…,a2n},…{an1,..ann}}

12. Πίνακες: λίστα από λίστες

13. Υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα Α: Det[A] Out[5]=8 • Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα Α: Inverse[A] Out[6]=

14. Πιο συγκεκριμένα ο αντίστροφος του πίνακα Α είναι: Α-1=

15. Υπολογισμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α: Eigensystem[A] Out[7]={{4,2},{{1,1},{-1,1}}} Προβολή των ιδιοτιμών ΜΟΝΟ: Eigensystem[A][[1]] Out[8]={4,2}

16. Προβολή των ιδιοδιανυσμάτων ΜΟΝΟ: Eigensystem[A][[2]] Out[9]={{1,1},{-1,1}} • Υπολογισμός της νιοστής δύναμης του πίνακα Α: MatrixPower[A,n] ,όπου n ο βαθμός της δύναμης Για ν=4 θα έχουμε: MatrixPower[A,4]

17. Out[10]={{136,120},{120,136}} Πιο συγκεκριμένα η 4η δύναμη του πίνακα Α είναι ο πίνακας: Α4=

18. Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Α(eA): MatrixExp[A] Out[11]=

19. Πιο συγκεκριμένα ο εκθετικός του πίνακα Α είναι ο πίνακας: eA=

20. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ (dot) • Παραδείγματα: • {{2,1},{-3,5}}.{{-4,6},{1,3}} Out[12]={{-7,15},{17,-3}} • {{9,4},{-67,23}}.{{12,-46},{5,7}} Out[13]={{128,-386},{-689,3243}}

21. Οι εντολές: MatrixForm, MatrixTable • Σύνταξη της MatrixForm {{2,1},{-3,5}}.{{-4,6},{1,3}}//MatrixForm Out[14]=

22. Η σύνταξη της TableForm {{4,9},{-6,4}}.{{60,-43},{2,9}}//TableForm Out[15]=

23. ΤΕΛΟΣ 2ης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ MATHEMATICA

24. 3η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ MATHEMATICA ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΡΟΖΟΥ ΑΡΓΥΡΩ ΚΟΥΓΚΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΟΥΛΟΥΚΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ

25. ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΕΙΔΩΝ • Α. Θεωρητική Εισαγωγή (1) a→a-bN (b>0) =(a-bN)N=-bN2+aN

26. ΥΠΑΡΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Τότε:

27. ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ: Ν=Ν(0) • Κάθε αρχικός Πληθυσμός Ν=Ν(0)<Ν∞ τείνει να αυξάνεται • Αν Ν=Ν(0)> Ν∞ τείνει να μειώνεται θέτουμε τότε: x(t):Ποσοστό οριακού πληθυσμού τη στιγμή t a:=r

28. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ x0: αρχικός πληθυσμός x∞=1 x=0 κρίσιμο σημείο x=-1 ασταθές σημείο x=1 ευσταθές σημείο , για κάθε αρχικό σημείο x0

29. Γραφική Παράσταση της Διαφορικής Εξίσωσης με Αρχικές Συνθήκες • Παράδειγμα y΄+ =cos(x2) • Να γίνει η γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε.)

30. s1=DSolve[{y΄[x]+ ==Cos[x2]},y[x],x] Out[16]={{y[x]→ }} p1=y[x]/.s1[[1]] Out[17]=

31. Plot[Evaluate[Table[p1/C[1]→i,{i,-2,2}], {x,0,5}]] Out[18]=

32. Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΟ MATHEMATICA • «ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ»r, x(0)=a, χρόνος παρατήρησης f[r_,a_a,T_]:=NDSolve[{x΄[t]==r*x[t]*(1-x[t]), x[0]==a},x,{t,0,T}] Πειράματα: S1=f[0.1,0.5,30]; S2=f[0.1,2,30]; Plot[{x[t]/.S1,x[t]/.S2,1},{t,0,30},PlotRange→{0,2}] Προσοχή: Το σύμβολο → θα το βρείτε στη βοηθητική παλέτα

33. Αποτέλεσμα: Σύγκλιση δύο λύσεων στην κοινή οριακή τιμή x=1Out[16]=

34. ΤΕΛΟΣ 3ης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ MATHEMATICA